2 Xác định m để Cm có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua 1 2.. Tính tỉ số thể tích.[r]
Trang 1Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 137 )
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: y x 33 m 1 x 2 9x m 2 (1) có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1
2) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng 1
2
y x
Câu II: (2,5 điểm)
1) Giải phương trình: sin 2x cos x 3 2 3cos x 3 3cos2x 83 3 cos x s inx 3 3 0
2) Giải bất phương trình : 2
2
log x 4x 5 log
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=x.sin2x, y=2x, x=
2
Câu III: (2 điểm)
1) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc là 450 Gọi P là trung điểm BC, chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho
gọi K là trung điểm AA’, là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và
1
2
AP AH
CC’ tại M, N Tính tỉ số thể tích ABCKMN
A 'B'C'KMN
V V
2) Giải hệ phương trình sau trong tập số phức:
2
2
6
Câu IV: (2,5 điểm)
1) Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau Tính xác suất để lấy
được 5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung? Biết m, n là nghiệm của hệ sau:
n 1
9 19
2 ) Cho Elip có phương trình chính tắc (E), viết phương trình đường thẳng song song
1
25 9
Oy và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho AB=4
3) Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2 biết:
1
x 2 t
d : y 2 t
z 3 t
2
x 1 y 2 z 1
d :
Câu V: (1điểm) Cho a, b, c 0 và a2b2c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
P
Trang 2Bài
1
1
Khi m = 1 ta có hàm số: y x 36x29x1
BBT:
x - 1 3 +
y/ + 0 - 0 +
3 +
y
- 1
1đ
2 y'3x26(m1)x9
Để hàm số có cực đậi, cực tiểu:
0 9 3 ) 1 ( 9
m m(;1 3)(1 3;)
Ta có 3 6 ( 1 ) 9 2 ( 2 2 ) 4 1
3
1 3
y
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
1 4 ) 2 2 (
y
Vì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đt y x ta có điều kiện cần là
2
1
2
1 ) 2 2 (
3
1 0
3 2
2
m
m m
m
Khi m = 1 ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là:y = - 2x + 5 Tọa độ trung điểm
CĐ và CT là:
1 2
10 ) (
2 2
2 2
4 2
2 1 2
1
2 1
x x y
y
x x
Tọa độ trung điểm CĐ và CT là (2; 1) thuộc đường thẳng y x tm
2
1
m 1 Khi m = -3 ptđt đi qua hai điểm CĐ và CT là: y = -2x – 11
không thỏa mãn
3
m
Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đề bài
1đ
Bài
2
1 phương trình đưa về:
) ( 4 cos
1 cos
3 tan
0 4 cos 3 cos
0 sin cos 3
0 ) 8 cos 6 cos 2 )(
sin cos 3 (
2
2
loai x
x
x
x x
x x
x x
x x
k x
k x
, 2
3
2
0.75đ
Trang 3Đk:
0
x x(7;5)(1)
7
1 log 2 ) 5 4 (
x x
27 log ( 4 5) log ( 7)
5
Kết hợp điều kiện: Vậy BPT có nghiệm: )
5
27
; 7 (
x
3 Ta có: x.sin2x = 2x x.sin2x – 2x = 0 x(sin2x – 2) =0 x = 0
Diện tích hình phẳng là:
0
2
dx x x dx
x x x S
x
x v
dx du dx x dv
x u
2 2
2 cos )
2 2
2 2
S
0.75đ
Bài
3
1 Gọi Q, I, J lần lượt là trung điểm B’C’, BB’, CC’
ta có:
2
3
a
AP
3
a
AH
Vì ' AHA' vuông cân tại H
Vậy A'H a 3
Ta có
4
3 2
3 2
1 a a2
a
S ABC
(đvdt)
4
3 4
3 3
3 2
' ' '
a a
a
V ABCA B C
(đvtt) (1)
Vì ' AHA' vuông cân
BB C C
HK AA
HK ' ' '
G ọi E = MN KH BM =
PE = CN (2)
mà AA’ = A'H2 AH2 = 3a2 3a2 a 6
4
6 2
CN PE BM
a
Ta có thể tích K.MNJI là:
1 3
'
MNJI
a
2
MNJI
KMNJI
1đ
45
E
K
J
I A
B
C
C'
B' A'
P
H
Q
N
M
Trang 42 ĐK: a2 a0
Từ (1) (a2a)2 5(a2a)60
6
1
2
2
a a
a a
Khi a2 a1 thay vào (2)
; 2
1 23.
2
6 0
1 23.
2
i b
b b
i b
2
3 1 2
3 1 0
1 2
i a
i a
a a
Khi a2 a6 Thay vào (2)
2
3
a
1 5 2
1 5 2
b
b
Vậy hệ pt có nghiệm (a, b) là: 1 23i 1; 3i , 1 23i 1; 3i
;
2
3 1
; 2
23 1 , 2
3 1
; 2
23
2
5 1
; 2 , 2
5 1
; 2 , 2
5 1
; 3 , 2
5 1
; 3
Bài
720
2
19 2 9
1
1 2
3 2
n
m n
m
m
P
A c
C
7 6
1
! 6 720 )!
1 (n n n
0 99 20
19 9 90
2
19 2
9 45 2
) 1 (
2
2
m m
m m
m
m m
m
11
9
m m m 10
Vậy m = 10, n = 7 Vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung, để
lấy được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau:
TH1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có:
2 1575cách
10
3
C
TH2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có:
1 350cách
10
4
C
TH3: 5 bông hồng nhung có:
5 21 cách
7
C
có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách
Số cách lấy 4 bông hồng thường
% 45 , 31 6188
1946
6188
5
17
P
C
2) Gọi ptđt // Oy là: x = a (d) tung độ giao điểm (d) và Elip là:
25
25 25
1 9
1 9 25
2 2
2
2 2
a a
y
y a
2
2
5
3 25
25
Trang 5
;
5
6
;
Vậy phương trình đường thẳng:
3
5 5
a
3
5 5 , 3
5
x
3)đường thẳng d2 có PTTS là:
' 5 1
' 2
' 2 1
t z
t y
t x
vectơ CP của d1 và d2 là:
1 (1;1; 1), 2 (2;1;5)
u u VTPT của mp( ) là
n u u d1. d2 (6; 7; 1)
pt mp( ) có dạng 6x – 7y – z + D = 0
Đường thẳng d1 và d2 lần lượt đi qua 2đ’ M(2; 2; 3) và N(1; 2; 1)
( ,( )) ( ,( ))
|12 14 3 | | 6 14 1 |
Vậy PT mp( ) là: 3x – y – 4z + 7 0
Bài 5
2
3 2 2
3 2 2 3
1 1
c c c
b b b
2 4
1 1
2 1
2 2 4
2
2 2
b
a b
a
2 4
1 1
2 1
2
2 2
2 2
c
b c
2 4
1 1
2 1
2
2 2
2 2
a
c a
6 3
6 3
6
2 16
3 2 16
3 2 16
6 2 2 2
9 ) (
2 2 2
3 2
2
2
3 2 2
3 2 2
9 2 2
3 2 2
9
P
Để PMin khi a = b = c = 1