“Con dường bước đến thành công , không bao giờ có Dấu chân của những kẽ lười biếng !” Bài 3.56 Hãy tìm các giá trị của k để các nghiệm của phương trình :2x2-k+2x+7=k2 trái dấu nhau và là[r]
Trang 1Ch ương III : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§1.Khái niệm phương trình, phương trình bậc nhất một ẩn.
A.LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1 Phương trình một ẩn
Là mệnh đề chứa một biến x có dạng f(x) = g(x), x gọi là ẩn số, f(x) là vế trái;
g(x) là vế phải
Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là điều kiện cho ẩn x để các biểu thức ở hai vế có nghĩa
Mỗi số x0 thoả mãn ĐKXĐ sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng, là một nghiệm
của phương trình Một phương trình có tập nghiệm bằng rỗng gọi là phương trình vô
nghiệm
2 Phương trình tương đương (PTTĐ), phương trình hệ quả (PTHQ)
Cho hai phương trình (PT): f1(x) = g1(x) (1) & f2(x) = g2(x) (2)
+ PT (2) là (PTHQ) của PT (1) , kí hiệu f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x) nếu tập nghiệm của (1) là tập con của tập nghiệm của (2)
+ Hai phương trình (1) và (2) là tương đương, kí hiệu f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x), nếu các tập nghiệm của (1) và của (2) bằng nhau
3 Phép biến đổi tương đương
Định lý : Gọi D là ĐKXĐ của PT f(x) = g(x) và h(x) là biểu thức xác định xDthì
a) f(x) = g(x) f(x) + h(x) = g(x) + h(x)
b) f(x) = g(x) f(x) h(x) = g(x) h(x) , nếu h(x) 0 , xD
4 Phương trình bậc nhất một ẩn
+ Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng ax + b = 0, trong đó x là ẩn số, a, b R ; a 0 x được gọi là ẩn còn a, b là các hệ số
+ PT ax + b = 0 với a 0 có nghiệm duy nhất x = -b/a.
5 Giải và biện luận phương trình ax + b = 0
Nếu a 0, PT có nghiệm duy nhất x = -b/a.
Nếu a = 0, b 0, PT vô nghiệm.
Nếu a = 0, b = 0, PT có nghiệm x R.
B CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Bài 3.1 Các cặp PT sau có tương đương không ?
a) 2x + 3 = 8 – 3x và
1
3 8 1
3 2
2
x
x x
x
b) 2x + 3 = 8 – 3x và 2x + 3 + = 8 – 3x +
4
2
2
2
2
x
Trang 2Bài 3.2 Giải các phương trình :
a) 2x – 1 + x1 1x1 ; b) x2 6 x2 6x93
Bài 3.3 Cho các phương trình bậc nhất với tham số m :
3mx – 4 = 2(m – x) và m(4x – 1) = 5x + 1
Xác định các giá trị của m để hai phương trình có một nghiệm chung
Bài 3.4 Giải các phương trình sau :
a) ; b)
3
4 2 10
3 2
3
x
) 1 (
3 1
1 1
1
2 4 2
x x x x
x
x x
x x
87
1919 81
1925 75
1931
59
7 61
5 63
3 65
x
Bài 3.5 Giải và biện luận phương trình với ẩn số x :
a) m2(x-1) = 9x + 3m ; b) 2 3
m x
m mx
m x
x x
m
x
2 3
mx
Bài 3.6 Giải và biện luận phương trình theo hai tham số a, b :
2 2
2
2 2
b x
x a x b
b x
a
x
b
x a
x b a
ab x
Bài 3.7 Tìm giá trị của tham số sao cho phương trình :
a) m2x5m(x1) vô nghiệm
b) m2xm25x5 có vô số nghiệm
c) m(m1)x1m2 có nghiệm duy nhất
C Bài Tập Tương Tự
Bài 3.8 Các cặp PT sau có tương đương không ?
a) 3x + 1 = 2x + 4 và 3x + 1 + = 2x + 4 +
1
1
1
x
b) 3x +1 = 2x + 4 và 3x +1 + = 2x + 4 +
3
1
1
x
Bài 3.9 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số ( x là ẩn số).
1a) m2(x2)m(7x)3(2x1) ; 1b) m2(x1)3mx2(5x2)
Trang 32a) 2 ; 2b)
2 1
x
m mx
2
1 2
x
m mx
3a) ; 3b)
2
x m
x
x
3
1 1
x
x m x x
4a) 2 ; 4b)
m x
n x n x
m x
2 1
x
m x m x x
1 ) 1 (
1 1
1
m x
mx
m
1 ) 2 (
2 1
1 2
2
m mx
m x
6a) m2x3nm(3xn) ; 6b) m2xmn2(mxn)
7a) xm xm2 ; 7b)
1
x m x x
Bài 3.10 Giải và biện luận phương trình theo hai tham số a, b :
a) ; b)
1
) 1 ( 1 1
1
2
2
x
x a x
b x
ax
2 )
1 2 ( ) 1 (x b x x
a
Bài 3.11 Xác định m để các phương trình sau vô nghiệm :
a) 2 ; b)
2
1
x
x x
m
x
2 1 2
1
x
m x x
x
Bài 3.12 Tìm a và b để phương trình sau có tập nghiệm là R :
a) a(x2)x3b(2x1) ; b) a(x1)b(2x1) x2
Bài 3,13 Tìm m là số nguyên để các phương trình sau có nghiệm :
2
3 ) 2 3 ( 1
2 )
1 3
(
x
x m x
m x m
2
2 )
3 2 ( 9
3 ) 1 2 (
x
m x m x
x m
Bài 3.14 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm âm :
a) m2(x1) x2m3 ; b) m2(x1)4x3m2
Trang 4§2 Phương trình – hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Phương trình bậc nhất hai ẩn số
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng : ax + by = c (1) , trong đó a, b, c là các số đã biết với a.b 0 ; x, y là hai ẩn số.
+ Cặp số (x0 ; y0) thoả mãn ax0 + by0 = c thì (x0 ; y0) được gọi là một nghiệm của (1) + + Phương trình bậc nhất hai ẩn số có vô số nghiệm, biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ
là đường thẳng ax + by = c
2 Giải và biện luận phương trình ax + by = c (1)
a) Nếu a 0 , b 0, phương trình (1) có vô số nghiệm Công thức nghiệm tổng quát của phương
b
ax c
,
; a
by -c ,
Tập nghiệm của (1) được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đồ thị hàm số :
Còn gọi là đường thẳng ax + by = c
b
c x
b
a
y
b) Nếu a = 0 , b 0, phương trình có dạng by = c Công thức nghiệm tổng quát là :
x R Tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng song song với
b
c
;
;
trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tạo độ
b
c
; 0 c) Nếu a 0 , b =0, phương trình có dạng ax = c Công thức nghiệm tổng quát là :
y y R Tập nghiệm được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đường thẳng song song với
a
c
;
;
trục tung và cắt trục hoành tại điểm có tạo độ
0
;
a c
d) Nếu a = 0, b = 0, c 0 thì hệ vô nghiệm.
e) Nếu a = b = c = 0 thì mọi cặp số (x ; y) , x ;R yR đều là nghiệm của phương trình
3 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số
+ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng :
(I) :
) 2 (
) 1 (
2 2 2
1 1 1
c y b x a
c y b x a
trong đó (1) và (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Kí hiệu : 1 2 2 1 , gọi là định thức của hệ (1)
2 2
1 1
b a b a b a
b a
Trang 51 2 2 1 ;
2 2
1 1
b c b c b c
b c
2 2
1 1
c a c a c a
c a
Ta có qui tắc Crame để giải hệ (I) như sau :
a) Nếu D 0 hệ (I) có một nghiệm duy nhất (x 0 ; y0) được xác định bỡi công thức :
D
D y D
D
x0 x ; 0 y b) Nếu D = 0 va ø Dx 0 (hoặc D y 0) thì hệ (I) vô nghiệm.
c) Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ (I) có vô số nghiệm là tập nghiệm của (1) hoặc của (2)
4 Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Gọi d1 là đường thẳng a1x + b1y = c1 và d2 là đường thẳng a2x + b2y = c2
Hệ (I) có nghiệm duy nhất d1 và d2 cắt nhau
Hệ (I) vô nghiệm d1 // d2
Hệ (I) có vô số nghiệm d1 d 2
B CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Bài 3.15 Giải phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng toạ độ :
a) 4x – 3y = 6 ; b) -3x + 2y = 4
Bài 3.16 Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc nhất hai ẩn số x và y :
a) (3m - 2)x + (m+1)y = m – 2 ; b) (m2 – 1)x + (m+1)y = m2 – m -2
Bài 3.17 Cho k là một số thực xác định Hãy tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sao cho
cặp số là nghiệm của phương trình đó
3 1
;
Bài 3.18 Giải các hệ phương trình :
8 2 3
1 3 5
y x
y x
0 3 4 5
0 4 2 3
y x
y x
O x
y
d 1
y
2
1 d
d
O x
y
d1
d 2
Trang 6c) ; d)
20
29 1
1 3 5
2 1
5 3 4
y x
y x
15
8 1 2
2
15
29 1
2 2
y
y x
x y
y x
x
e) ; g)
1 3
3 2
y x
x y x
10 3 2
11 3
2
6 2
3
z y x
z y x
z y x
Bài 3.19 Cho hệ phương trình : (I) ; trong đó m là tham số Với giá trị
1 3
2 )
2 (
m my x
m y x m
nào của m hệ (I) có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm đó
Bài 3.20 Cho hệ phương trình : (I) ; trong đó m là tham số Với giá trị
m y
m x
m y x m
6 ) 4 (
) 2 ( nào của m hệ (I) có vô số nghiệm Viết công thức nghiệm của hệ trong trường hợp đó
Bài 3.21 Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình (I)
2 )
1 (
3 ) 2 ( 6
ay x a
y a ax
Trong trường hợp hệ (I) có nghiệm duy nhất, hãy tìm một hệ thức giữa x và y độc lập với tham số a
Bài 3.22 1) Cho hệ phương trình với tham số m : (I)
m y m x
m y mx
6 ) 1 ( 2
2 Tìm những giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm nguyên
2) Cho hệ phương trình với tham số m : (I)
m m y x m
m y x m
2
1 2
) 1 (
2 2
Tìm những giá trị nguyên của m để hệ (I) có nghiệm nguyên
C BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 3.23 Giải và biện luận theo tham số m phương trình bậc nhất hai ẩn số x và y :
a) (2m - 3)x + (m-1)y = m + 2 ; b) (m2 – 4)x + (m-2)y = m2 + m -6
Bài 3.24 Cho k là một số thực xác định Hãy tìm một phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sao cho
cặp số là nghiệm của phương trình đó
2
;
2 k k
Trang 7Bài 3.25 Giải các hệ phương trình :
5 3
4 3 2
y x
y x
3 5 2
2
7 2
3
y x
y x
1 9 4
3 3 2
y x y x
y x y x
3
2 1 2
2 1
1
6
5 1 2
1 1
3
y x y
x
y x y
x
e) ; g)
9 5
5 3
y x
y x
3 4 3
1 2
2 3 2
z y x
z y x
z y x
Bài 3.26 Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số là x và y)
1 2 )
6 2 (
4 4
m y x m
m my x
2
1 2
my x
y mx
2 )
2 (
3 2
) 1 (
my x m
y m x m
1 2
) 1 (
my x
m y x m
m y m mx
m n my nx
4
2
2
2 2
n y nx
m my x
m y n m x n m
n y n m x n m
) ( ) (
) 2 ( ) 2 (
mn my
nx
n m ny mx
2
2 2
Bài 3.27 1) Cho hệ phương trình :
0 2 ) 1 (
0 3 6 ) 2 (
y m mx
my x m
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m
2) Cho hệ phương trình :
2 )
1 (
9 ) 2 ( 6
my x m
y m mx
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m
b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối
với m
Bài 3.28 Tìm m là số nguyên để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) với
Trang 8x, y đều là các số nguyên Lúc đó tìm (x;y) :
0 4 ) 2 ( 2
0 2 )
1 3 ( ) 1 (
y m x
m y m x m
0 1 2
0 3
m my x
m y mx
2a) ; 2b)
1 2 2
1 2
m my x
m y mx
1
3 2
m y x
m y mx
Bài 3.29 Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với nhau :
và
3
1 2
y x
n y mx
3 3
2
y x
m y x
Bài 3.30 Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất :
0
0 1
0 1
m y x
my x
y mx
§3 Phương trình bậc hai một ẩn số
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Công thức nghiệm
Phương trình bâïc hai (một ẩn x) có dạng ax2 + bx + c = 0 (1)
trong đó a, b, c là các số đã biết gọi là các hệ số ; x là ẩn số
Đặt b2 4ac ' b'2ac với b2b' là biệt thức của (1)
a) Nếu > 0 ( ’> 0), phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt tính bỡi công thức :
a
b x
a
b x hay a
b x
a
b
2
;
' 1 2
1
b) Nếu = 0 ( ’= 0), phương trình (1) có một nghiệm kép tính bỡi công thức :
x1 = x2 = -b/2a ( hay x1 = x2 = -b’/a)
c) Nếu < 0 ( ’< 0), phương trình (1) vô nghiệm.
2 Định lý Vi-et và ứng dụng
Định lý : Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có các nghiệm là x 1 và x2 thì tổng và tích các
a
c x x P a
b x
x1 2 ; 1 2
Ứng dụng :
* Nhẩm nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)
- Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a + b + c = 0 thì nó có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm
x2 = c/a
- Nếu (1) có các hệ số thoả mãn a - b + c = 0 thì nó có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm
x2 = -c/a
Trang 9* Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng là S và có tích là P thì các số ấy là nghiệm của phương trình :
x2 -Sx + P = 0
* Phân tích một tam thức bậc hai thành thừa số
Nếu f(x)ax2 bxc0 x x1 x x2 f(x)a(xx1)(xx2)
3.Giải và biện luận phương trình ax 2 + bx + c = 0
Khi phương trình ax2 + bx + c = 0 trong đó a hoặc b hoặc c có chứa tham số Bài toán giải và biện luận phương trình đượpc tiến hành như sau :
Bước 1: xét trường hợp a = 0 (nếu a có chứa tham số ) (giả sử tham số là m)
Từ a = 0 m = … thay giá trị m vào b và c Phương trình là bx + c = 0 với b, c là số đã
biết Có một trong hai khả năng sau xảy ra :
Nếu b = 0 và c 0 ( 0x + c = 0 với c 0) thì phương trình vô nghiệm.
Nếu b = 0 và c = 0 (0x + 0 = 0 ) thì phương trình có vô nghiệm x TXĐ
Bước 2: Xét trường hợp a 0 m …
Tính biệt số b2 4ac (hay 'b'2ac) (Chú ý dấu của và ’như nhau)
Biện luận theo dấu của (hoặc ’) :
- Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x 0 = -b/2a (hoặc x0 = -b’/a)
- Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt tính theo công thức :
a
b x
a
b x hay a
b x
a
b
2
;
' 1 2
1
Bước 3: Tóm tắt lại các kết quả (Bước này có thể bỏ qua nếu làm bài không kịp thời gian)
4 Dấu các nghiệm số của phương trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0
Nếu ac < 0 x1 < 0 < x2 (gt x1 < x2 ) (tức là phương trình có 2 nghiệm trái dấu)
Nếu ac > 0 ta tính 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (tức là x 1.x2 > 0) Đặt S = x1 + x2 (= -b/a) ; P = x1.x2 (= c/a > 0)
-Nếu S > 0 thì 0 < x1 < x2 (phương trình có hai nghiệm dương)
-Nếu S < 0 thì x1 < x2 < 0 (phương trình có hai nghiệm âm)
Tóm tắt mục này như sau :
Nếu P < 0 x1 < 0 < x2
Nếu 0 < x1 < x2 ; Nếu x1 < x2 < 0
0 0 0
S
0 0 0
S P
5 Một số phương trình qui về cách giải phương trình bậc hai
a) Phương trình trùng phương dạng ax 4 + bx 2 + c = 0 (a 0) (1)
-Đặt ẩn phụ y = x2 , điều kiện y 0.
-Viết phương trình theo y là ay2 + by + c = 0 (2)
Bảng tóm tắt về nghiệm của (2) suy ra nghiệm tương ứng của (1) như sau :
Phương trình trung gian
ay 2 + by + c = 0
Phương trình trùng phương
ax 4 + bx 2 + c = 0
Trang 100 < y1 < y2 x1,2 y1 ; x3,4 y2
y1 < 0 < y2 x1,2 y2
y1 = 0 < y2 x 0 = 0 và x1,2 y2
0 < y1 < y2 xo
b) phương trình dạng (xa)(xb)(xc)(xd)k với a,b,c,d,k R (1)
với điều kiện trong 4 số a,b,c,d có tổng hai số bằng tổng hai số còn lại
giả sử a + b = c + d = m, khai triển (1) với mỗi nhóm tích của hai thừa số :
x2 (ab)xabx2 (cd)xcdk rồi đặt ẩn phụ t = x2 + mx thì ta thu được
phương trình bậc hai theo t Giải tìm nghiệm t0 rồi giải PT x2 + mx = t0 để tìm x
B CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Bài 3.31 Giải các phương trình sau :
1 3
4 15 1 2
5
x
x x
x
x x
x x
x
4 2
1 4
2
2 2
c) (x3)(x4)(x5)(x6)120 ; d) 2x2 3x2 2x2 3x 3
e) 3x4 x5 2 20 ; g) 2x4 x7 2 40
Bài 3.32 Cho phương trình : (m2-4)x2 – 2(m+2)x + 1 = 0 ; m là tham số
a) Với giá trị nào của m phương trình có một nghiệm ?
b) Với giá trị nào của m phương trình vô nghiệm ?
Bài 3.33 Giải và biện luận phương trình với tham số m :
a) (m+1)x2 – 2(m+2)x + m -3 = 0 ; b) (m+1)x2 - (2m+1)x + m-2 = 0
Bài 3.34 Cho hai phương trình chứa tham số m :
x2 + mx + 2 = 0 và x2 + 2x + m = 0
a) Xác định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung
b) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)( x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 3.35 Cho hai phương trình : x2 + mx + n = 0 x2 + px + q = 0 thoả mãn điều kiện :
mp2(qn) Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm
Bài 3.36 Không giải hãy nhẩm nghiệm của phương trình :
a) 3x2 – 10x + 7 = 0 ; b) 45x2 + 2007x + 1962 = 0
Bài 3.37 Lập các phương trình bậc hai có các nghiệm :
a) Lớn hơn các nghiệm của phương trình 2x2 + x -3 = 0 là 2
b) Lớn hơn các nghiệm của phương trình x2 + px + p = 0 là p/2