Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC.. phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của Cm tại A, B vuông góc...[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010.
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 143 )
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : 2 (C)
1
x y x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C).
b) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của m, đường thẳng : d y x m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm A,B phân biệt Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB.
Câu II (2,0 điểm ).
1 Giải bất phương trình : 4 4 2
16 6 2
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân:
ln 3 2
x
e dx I
Câu IV (1,0 điểm).
Một hình nón đỉnh , có tâm đường tròn đáy là S O. A B, là hai điểm trên đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng O AB bằng , a A ASO SAB A 60 0 Tính theo a
chiều cao và diện tích xung quanh của hình nón
Câu V (1,0 điểm).
Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh: 3 3 3
2
b c c a a b
II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B).
A Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a(2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x2 y2 4x 2y 1 0 và điểm A(4;5) Chứng
minh A nằm ngoài đường tròn (C) Các tiếp tuyến qua A tiếp xúc với (C) tại T1, T2, viết phương trình đường thẳng T1T2.
2 Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S):
Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại
x y z x y z
A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P).
Câu VII.a(1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện:
z i z 2 3i Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất.
B Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b(2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16, A,B thuộc đường thẳng d:
và B, C thuộc trục Ox Xác định toạ độ trọng tâm của tam giác ABC.
2 2x y 2 2 0
2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Viết
phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC.
Câu VII.b(1,0 điểm) Cho hàm số (Cm): (m là tham số) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại hai điểm
2
1
y x
phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (Cm) tại A, B vuông góc
……….Hết………
Trang 2Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 143 )
PHẦN
CHUNG
(7 điểm)
Nội dung chính và kết quả Điểm
thành phần
a) (1điểm) D=R/1
y ' > 0 , h/số đồng biến trên D và không có cực trị
2
1 (x 1)
Các đường tiệm cận: T/c đứng x=1; T/c ngang: y =1
Tâm đối xứng I(1;1)
BBT
x - 1 +
y’ + +
y
+ 1
1 -
Đồ thị
f(x)=(x-2)/(x-1) f(x)=1 x(t)=1 , y(t)=t
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
x y
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
Câu I
2 điểm
b) (1 điểm)
* Phương trình hoành độ giao điểm của d ( )C là:
x2 mx m 2 0 (1) ; đ/k x 1
Vì với ,nên p/t (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 với
(1) 1 0
f
.Suy ra d tại hai điểm phân biệt với
m
*Gọi các giao điểm của d ( )C là: A(x A; x A m) ; B(x B; x B m);với x A;x B
là các nghiệm của p/t (1)
2 2( A B) 2 2 ( A B) 4 A B
AB x x x x x x
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25
Trang 3Vậy : ABmin 2 2 , đạt được khi m = 2
0,25 điểm
II.1
(1 điểm) * Đk: x 4 Đặt t = (t > 0)
4 0
4 0
x x
BPT trở thành: t2 - t - 6 0 2( )
3
t
* Với t 3 2 x2 16 9 - 2x
( )
4( 16) (9 2 )
a
b
x 4
9 - 2x 0
x 4
9 - 2x
* (a) x . 9
2
* (b) 145 9
36 x < 2
*Tập nghệm của BPT là: T= 145;
36
0,25
0,25
0,25
0,25
II.2
(1
điểm
)
a) (1 điểm) 2cosx+ 1 2 8 1 2
os ( ) sin 2 3 os(x+ )+ sin
2 osx+c
os sin 2 3s inx+ sin
6 osx+cosc x 8 6s inx.cosx-9sinx+sin x
6 osx(1-sinx)-(2sinc 2x 9s inx+7) 0
7
6 osx(1-sinx)-2(s inx-1)(s inx- ) 0
2
c
(1-sinx)(6cosx-2sinx+7) 0
(2)
1 s inx=0 6cosx-2sinx+7=0
(p/t vô nghiệm ) (2)
III
(1 điểm) * Đặt t = 2 , Khi x = ln2 t = 0
x
x = ln3 t = 1
ex = t2 + 2 e 2x dx = 2tdt
* I = 21 22 = 2
0
( 2)
1
t tdt
t t
0
2 1
1
t
t t
0,25 0,25 0,25
Trang 4* = 2 + 2
0 ( 1)t dt
0 t t 1
* = ( 2 1 + 2ln(t2 + t + 1) = 2ln3 - 1
2 ) 0
Câu IV
OI a
Đặt OA R
đều
SAB SAB
A
ASO
Tam giác OIA vuông tại nên I
OA IA IO
2
2
SA a
2
a
SO
2
xq
a
S Rl a a
0,25
0,25 0,25 0,25
V
(1 điểm)
* Ta cm với a, b > 0 có a3 + b3 a 2b + ab2 (*)
Thật vậy: (*) (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b) 0
(a + b)(a - b)2 0 đúng
Đẳng thức xẩy ra khi a = b
* Từ (*) a 3 + b3 ab(a + b)
b3 + c3 bc(b + c)
c3 + a3 ca(c + a)
2(a 3 + b3 + c3 ) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)
* Áp dụng BĐT co si cho 3 số dương ta có:
13 + + 3 = (2)
1
1
3 3 3
1 1 1
a b c
3 abc
* Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được BĐT cần cm
Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.a.1
(1 điểm)
* Đường tròn (C) có tâm I(2;1), bán kính R = 2
Ta có IA = 2 5 > R A nằm ngoài đường tròn (C)
* Xét đường thẳng : x = 4 đi qua A có d(I; ) = 2 là 1 tiếp 1 1 1
tuyến của (C)
0,25 0,25
S
B
I
Trang 5* T1T2 IA đường thẳng T 1T2 có vtpt = n 1 =(1;2)
2 IA
phương trình đường thẳng T1T2 : 1(x - 4) + 2(y - 1)
x + 2y - 6 = 0 0,25
VI.a.2
(1 điểm) * Mp(P) có vtpt nP= (1;1;-2).
(S) có tâm I(1;-2;-1)
* = (2;1;2) Gọi vtcp của đường thẳng là IA u
tiếp xúc với (S) tại A u
IA
Vì // (P) u
nP
* Chọn = [ ,u0 IA nP] = (-4;6;1)
* Phương trình tham số của đường thẳng :
3 4
1 6 1
0,25
0,25
0,25 0,25
VII.a
(1 điểm)
* Đặt z = x + yi (x; y R)
|z - i| = | - 2 - 3i| Z |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i|
* x - 2y - 3 = 0 Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là
đường thẳng x - 2y - 3 = 0
* |z| nhỏ nhất |OM| nhỏ nhất M là hình chiếu của O trên
* M( ;- ) z = - i3
5
6
5
6 5
Chú ý:
HS có thể dùng phương pháp hình học để tìm quỹ tích điểm M
0,25 0,25 0,25 0,25
VI.b.1
(1 điểm)
* B = d Ox = (1;0)
Gọi A = (t;2 2 t - 2 2) d
H là hình chiếu của A trên Ox H(t;0)
H là trung điểm của BC
* Ta có: BH = |t - 1|; AB = ( 1)t 2 (2 2t 2 2) 2 3|t - 1|
ABC cân tại A chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1|
* 16 = 8|t - 1| t 3
t 1
* Với t = 3 A(3;4 2), B(1;0), C(5;0) G( ; 3 4 2 )
3
Với t = -1 A(-1;-4 2), B(1;0), C(-3;0) G( ; 1 4 2)
3
0,25
0,25 0,25
0,25
Trang 6(1 điểm) d là giao tuyến của (ABC) với ( ) qua A và vuông góc với
BC
* Ta có: AB= (1;3;-3), AC= (-1;1;-5) , BC= (-2;-2;-2)
[AB, AC] = (18;8;2)
mp(ABC) có vtpt = [n 1 , ] = (-3;2;1)
4 AB
AC
mp( ) có vtpt ' = - n 1 = (1;1;1)
2 BC
* Đường thẳng d có vtcp =[ , ' ] = (1;4;-5).u n n
* Phương trình đường thẳng d:
1
2 4
3 5
0,25
0,25
0,25
VII.b
(1 điểm)
* Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox:
2 = 0
1
x m x
x 2 x m 0
x
x 1
(Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt pt f(x) = x2 - x + m = 0 có 2
nghiệm phân biệt khác 1
(1) 0
f
1 4 0
m m
* Khi đó gọi x1, x2 là nghiệm của f(x) = 0 1 2
1 2
1
m
x x
x x
Ta có: y' = '( )( 1) ( 2 1) ' ( )
( 1)
x
Hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) tại A và B lần lượt là:
k1 = y'(x1) = 1 1 1 = =
2 1
'( )( 1) ( ) ( 1)
x
'( ) ( 1)
f x
2 1
x
* Tương tự: k1 = y'(x2) = 2 ( do f(x1) = f(x2) = 0)
2
2 1
x
Theo gt: k1k2 = -1 1 = -1
1
2 1
x
2 1
x
* m = ( thoả mãn (*))1
5
0,25
0,25
0,25
0,25