Các tiếp tuyến qua A tiếp xúc với C tại T1, T2, viết phương trình đường thẳng T1T2.. Trong không gian Oxyz.[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN (ĐỀ 186)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y = -x 3 +3x 2 +1
1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
2 Tìm m để phương trình x3 -3x 2 = m 3 -3m 2 có ba nghiệm phân biệt.
Câu II (2,0 điểm ).
1 Giải bất phương trình : 4 4 2
16 6 2
2.Giải phương trình: 2 1
3 sin sin 2 tan
2
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân:
x
e dx I
Câu IV (1,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a 2 Đáy là tam giác ABC cân ABAC 120 0 , cạnh
BC=2a Tính thể tích của khối chóp S.ABC.Gọi M là trung điểm của SA.Tính khoảng cách từ M
đến mặt phẳng (SBC).
Câu V (1,0 điểm).
Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh: 3 3 3
2
b c c a a b
II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B).
A Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a(2,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x2y2 4x 2y 1 0 và điểm A(4;5) Chứng
minh A nằm ngoài đường tròn (C) Các tiếp tuyến qua A tiếp xúc với (C) tại T 1 , T 2 , viết phương trình
đường thẳng T 1 T 2
2 Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S):
Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại
x y z x y z
A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P).
Câu VII.a(1,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện:
z i z 2 3i Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất.
B Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b(2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16, A,B thuộc đường thẳng d:
và B, C thuộc trục Ox Xác định toạ độ trọng tâm của tam giác ABC.
2 2x y 2 2 0
2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Viết
phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC.
Câu VII.b(1,0 điểm).
Cho hàm số (Cm): (m là tham số) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại hai điểm phân biệt A,B sao
2
1
y x
cho tiếp tuyến của (Cm) tại A, B vuông góc
……….Hết………
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012
Môn thi : TOÁN (ĐỀ 186) II.1(1 điểm) * Đk: 4 0 x 4 Đặt t = (t > 0)
4 0
x x
BPT trở thành: t2 - t - 6 0 2( )* Với t 3 2 9 - 2x
3
t
* (a) x .* (b)
( )
4( 16) (9 2 )
a
b
x 4
9 - 2x 0
x 4
9 - 2x
36 x < 2
*Tập nghệm của BPT là: T= 145;
36
II.2(1 điểm)* Đk: cosx 0 x
2 k
PT đã cho 3sin2x + sinxcosx - s inx = 0
cos x
* sinx( 3sinx + cosx - 1 ) = 0
cos x
s inx 0
1
osx
x c
* Sinx = 0 x = k
* 3sinx + cosx - 1 = 0 tanx + 1 - = 0
cos x
tan2x - 3tanx = 0 t anx 0
t anx 3
x x 3
k k
Vậy PT có các họ nghiệm: x = k , x =
3 k
III.(1 điểm)
* Đặt t = e x 2 , Khi x = ln2 t = 0 x = ln3 t = 1 e x = t2 + 2 e 2x dx = 2tdt
0
1
t t
0
1
t
t t
0
( 1)t dt
0
1
d t t
t t
= ( 2 1 + 2ln(t2 + t + 1) = 2ln3 - 1
2 ) 0
IV.(1 điểm) * Áp dụng định lí cosin trong ABC có AB = AC = 2
3
a
S ABC = AB.AC.sin12012 0 = Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC), theo gt:
3
a
SA = SB = SC HA = HB = HC H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.
Trang 3* Theo định lí sin trong ABC ta có: = 2R R = = HA SHA vuông tại
sin
BC
3
3
a VS ABC. 1
3 S ABC
9
a
* Gọi hA, hM lần lượt là khoảng cách từ A, M tới mp(SBC) 1 hM = hA
2
M A
2
SBC vuông tại S = a2Lại có: = .hA
3 S SBC
hA = 3 S ABC. = Vậy hM = d(M;(SBC)) =
SBC
V
V
2 3
6
a
V(1 điểm) * Ta cm với a, b > 0 có a3 + b3 a 2b + ab2 (*)
Thật vậy: (*) (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b) 0 (a + b)(a - b)2 0 đúng
Đẳng thức xẩy ra khi a = b
* Từ (*) a 3 + b3 ab(a + b) ;b 3 + c3 bc(b + c) ; c 3 + a3 ca(c + a)
2(a 3 + b3 + c3 ) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)
* Áp dụng BĐT co si cho 3 số dương ta có:
13 + + 3 = (2)
1
1
1 1 1
a b c
3 abc
* Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được BĐT cần cm.Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c VI.a.1(1 điểm) * Đường tròn (C) có tâm I(2;1), bán kính R = 2
Ta có IA = 2 5 > R A nằm ngoài đường tròn (C); Xét đường thẳng : x = 4 đi 1
qua A có d(I; ) = 2 là 1 tiếp tuyến của (C); tiếp xúc với (C ) tại T1 1 1 1(4;1) T1T2
IA đường thẳng T1T2 có vtpt = =(1;2);phương trình đường thẳng T1T2 :
2 IA
1(x - 4) + 2(y - 1) x + 2y - 6 = 0
VI.a.2(1 điểm) Mp(P) có vtpt nP= (1;1;-2) (S) có tâm I(1;-2;-1); = (2;1;2) Gọi vtcp IA
của đường thẳng là u tiếp xúc với (S) tại A
IA
Vì // (P) u ;Chọn = [ , ] = (-4;6;1);
nP u0 IA nP
Phương trình tham số của đường thẳng :
3 4
1 6 1
VII.a(1 điểm) * Đặt z = x + yi (x; y R) |z - i| = | - 2 - 3i| Z |x + (y - 1)i| = |(x - 2)
- (y + 3)i| x - 2y - 3 = 0 Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là đường
thẳng x - 2y - 3 = 0 |z| nhỏ nhất |OM| nhỏ nhất M là hình chiếu của O trên
M( ;- ) z = - i3
5
6
5
6 5
Chú ý: HS có thể dùng phương pháp hình học để tìm quỹ tích điểm M
VI.b.1(1 điểm) * B = d Ox = (1;0) Gọi A = (t;2 2 t - 2 2) d
H là hình chiếu của A trên Ox H(t;0) H là trung điểm của BC.
* Ta có: BH = |t - 1|; AB = ( 1)t 2 (2 2t 2 2) 2 3|t - 1|
Trang 4ABC cân tại A chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1| 16 = 8|t - 1| t 3
Với t = 3 A(3;4 2), B(1;0), C(5;0) G( ; 3 4 2 )
3
Với t = -1 A(-1;-4 2), B(1;0), C(-3;0) G( ; 1 4 2)
3
VI.b.2(1 điểm) * Gọi d là đường cao tương ứng với đỉnh A của ABC
d là giao tuyến của (ABC) với ( ) qua A và vuông góc với BC.
* Ta có: AB= (1;3;-3), AC= (-1;1;-5) , BC= (-2;-2;-2) [AB, AC] = (18;8;2)
mp(ABC) có vtpt = [n 1 , ] = (-3;2;1) mp( ) có vtpt ' = - = (1;1;1)
4 AB
AC
n 1
2 BC
* Đường thẳng d có vtcp =[ , ' ] = (1;4;-5).u n n
* Phương trình đường thẳng d:
1
2 4
3 5
VII.b(1 điểm) * Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox:
2 = 0
1
x m
x
x
x 1
(Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt pt f(x) = x2 - x + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1
0 (*)* Khi đó gọi x1, x2 là nghiệm của f(x) = 0
(1) 0
f
1 4 0
m m
1 2
1
m
x x
Ta có: y' = '( )( 1) ( 2 1) ' ( ) Hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) tại A và B lần lượt
( 1)
x
là: k1 = y'(x1) = 1 1 1 = =
2 1
'( )( 1) ( ) ( 1)
x
'( ) ( 1)
f x
2 1
x
x
* TT : k1 = y'(x2) = 2 ( do f(x1) = f(x2) = 0)
2
2 1
x
x
Theo gt: k1k2 = -1 1 = -1 * m = ( thoả mãn (*))
1
2 1
x
x 2 2
2 1
x
1 5
Hết