Giáo án Giải tích 12 kì 1

Ph¹m Xu©n Hßa GV cÇn nhÊn m¹nh cho HS quy tắc này chỉ dùng để tìm GTLN, GTNN cña hµm sè liªn tôc trªn mét ®o¹n cßn c¸c tr−êng hîp kh¸c ta ph¶i ®i lËp b¶ng biÕn thiªn của hàm số đó rồi su[r]

Ng y soạn: 06/09/2008

Ng y giảng: 08/09/2008

Chương I: ứng dụng đạo h m để khảo sát

V vẽ đồ thị h m số Tiết 1+2: sự đồng biến, nghịch biến của h m số – luyện tập

I Mục tiêu

1) Kiến thức

Biết mối liên hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến của một h m số v dấu của

đạo h m cấp một của nó

2) Kỹ năng

Biết cách xét tính đồng biến, nghịch biến của một h m số trên một khoảng dựa

v o dấu đạo h m cấp một của nó

3) Tư duy

Phát triển tư duy logic, óc tưởng tượng

4) Thái độ

Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc

II Chuẩn bị của GV v HS

1) Giáo viên

Giáo án, SGV, phấn m u

2) Học sinh

Vở ghi, SGK

III Phương pháp dạy học

Gợi mở, vấn đáp giải quyết vấn đề đan xen HĐ nhóm

IV Tiến trình b i học

1) Kiểm tra b i cũ (không)

2) B i mới

HĐ1: Nhắc lại định nghĩa

GV treo bảng phụ

y

x x x

y=x

2 1

2

f(x )1

f(x )2

HXy chỉ ra các khoảng đồng

biến, nghịch biến của h m

số y=x2?

Lấy x1<x2 trong khoảng

(0;+∞) như hình vẽ HXy

sao sánh ( ) v1 ( )?2

Cho HS nhận xét tương tự

nếu lấy x1<x2 trong khoảng

Quan sát hình vẽ v trả lời câu hỏi

H m số đồng biến trên khoảng (0;+∞) v nghịch biến trên khoảng (0;ư∞)

1

( )< ( )2 Nhận xét tương tự

I Tính đơn điệu của h m số

Từ đó GV nhắc lại định

nghĩa cho HS

Nếu h m số ( ) đồng

biến (nghịch biến) trên K

hXy nhận xét về dấu của tỷ

( )ư ( )

GV đưa ra nhận xét như

SGK

GV cho HS quan sát hình

trên bảng phụ v nhận xét

hướng đi của đồ thị trong

các trường hợp HS đồng

biến, nghịch biến?

( ) đồng biến trên K thì

( ) ( )

0

ư

( ) nghịch biến trên K thì

( ) ( )

0

ư

HS đồng biến thì đồ thị HS đi lên từ trái sang phải

HS nghịch biến thì đồ thị HS

đi xuống từ trái sang phải

1) Nhắc lại định nghĩa

H m số = ( ) đồng biến (tăng) trên K nếu với mỗi cặp 1, 2 thuộc

K m 1 nhỏ hơn 2 thì

1

( ) nhỏ hơn ( ),2 tức l

nghịch biến (giảm) trên

K nếu với mỗi cặp 1, 2 thuộc K m 1 nhỏ hơn

2 thì ( ) lớn hơn1

2

( ), tức l

H m số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung l h m số đơn

điệutrên K

Nhận xét:

a) ( ) đồng biến trên

K thì

( ) ( )

0

ư

( ) nghịch biến trên K thì

( ) ( )

0

ư

b) H m số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải

H m số nghịch biến trên

K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải

HĐ2: Tính đơn điệu v dấu của đạo h m

HĐGV HĐHS Ghi bảng

GV treo bảng phụ trong hoạt

động 1 v yêu cầu HS tính

đạo h m cấp 1 đồng thời xét

dấu của đạo h m v điền

v o bảng sau:

Dựa v o bảng kết quả hXy

nhận xét:

Khi y’<0, HS đồng biến hay

nghịch biến?

Khi y’>0, HS đồng biến hay

nghịch biến?

GV tổng quát hóa vấn đề từ

đó đ−a ra định lí:

GV đặt câu hỏi mở rộng:

Khi y’=0 thì HS đồng biến

hay nghịch biến?

Từ đó GV đ−a ra chú ý:

Tính đạo h m v xét dấu của đạo h m

Điền kết quả v o bảng

Khi y’<0, HS nghịch biến

Khi y’>0, HS đồng biến

Nghe giảng, ghi nhận kiến thức

' 0= ⇒ = (hằng số) do

đó HS ( ) không đổi trên K

2) Tính đơn điệu v dấu của đạo h m

Cho h m số = ( ) có

đạo h m trên K

a) Nếu f’(x)>0 với mọi x thuộc K thì h m số f(x)

đồng biến trên K

b) Nếu f’(x)<0 với mọi x thuộc K thì h m số f(x) nghịch biến trên K

'( ) 0 ( ) đồng biến '( ) 0 ( ) nghịch biến.

> ⇒





< ⇒



Chú ý:

Nếu '( ) 0,= ∀ ∈ thì ( ) không đổi trên K HĐ3: B i tập luyện tập

GV đ−a ra b i tập vận

dụng

Giải thích rõ cho HS ý

nghĩa của việc tìm

khoảng đơn điệu của

h m số

HXy tìm đạo h m của

Nghe giảng, ghi nhận kiến thức

y’=2x 4

Ví dụ 1: Tìm các khoảng

đơn điệu của h m số y=x2

4x+5

Giải

Đạo h m: y’=2x 4 y’>0 khi x>2

h m số?

HXy xét dấu của đạo

h m?

Từ bảng trên hXy suy ra

bảng biến thiên của h m

số?

Từ bảng biến thiên hXy

nêu các khoảng đơn

điệu (đồng biến hoặc

nghịch biến) của h m

số?

Qua ví dụ trên GV đặt

vấn đề ng−ợc lại cho HS

suy nghĩ thông qua việc

phân tích ví dụ trong

HĐ3 SGK

Qua đồ thị của h m số

y=x3 hXy nhận xét về

tính đồng biến, nghịch

biến của h m số trên

to n tập xác định?

Xét dấu của đạo h m

h m số trên?

Qua đó GV khái quát v

đ−a ra chú ý:

Lên bảng vẽ bảng biến thiên của h m số

Trả lời câu hỏi

H m số đồng biến trên to n tập xác định

2

' 3= ≥ ∀0,

y’<0 khi x<2 y’=0 khi x=2 Vậy ta có bảng biến thiên:

Vậy h m số đồng biến trên khoảng (2;+∞) v nghịch biến trên khoảng (−∞;0)

Chú ý:

Giả sử h m số = ( ) có

đạo h m trên K Nếu

'( ) 0≥ ( ) 0 ,≤ ∀ ∈

v '( ) 0= chỉ tại một số hữu hạn điểm thì h m số

đồng biến (nghịch biến) trên K

3) Củng cố, dặn dò

Ôn tập lại nội dung cơ bản đX học trong b i, đọc v xem lại các định lí v ví dụ trong b i

L m các b i tập 1, 2 SGK Tr10 v b i tập bổ sung

B i tập bổ sung:

B i 1:Tìm các khoảng đơn điệu của các h m số:

a) y=x4+8x3+5

b) y=x sinx

B i 2: Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của h m số để chứng minh rằng với mọi x>0 ta luôn có + ≥1 2

Ng y giảng: 09/09/2008

sự đồng biến, nghịch biến của h m số – luyện tập

4) Kiểm tra b i cũ

Câu hỏi:

1) HXy phát biểu định lý về sự liên hệ giữa tính đơn điệu của h m số v dấu của đạo h m?

2) Vận dụng giải b i tập sau: Xét tính đơn điệu của h m số y=x3 3x2+5?

5) B i mới

HĐ3: Quy tắc xét tính đơn điệu của h m số

Chia lớp th nh 3 nhóm v

tổ chức cho HS HĐ nhóm

l m VD 2

GV nhận xét, chỉnh sửa bổ

sung v đưa ra đáp án bằng

bảng phụ

Qua ví dụ trên GV yêu cầu

HS khái quát các bước để

xét tính đơn điệu của h m

số

Tiến h nh HĐ nhóm dưới sự hướng dẫn của GV

Trình b y kết quả, bổ sung v nhận xét chéo

Khái quát các bước

II Quy tắc xét tính đơn

điệu của h m số

Ví dụ 2: Xét tính đơn

điệu của h m số y=x3

3x2+5?

Giải

H m số trên xác định với mọi x thuộc ℝ

Đạo h m: y’=3x2 6x

0 ' 0

2

=



=



Ta có bảng biến thiên

Vậy h m số đồng biến trên các khoảng (ư∞;0)

v (2;+∞), h m số nghịch biến trên khoảng (0;2)

1) Quy tắc B1: Tìm tập xác định B2: Tính đạo h m '( )

( =1,2,3, , ) m tại

đó đạo h m bằng 0 hoặc không xác định

B3: Sắp xếp các điểm

theo thứ tự tăng dần v lập bảng biến thiên B4: Nêu kết luận về các khoảng đb, nb của h m số

HĐ4: B i tập áp dụng

GV đưa ra b i tập vận dụng

cho HS HĐ nhóm

Nhóm 1, 2, 3: Phần a)

Nhóm 4, 5, 6: Phần b)

GV nhận xét, chỉnh sửa, bổ

sung v đưa ra đáp án

GV chú ý cho HS cách điền

các cận v o bảng biến thiên

thông qua việc tính giới

hạn

HĐ nhóm dưới sự hướng dẫn của GV

Các nhóm trình b y kết quả

v nhận xét chéo, bổ sung kết quả

Nghe giảng, tiếp thu kiến thức

2) p dụng Xét tính đơn điệu của các

h m số:

1

+

=

ư

1

ư

=

ư

Giải:

a) TXĐ: =ℝ \ {1}

Đạo h m:

( )2

4

1

ư

Bảng biến thiên:

b) TXĐ: =ℝ \ {1}

Đạo h m:

2 2

' 1

=

ư

Bảng biến thiên:

6) Củng cố, dặn dò

Ôn tập lại các bước để xét tính đơn điệu của h m số v xem lại các ví dụ đX

l m

L m các b i tập 3, 4, 5 SGK Tr10

Ng y soạn: 09/09/2008

Ng y giảng: 11/09/2008

Tiết 3+4+5: cực trị của h m số

I Mục tiêu

1) Kiến thức

Biết khái niệm điểm cực đại, cực tiểu, điểm cực trị của h m số

Biết các điều kiện đủ để h m số có điểm cực trị

2) Kỹ năng

Biết cách tìm điểm cực trị của h m số

3) Tư duy

Phát triển tư duy logic, óc tưởng tượng

4) Thái độ

Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc

II Chuẩn bị của GV v HS

1) Giáo viên

Giáo án, SGV, phấn m u

2) Học sinh

Vở ghi, SGK

III Phương pháp dạy học

Gợi mở, vấn đáp giải quyết vấn đề đan xen HĐ nhóm

IV Tiến trình b i học

1) Kiểm tra b i cũ

Câu hỏi: HXy nêu quy tắc xét tính đơn điệu của h m số? p dụng xét tính

đơn điệu của h m số y= x2+1?

2) B i mới

HĐ1: Khái niệm cực đại, cực tiểu

GV cho HS quan sát đồ thị

của h m số y= x2+1 v

nêu nhận xét:

HXy chỉ ra tọa độ của

điểm “cao nhất” của đồ thị

trong khoảng (ư1;1)?

Điểm n y tương ứng với x,

y bằng bao nhiêu?

Ta nói h m số y= x2+1 đạt

cực đại tại x=0

Tương tự GV cho HS quan

sát đồ thị của h m số

3

2

3

1

y

x O

y= x +1 2

Điểm “cao nhất” của đồ thị trong khoảng (ư1;1) l ( )0;1

Điểm n y tương ứng với x=0;

y=1

I Khái niệm cực đại, cực tiểu

HS nhận xét tương tự

trong các khoảng 1 3;

2 2

v 3;4

2

 ?

Ta nói trên khoảng 1 3;

2 2

h m số đạt cực đại tại

x=1

Ta nói trên khoảng 3;4

2

h m số đạt cực tiểu tại

x=0

Từ đó GV đưa ra định

nghĩa:

GV yâu cầu HS lên bảng

lập bảng biến thiên của

h m số

3 2

3

1

3 3

4

Trong khoảng 1 3;

2 2

 có điểm

“cao nhất” l 1;4

3

  tương ứng

3

= = Trong khoảng

có điểm “thấp nhất” l (0;3) tương ứng với x=0; y=3

Lên bảng lập bảng biến thiên:

y

ư∞

4 3

0

+∞

Định nghĩa: Cho HS ( )

= xác định v liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a l ư∞, b

0∈( ; ) a) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)<f(x0) với mọi ∈( 0ư ; 0+ )

v ≠ 0 thì ta nói

h m số f(x) đạt cực đại tại x0 b) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)>f(x0)

0

≠ thì ta nói h m

số f(x) đạt cực tiểu tại

x0

Chú ý:

1)Nếu h m số ( ) đạt

GV phân biệt rõ cho HS

các khái niệm điểm cực

đại (cực tiểu) v khái niệm

giá trị cực đại (cực tiểu)

trên bảng biến thiên

Dựa v o bảng biến thiên

hXy nhận xét: Tại các

điểm m HS đạt CĐ, CT

thì y’ bằng bao nhiêu?

Chú ý cho HS thêm rằng

điều n y cũng có nghĩa l

nếu '( ) luôn khác 0 thì

h m số sẽ không có cực

trị

Nghe giảng, ghi nhận kiến thức

Tại các điểm m HS đạt CĐ, CT thì y’=0

cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 đ−ợc gọi l điểm cực đại (cực tiểu) của

h m số; ( ) đ−ợc gọi0

l giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của h m

số, kí hiệu l CĐ( CT) còn điểm ( ; ( ))0 0

đ−ợc gọi l điểm cực

đại (cực tiểu) của h m số

2) Các điểm cực đại, cực tiểu đ−ợc gọi chung

l điểm cực trị Giá trị cực đại (cực tiểu) còn gọi l cực đại (cực tiểu) đ−ợc gọi cung l cực trị của h m số

( )

trên khoảng (a;b) v đạt cực đại hoặc cực tiểu tại

x0thì '( ) 00 =

3) Củng cố, dặn dò

Xem lại nội dung các định nghĩa, các chú ý

Nhấn mạnh cho HS nếu h m số = ( ) có đạo h m trên khoảng (a;b) v đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0thì '( ) 00 =

L m b i tập l m thêm

B i tập l m thêm:

B i 1: HXy xét xem h m số sau có cực trị không: y=x3+x?

B i 2: Chứng minh rằng h m số y=|x| không có đạo h m tại x=0 nh−ng vẫn có cực trị tại x=0?

Ng y giảng: 15/09/2008

cực trị của h m số

(Tiết 2)

4) Kiểm tra b i cũ (không)

5) B i mới

HĐ2: Điều kiện đủ để h m số có cực trị

GV cho HS quan sát đồ

thị của hai h m số

3

2

3

y=x3sau đó cho nhận xét

về số điểm cực trị của

các h m số trên?

HXy lập bảng biến thiên

của h m số trên v nhận

xét về dấu của đạo h m

tại các điểm cực trị?

H m số n y có hai điểm cực trị tại x=1 v x=3

H m số n y không có cực trị

Bảng biến thiên của h m số

3 2

3

y

ư∞

4 3

0

+∞

Tại điểm cực đại, đạo h m y’

đổi dấu từ dương sang âm

Tại điểm cực tiểu, đạo h m y’

đổi dấu từ âm sang dương

Bảng biến thiên của h m số y=x3:

II Điều kiện để h m số

có cực trị

1

3 3

4

Cho HS nhận xét về mối

liên hệ giữa sự tồn tại

của cực trị v dấu của

đạo h m

Ta có định lý:

GV đ−a ra bảng minh

họa định lý trên

Tại x=0 đạo h m y’=0 nh−ng không đổi dấu

Nếu đạo h m bằng không v đổi dấu thì h m số có cực trị

Nghe giảng v ghi nhận kiến thức

Định lý 1: Giả sử h m số ( )

= liên tục trên khoảng

đạo h m trên hoặc trên \ { }, với0 >0 a) Nếu '( ) 0> trên khoảng ( 0− ; 0) v '( ) 0< trên khoảng

( 0; 0 + ) thì 0 l một

điểm cực đại của h m số ( )

b) Nếu '( ) 0< trên khoảng ( 0− ; 0) v '( ) 0> trên khoảng

( 0; 0 + ) thì 0 l một

điểm cực tiểu của h m số ( )

HĐ3: B i tập vận dụng

Giải thích cho HS tìm cực

trị chính l tìm cực đại v

cực tiểu (nếu có)

HXy tìm đạo h m của

h m số trên?

Yêu cầu HS lên bảng lập

bảng biến thiên?

Dựa v o bảng biến thiên

hXy kết luận?

GV có thể chú ý cho HS

rằng có thể CĐ < CT

2 2

'

1

=

ư

2

Lên bảng lập bảng biến thiên

H m số đạt cực đại tại x=0,

H m số đạt cực tiểu tại x=2,

cực trị của h m số sau:

1

ư +

=

ư

Giải:

TXĐ: =ℝ \ {1}

Đạo h m:

( )2

( 2) '

1

ư

=

ư

( 2) 0 ' 0

1

ư =



≠

 0 2

=



=

 y’ không xác định khi x=1

Bảng biến thiên:

Vậy h m số có hai điểm cực trị l x=0 v x=2

6) Củng cố, dặn dò

Xem lại nội dung định lí về điều kiện để h m số có cực trị

Nhấn mạnh cho HS h m số = ( ) chỉ có cực trị khi đạo h m bằng không v

đổi dấu

Chú ý cho HS rằng không nhất thiết cực trị lớn hơn phải l cực đại v cực trị nhỏ hơn phải l cực tiểu

Đọc trước phần còn lại

L m b i tập 1, 2 SGK 18

Ng y giảng: 16/09/2008

cực trị của h m số

(Tiết 3)

7) Kiểm tra b i cũ

Câu hỏi: Tìm các điểm cực trị của h m số sau: y=x3 3x?

8) B i mới

HĐ4: Quy tắc tìm cực trị

GV chữa lại b i tập

trong phần kiểm tra b i

cũ

Qua ví dụ GV cho HS

khái quát hóa các bước

để tìm cực trị của h m

số?

GV đưa ra các bước tìm

cực trị của h m số

GV cho HS l m ví dụ

củng cố

Tìm đạo h m của h m số

Nghe giảng, ghi nhận kiến thức

Khái quát kiến thức

Ghi nhận kiến thức

Lên bảng l m theo các bước trong quy tắc

2

' 6= +6 ư36

Ví dụ 2: Tìm cực trị của h m

số y=x3 3x?

Giải:

Tập xác định: =ℝ

Đạo h m:

2

' 3= ư3 ' 0= ⇔ = ±1 Bảng biến thiên

Vậy: H m số đạt cực đại tại x= 1, CĐ =2

H m số đạt cực tiểu tại x=1, CT = ư2

III Quy tắc tìm cực trị Quy tắc I:

1 Tìm tập xác định

2 Tính '( ) Tìm các

điểm m tại đó '( ) bằng 0 hoặc '( ) không xác định

3 Lập bảng biến thiên

4 Từ bảng biến thiên suy

ra các điểm cực trị

Ví dụ 3: Tìm cực trị của h m số

( ) 2= +3 ư36 ư10? Giải:

Tập xác định: =ℝ

2

' 6= +6 ư36

v giải PT y’=0?

HXy lập bảng biến thiên

của h m số trên?

HXy kết luận về các

điểm cực trị của h m số?

Yêu cầu HS xác định rõ

các điểm cực trị đó l

điểm CĐ hay CT?

GV yêu cầu HS tính đạo

h m cấp hai của h m số

trên?

HXy xét dấu của đạo

h m cấp hai tại các điểm

cực trị của h m số trên?

Từ đó GV đ−a ra nội

dung định lí 2

Từ nội dung định lí trên

hXy đ−a ra một cách

khác để tìm cực trị của

h m số?

GV đ−a ra quy tắc II:

GV đ−a rra ví dụ áp

dụng:

2 ' 0

3

=



= −



Lên bảng lập bảng biến thiên của h m số

H m số có hai điểm cực trị

Tại x= 3 h m số đạt cực đại

Tại x=2 h m số đạt cực tiểu

" 12= +6

Tại x= 3, "= − <30 0 Tại x=2, " 30 0= >

Ghi nhận kiến thức

Ta tìm những điểm m tại đó '( ) 0= rồi kiểm tra dấu của đạo h m cấp hai

3

' 4= −8

2 ' 0

3

=



= −

 Bảng biến thiên:

Vậy: H m số đạt cực đại tại x= 3, CĐ =71

H m số đạt cực tiểu tại x=2, CT = −54

Định lí 2: Giả sử h m

số = ( ) có đạo h m cấp

( 0− 0+ ;), với >0 Khi đó:

a) Nếu '(x )=0, "(x )>0 thì0 0

0 l điểm cực tiểu

b) Nếu '(x )=0, "(x )<0 thì0 0

0 l điểm cực đại

Quy tắc II:

1 Tìm TXĐ

2 Tính '( ) Giải PT '( ) 0= v gọi các nghiệm của nó l ( =1,2,3, )

3 Tính "( ) v "( )

4 Dựa v o dấu của "( ) suy ra tính chất cực trị của

Ví dụ 4: Tìm cực trị của h m

số sau: = 4−4 2 +1 Giải:

Tập xác định: =ℝ

Đạo h m cấp 1:

Tìm đạo h m y’ v giải

PT y’=0?

Tìm đạo h m cấp hai v

xét dấu của đạo h m n y

tại =0 v = ± 2?

Điểm =0 l điểm CĐ

hay CT?

Điểm = ± 2 l điểm

CĐ hay CT?

GV yêu cầu HS so sánh

giữa hai quy tắc tìm cực

trị I v II?

GV lưu ý cho HS: Đối

với nhiều h m số thông

dụng (h m đa thức, h m

lượng giác, …) thì dùng

quy tắc II thuận tiện hơn

quy tắc I nhưng với

những HS không có đạo

h m cấp một (do đó

không có đạo h m cấp

hai) thì bắt buộc ta phải

dùng quy tắc II

2

0 2

=



= ±



2

"( ) 12= ư8

"(0)= ư <8 0

"(± 2) 16 0= >

0

= l điểm CĐ

2

= ± l điểm CT

Quy tắc II sử dụng thuận tiện hơn quy tắc I

Nghe giảng v ghi nhận kiến thức

3

' 4= ư8

0 ' 0

2

=



= ±



2

"( ) 12= ư8

"(0)= ư <8 0 vậy =0 l một điểm cực đại của h m số

"(± 2) 16 0= > vậy 2

= ± l hai điểm cực tiểu của h m số

Vậy:

HS đạt cực đại tại =0,

CĐ = (0) 1=

HS đạt cực tiểu tại = ± 2,

9) Củng cố, dặn dò

Nhắc lại nội dung định lí về điều kiện để h m số có cực trị

Nhấn mạnh cho HS khi n o thì nên dùng quy tắc I, khi n o thì dùng quy tắc II

để tìm cực trị của HS

L m b i tập 3, 4, 5, 6 SGK 18