Việc xây dựng một hệ thống kiến thức cơ bản, dựa vào đó để tìm ra các phương pháp giải bài toán chia hết, giúp các em học sinh, nhất là học sinh giỏi có kỹ năng thành thạo, linh hoạt, sá[r]
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ
Luật giáo dục quy định: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực,
tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực
tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”;
Mục đích của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông là thay đổi lối dạy truyền thụ một chiều sang dạy theo “Phương pháp dạy học tích cực” nhằm giúp học sinh:
- Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn;
- Tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập; làm cho “việc học” là quá trình kiến tạo, tìm tòi, khám phá, luyện tập, khai thác và xử lí thông tin, … Học sinh
tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất;
- Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm ra chân lí Chú trọng hình thành các năng lực (tự học, sáng tạo, hợp tác, …) dạy phương pháp
và kỹ thuật lao động khoa học, dạy cách học
Vậy làm thế nào để đạt được các mục đích trên?
Để trả lời được câu hỏi này, trước tiên người giáo viên phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng chủ động, sáng tạo
Vấn đề nêu trên cũng khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức các môn học
Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoa học hiện đại Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo, đặc biệt là môn toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức một cách chính xác, khoa học và hiện đại Vì thế, để giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt, giáo viên không chỉ có kiến thức vững vàng, một tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh một cách dễ hiểu nhất;
Trong giáo dục, môn toán có một vị trí quan trọng Trong nhà trường, các tri thức toán giúp học sinh học tốt các môn học khác Trong đời sống hàng ngày thì có được các kĩ năng tính toán, vẽ hình, đọc, vẽ biểu đồ, đo đạc, ước lượng, từ đó giúp con người có điều kiện thuận lợi để tiến hành hoạt động lao động trong thời kỳ công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước;
Trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi cũng dự rất nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã tham gia trực tiếp dạy đại trà, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi song tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực cho học sinh còn có nhiều hạn chế Nhiều bài toán trong các kỳ thi khảo sát chất lượng, kỳ thi học sinh giỏi, đặc biệt các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập không đến nỗi khó lắm Thế nhưng, nhiều học sinh vẫn
Trang 2không làm được mặc dù học sinh đã được làm quen tiếp cận các dạng toán, qua bài giảng của giáo viên, qua sách vở, tài liệu;
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu của học sinh, trong giảng dạy chúng ta phải biết chọn lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tư duy toán học Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy phép chia hết là một dạng toán đặc biệt quan trọng và không thể thiếu ở lớp 6;
Các bài toán về phép chia hết rất phong phú và đa dạng, nó tương đối khó đối với học sinh lớp 6 Để giải các bài toán về chia hết học sinh phải nắm được định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết, tính chất về chia hết, phải tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, tư duy sáng tạo;
Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hướng được hướng đi, hay hơn thế là hình thành được một “kỹ năng” nào đó mà mỗi khi gặp một bài toán chia hết thì có thể giải được một cách dễ dàng;
Là người trực tiếp giảng dạy toán trong trường THCS, trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi luôn luôn trăn trở, tìm tòi, chọn lọc những phương pháp hợp lý nhất để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh một cách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán này để dần dần các em có được một số phương
pháp giải cơ bản nhất Trong khuôn khổ nhỏ hẹp này tôi xin nêu ra "Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 dạng chia hết".
Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, qua trao đổi kinh nghiệm và qua một
số tài liệu tham khảo tôi thấy rằng đề tài này cũng đã được nghiên cứu rồi, tuy nhiên phạm vi nghiên cứu là học sinh của bậc trung học cơ sở Cái mới của đề tài mà tôi chọn là tìm ra các kỹ năng giải toán mới hoặc các kỹ năng giải toán cũ song có cách vận dụng mới trong việc giải bài toán chia hết cho học sinh lớp 6;
B NỘI DUNG
I THỰC TRẠNG
Từ tiểu học chuyển lên THCS, học sinh còn rất bỡ ngỡ với cách học mới, cách học đòi hỏi học sinh chủ động, tư duy sáng tạo, … trong lúc các em đang quen với tính toán các số tự nhiên đơn giản, và các dấu hiệu cụ thể Do vậy, học sinh áp dụng lý thuyết thuần tuý vào việc giải bài tập là một điều khó khăn, lúng túng không biết cách làm và thực hiện phép toán như thế nào Chỉ có học sinh khá, giỏi mới có thể biết hướng làm, và giải quyết được vấn đề của bài toán Tính chất chia hết là phần kiến thức quan trọng trong số học 6 nói riêng và chương trình toán THCS nói chung Nhưng nhiều khi học sinh nắm chắc lý thuyết vẫn chưa biết cách vận dụng vào làm bài tập, các em chưa có khả năng tư duy sáng tạo, tư duy tổng hợp;
Vì vậy, để giải quyết được vấn đề trên giáo viên cần có phương pháp để làm cho học sinh vận dụng lý thuyết vào giải bài tập một cách thành thạo và ngược lại, phải tạo cho học sinh hứng thú trong giải bài tập, và yêu thích môn học
Dạng toán chia hết các em đã được làm quen ở chương trình Tiểu học, tính chất chia hết của tổng là cơ sở để giải thích các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
Trang 3Ngoài ra còn là một kiến thức quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến vấn đề chia hết;
Do vậy học sinh phải nắm vững kiến thức, phân loại được các dạng toán, … qua đó học sinh có thể phát triển được tư duy, sáng tạo, chủ động trong việc giải toán Trong chương trình toán THCS có rất nhiều dạng bài tập khi giải phải vận dụng tính chất chia hết để giải quyết, đặc biệt được mở rộng trong tập hợp số nguyên Vì vậy, để tránh gặp khó khăn cho sau này các em phải nắm chắc tính chất, dấu hiệu chia hết trong tập hợp số tự nhiên;
Trước khi thực hiện chuyên đề này, tôi đã tiến hành khảo sát đối với đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 6 của trường bằng bài tập: Cho số 23 7x y Tìm x và y để
số 23 7x y chia hết cho cả 2, 3 và 5;
Kết quả: đa số học sinh chỉ biết nhẩm rồi đưa ra đáp án nhưng đáp án vẫn
chưa đủ, các em không biết lập luận, không biết cách trình bày lời giải Nhiều em nắm lý thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được
Do vậy, việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng giải toán chia hết, ngoài việc nắm
lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng định nghĩa, tính chất hoặc dấu hiệu chia hết,
từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập;
Qua thực tiễn và tham khảo tài liệu tôi đã hệ thống lại kiến thức từ lý thuyết đến bài tập, từ đơn giản đến phức tạp của phần chia hết trong số học 6 Ngoài ra, tôi còn mở rộng thêm các bài tập nâng cao khác nhau có sử dụng tính chất chia hết, mỗi dạng đều có bài tập minh hoạ và các bài toán cùng dạng
II PHƯƠNG PHÁP
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu SGK, sách tham khảo;
- Phương pháp kiểm tra, thực hành;
- Phương pháp vấn đáp, đàm thoại;
- Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và của đồng nghiệp khi dạy phần “phép chia hết”
III BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Để đạt được hiệu quả khi giải các bài toán nói chung và giải các bài toán về chia hết nói riêng, tôi đã rèn cho học sinh ghi nhớ khái niệm, công thức, định nghĩa, dấu hiệu chia hết để áp dụng giải một số bài toán dạng này
TRƯỚC TIÊN HỌC SINH PHẢI NẮM VỮNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, DẤU HIỆU CHIA HẾT
1 Định nghĩa
Cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0), ta nói a chia hết cho b (kí hiệu a b) nếu tìm được số tự nhiên q sao cho a = bq Khi đó, a là bội của b và b là ước của a
2 Các tính chất chia hết
- Bất kỳ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó
- Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
- Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0
- Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1
Trang 4- a a với mọi a N*.
- a b và b a a = b
- a m, b m (a + b) m, (a – b) m
- a m, b m (a + b) m, (a – b) m
- a b và a c mà (b; c) = 1 a (b.c)
- a.b c và (b; c) = 1 thì a c
- a m k.a m, với k N
- a m, b n a.b m.n
- a.b m và m là số nguyên tố a m hoặc b m
-a m an m, với n N
- a b an bn, với n N
- a1 m, a2 m, a3 m, …, an m (a1 + a2 + a3 + + an) m
- a1 m, a2 m, a3 m, …, an m (a1 + a2 + a3+ + an) m
- a m, b m k1a + k2b m
- a m, b m; (a + b + c) m c m
- a m, b m; (a + b + c) m c m
3 Các dấu hiệu chia hết
a 2 a có chữ số tận cùng bằng 0; 2; 4; 6; 8
a 5 a có chữ số tận cùng bằng 0; 5
a 3 (hoặc 9) a có tổng các chữ số chia hết cho 3 (hoặc 9)
a 4 (hoặc 25) hai chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết cho 4 (hoặc 25)
Lấy chữ số đầu tiên nhân với 3 råi cộng thêm chữ số tiếp theo, được bao nhiêu nhân với 3 rồi cộng thêm chữ số tiếp theo; Cứ làm như vậy cho đến chữ số cuối cùng Nếu kết quả cuối cùng này chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7
a 8 (hoặc 125) ba chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết cho 8 (hoặc 125)
a 11 tổng các chữ số hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số hàng chẵn (hoặc ngược lại) chia hết cho 11
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT
1 Phương pháp 1: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết
1.1 Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu
Để chứng minh a chia hết cho b (b # 0), ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đều chia hết cho b;
Để chứng minh a không chia hết cho b (b # 0), ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh có một số hạng không chia hết cho b còn tất
cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b
Bài tập 1: Chứng minh rằng:
a) 450 + 990 + 180 chia hết cho 9
b) 5125 + 1350 + 2350 chia hết cho 5
c) 5116 - 524 chia hết cho 4
Trang 5Giải:
a) 450 9, 990 9, 180 9 nên (450 + 990 + 180) 9 (tính chất chia hết của tổng)
b) 5125 5, 1350 5, 2350 5 nên (5125 + 1350 + 2350) 5 (tính chất chia hết của tổng)
c) 5116 4, 524 4 nên (5116 - 524) 4 (tính chất chia hết của một tổng)
Bài tập 2: Chứng minh rằng với n N thì 80n + 45 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 6
Giải:
80 5 ⇒ 80n 5; 45 5 ⇒ (80n + 45) 5
80 6 ⇒ 80n 6; 45 6 ⇒ (80n + 45) 6
(theo tính chất chia hết của một tổng)
Bài tập 3: Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
Giải:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2
Tổng ba số tự nhiên liên tiếp là: a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2)
= (3a + 3) 3 (tính chất chia hết của tổng) Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
Từ bài tập này giáo viên có thể đưa ra tình huống: Có phải tổng của n số
tự nhiên liên tiếp chia hết cho n không? Giáo viên gợi ý cho học sinh qua bài tập sau:
Bài tập 4: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không?
Giải:
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: n; n + 1; n + 2; n + 3
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp đó là: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3)
= (n + n + n + n) + (1 + 2 + 3) = 4n + 6
Ta có: 4n chia hết cho 4
6 không chia hết cho 4
suy ra (4n + 6) không chia hết cho 4
Vậy tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4
Dự đoán: tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc chia hết cho n
1 2 Dùng tính chất chia hết của một tích
Để chứng minh số a chia hết cho số b (b0) ta có thể biểu diễn số b dưới dạng 1 tích b = m.n;
Nếu (m, n) = 1 thì tìm cách chứng minh a m và a n, lúc đó a (m.n) tức là
a b;
Nếu (m, n) 1 thì ta biểu diễn số a thành tích a = a1a2 rồi chứng minh a1 m;
a2 n thì a1a2 m.n, tức là a b
Bài tập 5: Chứng minh (585.a + 7515.b) chia hết cho 45 với mọi a, b N
Giải:
vì 585 chia hết cho 9 nên 585.a chia hết cho 9 với mọi a
vì 7515 chia hết cho 9 nên 7515.b chia hết cho 9 với mọi b
Trang 6⇒ (585.a + 7515.b) chia hết cho 9 với mọi a, b
Chứng minh tương tự, ta có (585.a + 7515.b) chia hết cho 5 với mọi a, b
mà (9, 5) = 1
⇒ (585.a + 7515.b) chia hết cho 45 với mọi a, b N
Bài tập 6: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 1, sao cho khi chia số đó cho 2; 3;
4; 5 và 7 đều dư 1
Giải
Gọi a là số tự nhiên khác 1 nhỏ nhất mà khi chia a cho 2; 3; 4; 5 và 7 đều dư
1 Khi đó a – 1 = b đồng thời chia hết cho 2; 3; 4; 5 và 7
Vì b chia hết cho 7 nên b = 7c, suy ra c chia hết cho 2; 3; 4; 5
Với c chia hết cho 5 thì c = 5d Suy ra d chia hết cho 2; 3; 4
Giả sử d = 4e thi e chia hết cho 3
Số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất chia hết cho 3 là 3 ta chọn e = 3
Suy ngược lại ta được số tự nhiên nhỏ nhất b = 420
Do đó số cần tìm là a = 420 + 1= 421
(b = BCNN (2,3,4,5,7) = 3.4.5.7 = 420)
Bài tập 7: Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số gấp 9 lần chữ số hàng đơn vị của
nó
Giải:
Gọi số phải tìm là ab = 10a + b (1a b, 9)
Theo đề bài, ta có: 10a + b = 9b hay 10a = 8b
suy ra 5a = 4b (1)
suy ra 4b 5 mà (4, 5) = 1 nên b 5
vì (1 b 9) nên b = 5
thay b = 5 vào (1) ta được a = 4
Vậy số phải tìm là 45
Bài tập 8: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8 Giải:
Gọi 2 số chẵn liên tiếp là: 2n, 2n + 2
Tích của 2 số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1)
vì n và n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n+ 1) 2
mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n + 1) (4.2)
hay 4n.(n + 1) 8 suy ra 2n.(2n + 2) 8
Vậy tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8
1.3 Vận dụng dấu hiệu chia hết liên quan đến các số nguyên tố, các số nguyên tố cùng nhau
+ Nếu tích ab m mà (b, m) = 1 thì a m
+ Nếu a m; a n và (m, n) = 1 thì a mn
+ Nếu an p (p là số nguyên tố) thì a p
Bài tập 9: Cho a, b là các số tự nhiên, n 0, biết an 7
Chứng minh rằng: (a2+ 98b) 49
Giải:
Trang 7Ta có an
7
mà 7 là số nguyên tố nên a 7 suy ra a2
72 hay a2
49 Mặt khác: 98b 49 nên (a2
+ 98b) 49 (tính chất chia hết của một tổng)
Bài tập 10: Tìm các số tự nhiên x để:
a) (x + 4) x (x ≠ 0)
b) [(x – 1)2 + 7] (x – 1)
c) [(x + 2)2 – 4] (x + 1)
Giải:
a) (x + 4) x (x ≠ 0)
x x, suy ra 4 x Vậy x {1; 2; 4}
b) [(x – 1)2 + 7] (x – 1)
mà (x – 1)2 (x – 1)
Suy ra 7 (x – 1) hay (x – 1) Ư(7)
Vậy x {2; 8}
c) [(x + 2)2 – 4] (x + 1)
mà (x + 2)2 (x + 2)
Suy ra 4 (x + 2) hay (x + 2) Ư(4)
Vậy x {0; 2}
Bài tập 11: Cho A = 2.4.6.8.10.12 + 40
Hỏi A có chia hết cho 6, cho 8, cho 5 không?
Giải: Dùng tính chất
a m, b m (a + b) m hoặc a m, b m (a – b) m
Cho A = 2.4.6.8.10.12 + 40
Ta có: 2.4.6.8.10.12 6; 40 6 A 6
Tương tự, ta được A 8 và A 5
Bài tập 12: Cho a + 5b 7 (a, b N) Chứng minh rằng (10a + b) 7 Điều ngược lại có đúng hay không?
Giải:
Xét tổng:
(a + 5b) + 2(10a + b) = (21a + 7b) 7 mà (a + 5b) 7 nên 2(10a + b) 7
vì (2, 7) = 1 nên (10a + b) 7
Ngược lại: Nếu (10a + b) 7 thì (a + 5b) 7
Xét tổng:
(a + 5b) + 2(10a + b) = (21a + 7b) 7 mà 2(10a + b) 7 nên (a + 5b) 7
Vậy điều ngược lại vẫn đúng
Bài tập 13: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia nó cho 17 thì dư 5; chia nó
cho 19 thì dư 12
Giải: Gọi số phải tìm là a Ta có:
a = 17m + 5 = 19n +12 (m, n N)
Suy ra 17m = 19n + 7 hay 17m = 17n + (2n + 7)
Ta có 17m 17, 17n 17 nên (2n + 7) 17
Trang 8vì a phải nhỏ nhất nên ta chọn n nhỏ nhất sao cho (2n + 7) 7, ta chọn n = 5 Vậy a = 107
2 Phương pháp 2: Dựa vào định nghĩa chia hết
Để chứng minh a chia hết cho b (b ≠ 0) ta biểu diễn số a dưới dạng một tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b)
Bài tập 1: Không thực hiện phép chia, hãy chứng tỏ rằng:
a) 26.2015 chia hết cho 13
b) 2009.2010 chia hết cho 3
c) 1411.2002 chia hết cho 17
Giải:
a) Ta có: 26.2015 = 13.2.2015 13 (vì 13 13, theo định nghĩa)
b) Ta có: 2015.2013 = 3.671.2015 3 (vì 3 3, theo định nghĩa)
c) Ta có: 1428.2000 = 17.84.2000 17 (vì 17 17, theo định nghĩa)
Bài tập 2: Chứng minh rằng (6n)1992 chia hết cho 36 n N
Giải:
Ta có (6n)1992 = 61992 n1992 = 62.6996.n1992 = 36.6996.n1992
Vì 36 36 nên 36.6996.n1992 chia hết cho 36
⇒ (6n)1992 chia hết cho 36 n N
Bài tập 3: Chứng minh rằng:
C = 3 + 32+ 33+ 34 + … + 3100 chia hết cho 40
Giải:
C = 3 + 32+ 33+ 34 + … + 3100
= (3 + 32+ 33+ 34) + (35 + 36+ 37+ 38) + … + (397 + 398 + 399+ 3100)
= 3(1 + 3 + 32 + 33) + 35(1 + 3 + 32 + 33) + … + 397(1 +
3 + 32 + 33)
= 3.40 + 35.40 + … 397.40 = 40(3 + 35 + … +397)
Vì 40 40 nên 40(3 + 35 + … +397) 40 Vậy C = 3 + 32+ 33+ 34 + … + 3100 40
* Nhận xét cách giải ba bài tập trên:
Chúng ta vận dụng các tính chất, quy tắc, các phép biến đổi phân tích một số, hoặc một tổng, hiệu xuất hiện thừa số chia hết cho số cần chia, tức là vận dụng định nghĩa để chứng minh
3 Phương pháp 3: Dùng dấu hiệu chia hết
Bài tập 1: Điền chữ số vào dấu * để:
a) 4*6 chia hết cho 3
b) 3*6 chia hết cho 9
Giải:
39 2013 1428
Trang 9a) 4*6 3 (4 + * + 6) 3 (10 + *) 3 * {2; 5; 8}
b) 3*6 9 (3 + * + 6) 9 (9 + *) 9 * {0; 9}
Bài tập 2: Tìm chữ số a và b để số 54a b chia hết cho cả 2, 3, 5, 9
Gợi ý: Đầu tiên phải đề cập đến chia hết cho 2 và 5 vì nó liên quan đến chữ
số tận cùng;
Sau đó, khi đã có chữ số tận cùng, ta xét tổng các chữ số vì nó liên quan đến chia hết cho 9 Ở đây ta không cần quan tâm đến chia hết cho 3, vì số chia hết cho 9 thì đương nhiên chia hết cho 3
Giải:
Để số 54a b chia hết cho cả 2 và 5 thì b = 0
Thay b = 0 vào số 54a b , ta được số 540 a
540
a chia hết 3 và 9 thì (a + 5 + 4 + 0) hay (a + 9) phải chia hết cho 9
a = 9 và b = 0
Vậy số cần tìm là 9540
Bài tập 3: Chứng minh rằng: (10156 + 8) chia hết cho 72
Giải :
Ta thấy 72 = 8.9
mà số (10156 + 8) 9 vì tổng các chữ số bằng 9
và số (10156 + 8) 8 vì tận cùng bằng 008
mà (8, 9) = 1 nên (10156 + 8) 8.9 = 72
Bài tập 4: Tìm các chữ số a, b sao cho: a – b = 4 và 7 5a b chia hết cho 31
Giải:
Số 7 5a b13 (7 + a + 5 + b + 1) 3 (13 + a + b) 3 (a + b) chia 3
dư 2 (1)
Ta có: a – b = 4 nên 4 a 9, 0 b 5
suy ra 4 a b 14(2)
mặt khác: a – b là số chẵn, nên a + b là số chẵn (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra (a + b) 8;14
- Với a + b = 8; a – b = 4 a = 6, b = 2
- Với a + b = 14; a – b = 4 a = 9, b = 5
* Nhận xét cách giải ba bài tập trên:
Các bài tập trên khi giải chúng ta đều vận dụng vào dấu hiệu chia hết một cách trực tiếp hoặc một cách gián tiếp như dấu hiệu chia hết cho 3, 5, 9, 8, 25, 125
Trên đây là một số dạng toán về chia hết thường gặp trong chương trình số học 6 Mỗi dạng toán tôi mới chọn một số bài toán mang tính điển hình để giới thiệu
về cách phân loại và phương pháp giải mỗi dạng toán đó để học sinh có thể nhận dạng được các bài toán mới thuộc dạng toán nào từ đó mà có cách giải hợp lý và nhanh, chính xác
IV HƯỚNG PHỔ BIẾN ÁP DỤNG ĐỀ TÀI
Trang 10Qua kết quả nghiên cứu trên tôi nhận thấy "Một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 dạng chia hết" có thể áp dụng được cho việc bồi dưỡng học sinh
giỏi môn Toán lớp 6 của trường THCS Tân Thạnh cũng như trong phạm vi cả Thị
xã Bởi vấn đề tôi nghiên cứu và thực hiện không quá khó, giáo viên nào cũng có thể
thực hiện được trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi
C KẾT LUẬN
1 Kết quả của việc ứng dụng đề tài
Sau khi áp dụng chuyên đề này, tôi tiến hành khảo sát lại đối với đội tuyển học sinh giỏi lớp 6 Kết quả cụ thể như sau:
Số lượng SLGiỏi% SLKhá% SL TB% SLYếu% SLKém%
Kết quả trên là một sự bất ngờ đối với bản thân tôi Tôi không dám chắc chắn rằng những biện pháp mà tôi đã đưa ra là tối ưu nhất, hiệt quả nhất, nhưng kết quả
mà học sinh đạt được qua quá trình tôi giảng dạy thật sự là niềm vui, niềm hứng thú đối với tôi trong công tác;
Qua kết quả khảo sát đó, tôi đã cố gắng giảng dạy cho các em và dần dần tôi
đã thấy được sự tiến bộ của học sinh qua việc giải bài tập Tôi nhận thấy hầu hết các
em đã biết trình bày bài toán dạng này Phần lớn học sinh đã có hứng thú giải những bài toán về chia hết, các em không còn lúng túng khi gặp dạng toán này nữa Các em
đã biết nhận dạng bài toán và vận dụng các kiến thức đã học để giải bài toán một cách chính xác, Nhiều em khá, giỏi đã tìm ra được cách giải hay và ngắn gọn phù hợp Tuy vậy, bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn còn một số ít học sinh chưa
có khả năng tự mình giải được những bài toán chia hết Đối với các học sinh này, đây là một dạng toán thực sự khó khăn Một phần cũng là do khả năng học toán của các em còn hạn chế, mặt khác dạng toán này lại rất khó, đòi hỏi sự tư duy nhiều ở các em
2 Kết luận
Các bài toán chia hết chiếm một số lượng không nhỏ trong chương trình toán bậc trung học cơ sở Việc xây dựng một hệ thống kiến thức cơ bản, dựa vào đó để tìm ra các phương pháp giải bài toán chia hết, giúp các em học sinh, nhất là học sinh giỏi có kỹ năng thành thạo, linh hoạt, sáng tạo khi học dạng toán này không chỉ là mong muốn của riêng bản thân tôi mà còn là điều trăn trở của rất nhiều đồng nghiệp đang bồi dưỡng học sinh giỏi Toán;
Trong khuôn khổ và thời gian có hạn, trên đây tôi chỉ mới dừng lại các phương phương pháp giải toán chia hết đối với học sinh lớp 6 Các phương pháp đó
sẽ được mở rộng, hoàn thiện khi các em được trang bị thêm một số kiến thức ở lớp
7, lớp 8, Khi đó, các em sẽ gặp và giải được những bài toán khó hơn, phức tạp hơn
Tân Thạnh, ngày 15 tháng 5 năm 2018
Người viết