Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức véc tơ, độ dài: Trường THPT Nghèn.. GV: Trần Nhân..[r]
Trang 1Hình học 10
Véc tơ
I Véc tơ:
1 Định nghĩa:
Véctơ là một đoạn thẳng có:
+ Một đầu được xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn
+ Hướng từ gốc đến ngọn gọi là hướng của véctơ
+ Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véctơ (Mô đun)
Véctơ có gốc A, ngọn B được kí hiệu là AB; độ dài của AB kí hiệu là AB
Một véc tơ còn có kí hiệu bởi một chữ cái in thường phía trên có mũi tên như: a ; b ; c ;
2 Véctơ không:
Véctơ không: là véctơ có:0
+ Điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau
+ Độ dài bằng 0
+ Hướng bất kì
3 Hai véctơ cùng phương:
Hai véctơ AB ; CD gọi là cùng phương: kí hiệu
hàng thẳng
D C, B, A,
CD //
AB CD
//
AB
4 Hai véctơ cùng hướng:
Hai véctơ AB ; CD gọi là cùng hướng: kí hiệu
hướng cùng
CD AB, tia hai
CD //
AB CD
AB
5 Hai véctơ ngược hướng:
Hai véctơ AB ; CD gọi là ngượcchướng: kí hiệu
hướng ngược
CD AB, tia hai
CD //
AB CD
AB
6 Hai véctơ bằng nhau: Hai véctơ AB ; CD bằng nhau: kí hiệu
CD AB
CD AB CD
AB
7 Hai véctơ đối nhau: Hai véctơ AB ; CD đối nhau: kí hiệu
CD AB
CD AB CD
AB
8 Góc của hai véctơ:
Góc của hai véctơ AB ; CD là góc tạo bởi hai tia Ox; Oy lần lượt cùng hướng với hai tia AB; CD
+ Khi AB ; CD không cùng hướng thì 0 o x Oˆ y 180 o
+ Khi AB ; CD cùng hướng thì x Oˆ y 0 o
II Các phép toán véctơ:
1 Phép cộng véctơ:
Định nghĩa: Tổng của hai véctơ a ; b là một véctơ được xác định như sau:
+ Từ một điểm O tùy ý trên mặt phẳng dựng véctơ OA a
+ Từ điểm A dựng véctơ AB b
+ Khi đó véctơ OB gọi là véctơ tổng hợp của hai véctơ a ; b: OB a b
Hệ thức Chasles (Qui tắc ba điểm):
Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn luôn có: AB BC AC
(Hệ thức Chasles có thể mở rộng cho n điểm liên tiếp)
Trang 2Phép cộng hai véctơ đồng qui (Qui tắc hình bình hành): AB AD AC (với ABCD là hình bình hành)
Qui tắc trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB ta luôn có: MA MB
2
1
MI
Tính chất:
- Giao hoán: a b b a
- Kết hợp: a b c a b c
- Cộng với không: a 0 a
- Cộng với véctơ đối: a ( a ) 0
2 Phép trừ véctơ: a b a ( b )
Với a b c a b c
Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm O, A, B bất kì ta có: AB OB OA
3 Phép nhân một véctơ với một số thực:
a Định nghĩa: k a là một véctơ:
- Với a 0 ; k 0thì véctơ k asẽ cùng phương với và sẽ:a
+ Cùng hướng với nếu k>0.a
+ Ngược hướng với nếu k<0.a
+ Có độ dài k a k a
- 0 a k 0 0
b Tính chất:
+) 1 a a ( 1 ) a a +)m ( n a ) ( mn ) a +) ( m n ) a m a n a
+) m ( a b ) m a m b +) a ; b cùng phương a k b ( a 0 )
4 Tỉ số của hai véctơ cùng phương:
b
a
k
b a nếu
0
k
b a nếu
0
k
k
b
a
b
//
a
Trang 3phân loại bài tập về Véc tơ và các phép toán
Dạng 1 Chứng minh các đẳng thức véctơ
*Phương pháp:
+ Sử dụng qui tắc ba điểm (Chasles); hình bình hành; trung điểm
+ Vận dụng các các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP và ngược lại; biến đổi hai vế cùng thành một đẳng thức; biến đổi đẳng thức đã cho thành một đẳng thức luôn đúng
*Bài tập minh hoạ:
Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D chứng minh rằng:
a.AB CD AD CB b AB CD AC BD
c AB DC BD CA 0 d AB CD BC DA 0
Bài 2 Cho tam giác A, B, C G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng CM:
a GB GB GC 0 b MB MB MC 3 MG
Bài 3 Cho hình bình hành ABCD tâm I AO a ; BO b
a Chứng minh rằng: AB AD 2 AI
b Tính AC ; BD ; AB ; BC ; CD ; DA theo a ; b
Bài 4 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằng: AD BE CF AE BF CD
Bài 5 Cho tam giác ABC I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CM: a IA b IB c IC 0
Bài 6 Cho hai tam giác ABC và A'B'C' Gọi G là trọng tâm của G và G' Chứng minh rằng:
' GG 3 ' CC
'
BB
'
AA
Bài 7 Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD Chứng minh rằng:
MN 4 BC AC
BD
AD
Bài 8 Gọi O; H; G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng:
a) HA HB HC 2 HO b) HG 2 GO
Bài 9 Cho tam giác đều ABC tâm O M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác; D, E, F lần lượt là hình chiếu của nó
trên BC, CA, AB Chứng minh rằng: MO
2
3 MF ME
MD
Bài 10 Cho tam giác ABC Vẽ ra phía ngoài của tam giác các hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS Chứng mình:
0 PS
IQ
RF
Bài 11 Cho 4 điểm A, B, C, D; I, F lần lượt là trung điểm của BC, CD CM: 2AB AI FA DA 3 DB
Bài 12 Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối xứng với B qua G CM:
3
1 AC
3
2
AH AB AC
3
1
CH
b M là trung điểm của BC CM: AB
6
5 AC 6 1
MH
Trang 4Dạng 2 Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ
*Phương pháp chung:
+ Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng: OM a trong đó O và đã biết.a
+ Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một véctơ bằng véctơ Khi đó ngọn của véctơ này chính a
là điểm M
*Bài tập áp dụng:
Bài 1 Cho hai điểm A, B Xác định điểm M biết: 2 MA 3 MB 0
Bài 2 Cho hai điểm A, B và một véc tơ Xác định điểm M biết: v MA MB v
Bài 3 Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA.
a Xác định điểm K sao cho: 3 AB 2 AC 12 AK 0
b Xác định điểm D sao cho: 3 AB 4 AC 12 KD 0
Bài 4 Cho tam giác ABC
a Xác định điểm I sao cho: IA 2 IB 0
b Xác định điểm K sao cho: KA 2 KB CB
c Xác định điểm M sao cho: MA MB 2 MC 0
Bài 5 Cho các điểm A, B, C, D, E Xác định các điểm O, I, K sao cho:
0 ) KE KD ( 3 KC
KB
KA
.
c
0 ID IC
IB
IA
.
b
0 OC 3 OB
2
OA
.
a
Bài 6 Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M sao cho: MA MB 2 MC 0
Bài 7 Cho tam giác ABC Xác định các điểm M, N sao cho:
a MA 2 MB 0 b.NA 2 NB CB
Bài 8 Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M thoả mãn: 3 AM AB AC AD
Bài 9 Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm O thoả mãn: OA OB OC OD 0
Bài 10 Cho tam giác ABC cố định Chứng minh a MA 4 MB 5 MC không phụ thuộc vị trí của điểm M
Bài 11 Cho tứ giác ABCD Chứng minh chỉ có một điểm M thoả mãn hệ thức: 2 MA 3 MB 5 MC MD 0
Trang 5Dạng 3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng
*Phương pháp chung:
Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: AB k AC ( k R ) Để chứng minh được
điều này ta có thể áp dụng một trong hai phương pháp:
+ Cách 1: áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ
+ Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung gian
*Bài tập áp dụng:
Bài 1 Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC; D và E là hai điểm sao cho: BD DE EC
a Chứng minh: AB AC AD AE
b Tính véctơ: AS AB AD AC AE theo AI
c Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng
Bài 2 Cho tam giác ABC Đặt AB u ; AC v
a Gọi P là điểm đối xứng với B qua C Tính AP theo u ; v?
b Qọi Q và R là hai điểm định bởi: AB Tính theo
3
1 AR
; AC 2
1
c Suy ra P, Q, R thẳng hàng
Bài 3 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J sao cho: 2 IA 3 IC 0, 2 JA 5 JB 3 JC 0
a CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm của AB và BC
b CMR: J là trung điểm của BI
Bài 4 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy các điểm I, J thoả mãn: IA 2 IB; 3 JA 2 JC 0
Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC
Bài 5 Cho tam giác ABC Lấy các điểm M, N, P thoả mãn: MA MB 0 ; 3 AN 2 AC 0 ; PB 2 PC
Chứng minh M, N, P thẳng hàng
Bài 6 Cho hình bình hành ABCD Lấy các điểm I, J thoả mãn: 3 JA 2 JC 2 JD 0 ; JA 2 JB 2 JC 0
Chứng minh I, J, O thẳng hàng với O là giao điểm của AC và BD
Bài 7 Cho tam giác ABC Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác
ABC CMR: O, G, H thẳng hàng
Bài 8 Cho tam giác ABC Lấy các điểm M, N, P sao cho: MB 3 MC 0, AN 3 NC, PA PB 0
Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng
Dạng 4 Chứng minh hai điểm trùng nhau
*Phương pháp chung:
Để chứng minh M và M' trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hướng:
Cách 1: Chứng minh MM ' 0
Cách 2: Chứng minh OM OM ' với O là điểm tuỳ ý
*Bài tập áp dụng:
Bài 1 Cho tam giác ABC Lấy các điểm A 1 BC ; B 1 AC ; C 1 AB sao cho: AA 1 BB 1 CC 1 Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm
Bài 2 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng hai tam
giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm
Trang 6Dạng 5 Quỹ tích điểm
*Phương pháp chung:
Đối với các bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau:
- Nếu MA MB với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB
- Nếu MC k AB với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k AB
- Nếu MA k BC thì
+ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC nếu k R
+ M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng BC nếu k R
+ M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng BC nếu k R
*Bài tập áp dụng:
Bài 1 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
2
3 MC
MB
b MA 3 MB 2 MC 2 MA MB MC
Bài 2 Cho tam giác ABC M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.
a CMR: véctơ v 3 MA 5 MB 2 MC không đổi
b Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: 3 MA 2 MB 2 MC MB MC
Trang 7trục toạ độ và hệ trục toạ độ
Phần 1 Trục toạ độ
Bài 1 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của AB
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2MA + 5MB = 0
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA + 3NB = 1
Bài 2 Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MA + MB MC = 0
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA 3NB = NC
Bài 3 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1.
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA 2MB = 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3NB = AB
Bài 4 Trên trục x'Ox cho 4 điểm A (2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR : + =
AC
1
AD
1 AB 2
b/ Gọi I là trung điểm AB CMR: IC.IDIA2
c/ Gọi J là trung điểm CD CMR: AC.ADAB.AJ
phần 2 Hệ toạ độ đề các vuông góc
I Toạ độ véc tơ - Toạ độ điểm:
Bài 1 Biểu diễn véc tơ u x i y j biết a) u ( 2 ; 5 ) b) u ( 4 ; 0 )
Bài 2 Xác định toạ độ của véc tơ biết: a) u u 5 i 2 j b) u 3 i c)u 7 j
Bài 3 Xác định toạ độ và độ dài của véc tơ biết c
a) c a 3 b; a ( 2 ; 1 ); b ( 3 ; 4 ) b) c a 5 b; a ( 2 ; 3 ); b ( 3 ; 6 )
Bài 4 Cho ba điểm A(-1;1); B(1;3)
a) Xác định toạ độ của các véc tơ: AB ; BA b) Tìm toạ độ điểm M sao cho BM ( 3 ; 0 )
c) Tìm toạ độ điểm N sao cho NA ( 1 ; 1 )
II Biểu diễn Véc tơ:
Bài 1 Biểu diễn véc tơ theo các véc tơ c a ; b biết:
a) a ( 2 ; 1 ); b ( 3 ; 4 ); c ( 4 ; 7 ) b) a ( 1 ; 1 ); b ( 2 ; 3 ); c ( 1 ; 3 )
Bài 2 Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3) Hãy biểu diễn véc tơ AD theo các véc tơ AB;AC
Bài 3 Biểu diễn véc tơ theo các véc tơ c a ; b biết:
a) a ( 4 ; 3 ); b ( 2 ; 1 ); c ( 0 ; 5 ) b) a ( 4 ; 2 ); b ( 5 ; 3 ); c ( 2 ; 0 )
Bài 4 Cho bốn điểm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4) Hãy biểu diễn véc tơ AD theo các véc tơ AB;AC
III Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức véc tơ, độ dài:
Trang 8Bài 1 Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3)
a Xác định toạ độ điểm E sao cho AE 2 BC
b Xác định toạ độ điểm F sao cho AF=CF=5
c Tìm tập hợp điểm M biết: 2 ( MA MB ) 3 MC MB MC
Bài 2 Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1) Xác định toạ độ:
a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyến AA1 c) Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác
d) Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
Bài 3 Cho M(1+2t; 1+3t) Hãy tìm điểm M sao cho 2 nhỏ nhất
M
2
M y
x Bài 4 Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7; )
2
3
a CM: ABC vuông b Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
c Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn: 2 MA 2 MB 3 MC MA MC
Bài 5 Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2) Tìm toạ độ của:
a Trọng tâm G của tam giác b Véc tơ trung tuyến ứng với cạnh BC
c Điểm D sao cho ABCD là hình bình hành d Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
e Điểm M biết: CM 2 AB 3 AC f Điểm N biết: AN 2 BN 4 CN 0
Bài 6 Cho tam giác ABC với A(-3;6); B(1;-2); C(6;3) Tìm toạ độ của:
a Trọng tâm G b Tâm đường tròn ngoại tiếp c Điểm M biết 2 AM 3 CM AB
Bài 7 Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Bài 8 Cho điểm A(3;1)
a Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong góc phần tư thứ nhất
b Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông OABC
Bài 9 Cho M(1-2t; 1-3t) Hãy tìm điểm M sao cho 2 nhỏ nhất
M
2
M y
x
IV Véc tơ cùng phương - Ba điểm thẳng hàng:
Bài 1 Cho A(0;4); B(3;2).
a Chứng minh A , B , C biết C(-6-3t;8+2t) b A, B, D không thẳng hàng biết D(3;0) Tính chu vi ABD
Bài 2 Cho A(2;1); B(6;-1) Tìm toạ độ:
a Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng
b Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng
c Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA 2 5
Bài 3(ĐHNN97): Cho A(1;1); B(3;3); C(2;0)
a Tính diện tích tam giác ABC B Tìm tất cả các điểm M trên trục Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất
Bài 4 Tìm điểm P trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết:
a) A(1;1) và B(2;-4) b) A(1;2) và B(3;4)
Bài 5 Cho M(4;1) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A và B sao cho:
a Diện tích OAB lớn nhất b OA+OB nhỏ nhất c 2 2 nhỏ nhất
OB
1
OA 1
Bài 6 Cho A(-1;-4); B(3;4) Tìm toạ độ:
a Điểm M trên trục hoành sao cho A,B,M thẳng hàng
b Điểm N trên trục tung sao cho A, B, N thẳng hàng
c Điểm P khác điểm B sao cho A, B, P thẳng hàng và PA 3 5
Trang 9a Diện tích OAB lớn nhất b OA+OB nhỏ nhất c 2 2 nhỏ nhất.
OB
OA 1
Bài 12 Cho M(1;2) và hai điểm A(a;0); B(0;b) với a,b>0 sao cho A,B,M thẳng hàng Xác định toạ độ A và B sao cho:
a Diện tích OAB lớn nhất b OA+OB nhỏ nhất c 2 2 nhỏ nhất
OB
1
OA 1
Bài tập tự luyện:
Bài 1 Viết tọa độ của các vectơ sau: =a i 3 , = j b + ; = + ; = 3 ; = 4
2
1
i
j
c
i
2
3
j
d
i
e
j
Bài 2 Viết dưới dạng = x + y , biết rằng:u i j
= (1; 3) ; = (4; 1) ; = (0; 1) ; = (1, 0) ; = (0, 0)
u
u
u
u
u
Bài 3 Trong mp Oxy cho = (1; 3) , = (2, 0) Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ:a b
a/ = 3 2u a b b/ = 2 + v a b c/ = 4 w a
2
1
b
Bài 4 Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ AB , AC , BC b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM = 2AB 3AC
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN + 2BN 4CN = 0
Bài 5 Trong mp Oxy cho ABC có A (4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).
a/ CMR : ABC cân Tính chu vi ABC
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC
Bài 6 Trong mp Oxy cho ABC có A (0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1).
a/ CMR : ABC vuông Tính diện tích ABC b/ Gọi D (3; 1) CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
Bài 7 Trong mp Oxy cho ABC có A (3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4).
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC
c/ Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đường tròn đó
Bài 8 Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3) Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông tại M Bài 9 Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C
b/ Tính diện tích ABC c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
Bài 10 Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC
c/ CMR : ABC vuông cân d/ Tính diện tích ABC
Chúc các em ôn tập tốt!
(Tóm lại là phải chăm chỉ nhiều vào mới có thể giỏi được!!!!)
Trang 10Tích vô hướng
I Lí thuyết:
1 Định nghĩa: a b a b cos a , b
o o
180 b , a 90 0 b , a cos
0
b
.
a
b a 90 b , a 0 b , a cos
0
b
.
a
90 b , a 0 0 b , a cos
0
b
.
a
2 Tính chất:
a
.
b
b
.
3 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng:
Nếu a ( x 1 ; y 1 ); b ( x 2 ; y 2 ) a b x 1 y 1 x 2 y 2
4 Công thức hình chiếu:
a Nếu bốn điểm A, B, C, D cùng ở trên một trục thì: AB CD AB CD
b Nếu A', B' là hình chiếu của A, B lên giá của CD thì:
CD '
B
'
A
CD
.
II Bài tập áp dụng:
Tính tích vô hướng Bài 1 Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G.
a Tính các tích vô hướng AB CD ; AB BC b Gọi I là điểm thoả mãn IA 2 IB 4 IC 0 Chứng minh rằng:
BCIG là hình bình hành từ đó tính IAAB AC; IB IC ; IA IB
Bài 2 Cho tam giác ABC cạnh a, b, c.
a Tính AB AC từ đó suy ra: AB AC BC CA CA AB
b Gọi M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài đoạn AM từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc nhọn tạo bởi AG và BC
Bài 3 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O, M là điểm tuỳ ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông, N là điểm tuỳ ý trên
cạnh BC Tính:
a MA MB MC MD b.NA NB c NO BA
Bài 4 Cho ba véc tơ a ; b ; c thoả mãn điều kiện a a ; b b ; c c và a b c 0 Tính: A a b b c a