Các bài toán về hệ phương trình

Biện luận số nghiệm của HPT theo m.[r]

CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I.Hệ phương trình đối xứng loại 1:









II.Hệ phương trình đối xứng loại 2:

2

2

13 4

13 4

xyz x y z

ztx z t x

txy t x y

  



III.Hệ phương trình đẳng cấp:

IV.Hệ phương trình vô tỉ:

128

x y



( bp (1) )

2(1)

x y x y

x y x y xy

x y

V Giải HPT bằng pp đánh giá:

2

2

2 1/ 1

x y yz

z y xz

x z yx

z x

  

 

2 2 2

1 2

xy z

VI Một số HPT khác:

3

2

x y x y

x y x y

y x

xy

 



(3 2 )( 1) 12 ( 2)(2 ) 9 ( )(1 1/ ) 5 18

x y x y

z x x y z

xy x y xyz x y xy a x y xy x x y z yz

yz y z xyz y z yz b y z yz y x y z xz

xz z x xyz z x zx c z x zx z x y z xy

1

y

2

x y



3

3 4

16

x y

x y

  



2 4

2

4





1 1

x x y x y x x y x y x x

x y xy



2 2;1 (1; 2)

x y x y yz z y SP

x y x



;

/ 9 / 2

6

xy y x

x y x y zy z y

y xy x



4

y



2 2







2 2

2 2

2 2



{ 𝑥3‒ 𝑦3= 9

2𝑥2+𝑦2=4𝑥 ‒ 𝑦↔{ 𝑥3+ 8 =𝑦3+ 1

2𝑥(2 ‒ 𝑥) = 𝑦2+𝑦(2;‒ 1)&𝑓(‒𝑥2)=𝑥2+ 4

‒ 2𝑥 =𝑓(𝑦) =

𝑦2+ 1

𝑦 →(2; ‒1)

VII Biện luận hệ phương trình:

1/ Tìm gt của m để hpt sau có nghiệm: x2 y 2xy m(1)

x y m







S  PS  P P m P m mS   m S    m m 

có nghiệm ta chỉ cần đk:   m 2 3m  1 0 3m     1 m 2 0 m 8 ( do m0 từ pt thứ hai của hệ )

2/ Giải và bl hpt:

2

2

2 2

x xy y mx

y xy x my







Giải: Trừ các vế của 2 pt ta được: (xy x)(   y 1 m) 0

a/ x y 3x2m x(    1) 0 x 0;(m1) / 3

b/ y   m 1 x x2(m1)x    m 1 0 (m1)(m5)

Kết luận: +/ 1 < m < 5: hpt có nghiệm x y 0;x y (m1) / 3

+/ m  1 m 5: hpt có nghiệm: x y 0;x y (m1) / 3;( 1 ; 1 )

m   m  

3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:

1(1)

x xy y

x xy y m







(1) : ( 1) 1

x ty y t   t 2

1 0

t   t

(4)

(t  3t 2) /(t    t 1) m (m1)t  (3 m t)   m 2 0

+/ m = 1: t = 1/2  hpt có nghiệm

+/ m1: (4) có   3(m4)(m6)

Từ đó ta suy ra hpt có nghiệm khi   4 m 6

4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:  x 1 y 1 3



Giải: hpt đã cho tđ với: hpt có nghiệm khi

/ 3 ( 1) ( 1)

P m

u v v u u v m

5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm duy nhất:

4 4

y x x ax

x y x ay







Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: ( ;x y0 0) thì nó cũng có nghiệm (y x0; 0) do đó để hpt có nghiệm duy nhất thì

x  y  x  x ax   25 4 a  0 a 25 / 4

4

x y y ay

x y x xy y x y a





x xyy  x y   a

do a > 25/4

'

12(3 ) 0

Với x = y thì hpt trở thành 2 Do nên pt chỉ có nghiệm x = 0 do đó

x x  xa  a25 / 4  25 4 a0

hpt có nghiệm duy nhất x = y = 0 Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có nghiệm duy nhất

6/ Giải và biện luận hpt: x y xy a

x y a





 



Giải: trừ các vế của hai pt ta được: 2y xy     0 y 0 x 4 (y y0)

a/ a < 0: hpt có hai nghiệm ( a; 0) và ( 4a/3; a/3)

b/ a0: hpt có nghiệm duy nhất ( a; 0)

MỘT SỐ BÀI TẬP:

1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm:

2

4

x xy y k

y xy







2/ Tìm các GT của m để hpt sau có nghiệm: 4 1 4(13 / 3 7)

3

m

x y m



 



3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất: có nghiệm duy nhất ( m > 16 )

7 7

x y x mx

y x y my







4/Cminh với mọi m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm duy nhất: 22 1( 1)

x y xy m

m

xy x y m m









5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:

x xy y

m





6/ Cho HPT: 2 2 Biện luận số nghiệm của HPT theo m Khi HPT có hai nghiệm

( ) & ( )

1 1 2 2

( ;x y ) & ( ;x y ) S (x2x1)2 (y2y1)2

- //