Đề và đáp án thi thử đại học, cao đẳng môn thi: Toán (số 199)

Tìm vị trí của M trên C để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó.. TÝnh tÝch ph©n:.[r]

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012.

Mụn thi : TOÁN ( ĐỀ 199 )

Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x







1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2 Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.

Câu II (2 điểm)

1 Giải hệ phương trình: 1 1 4



2 Giải phương trình: 1 2(cos sin )

tan cot 2 cot 1





Câu III (1 điểm)

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) tâm O đường kính AB = 2R.Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại O lấy điểm S sao cho OS = R 3 I là điểm thuộc đoạn OS với SI = 2 M là một

3

R

điểm thuộc (C) H là hình chiếu của I trên SM Tìm vị trí của M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó

Câu IV (1 điểm)

Tính tích phân: I =

1

2

dx

Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng

1 1 1 1

Phần riêng(3,0 điểm).Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A.Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích

bằng và trọng tâm thuộc đường thẳng : 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C.3

Câu VII.a (1 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số

đôi một khác nhau ( chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó phải có chữ số 7

Câu VIII.a (1 điểm) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm: 2

log x   1 log (ax a )

B.Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2 2 1 và đường thẳng :3x + 4y =12

Từ điểm M bất kì trên kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn 

đi qua một điểm cố định.

Câu VII.b (1 điểm) Cho hàm số 2 4 3 có đồ thị (C).Giả sử đường thẳng y = kx + 1 cắt (C)

2

y x

 



 tại 2 điểm phân biệt A, B Tìm tập hợp trung điểm I của AB khi k thay đổi.

Câu VIII.b (1 điểm) Giải phương trình:  log 2  log 2 2

3 1  xx 3 1  x   1 x

- h

-đáp án ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012.

Mụn thi : TOÁN (ĐỀ 199 )

m

2 (1,0 điểm) Tìm trên (C) những điểm Gọi M(x0;y0) là một điểm thuộc (C), (x0- 1) thì 0

0 0

1

x y x





 Gọi A, B lần lợt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì

MA = |x 0 +1| , MB = | y 0 - 2| = | 0 - 2| = | |

0

1

x x



1 1

x 

Theo Cauchy thì MA + MB 2  0 =2

0

1

x 1

1

x





MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x 0 = 0 hoặc x 0 = -2.Nh vậy ta có hai điểm cần tìm



là (0;1) và (-2;3)

0,25 0,25

0,25 0,25

(2,0 điểm)

Điều kiện: x -1, y 1 

Cộng vế theo vế rồi trừ vế theo vế ta có hệ



Đặt u= x  1 x 6 , v = y  1 y 4 Ta có hệ

là nghiệm của hệ

10

5 5 2u v

u v



  



 





5

u

v

  3

5

x

y



0,25 0,25 0,25

0,25

2 (1,0 điểm) Giải phơng trình

Điều kiện:sinx.cosx 0 và cotx 1 

Phơng trình tơng đơng

sin cos 2 cos

1 cos sin 2 sin





cosx = x =

4 k

 

Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x = 2

4 k

 

0,25 0,25

0,25 0,25

H I

A

0,25

Tứ giác IHMO nội tiếp nên SH.SM = SI.SO mà OS = R 3 , SI = 2 ,

3

R

SM = SO2 OM2  2R SH = R hay H là trung điểm của SM Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên mp(MAB) thì HK = SO=1 R , (không

2

3 2

đổi)

V BAHM lớn nhất khi dt( MAB) lớn nhất M là điểm giữa của cung AB

Khi đó V BAHM = 3 3 (đvtt)

6 R

0,25 0,5

(1,0 điểm) Đặt u = x+ 1 x 2 thì u - x= 1 x 2  x2  2ux u 2   1 x2

2

2

1

u

Đổi cận x= - 1 thì u = 2-1 x = 1 thì u = 2+1

2

1

2

du

u I

  

du

du

0,25 0,25 0,25 0,25 Câu V

(1,0 điểm)

Đặt x=a3 y=b3 z=c3 thì x, y, z >0 và abc=1.Ta có

a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, do a+b>0 và a 2+b2-ab ab

a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0



a b 1 ab a b c 

c 1 bc a b c

Cộng theo vế ta có

a 1 ca a b c

1

a  b  1 3 3

1

c 1

1

a 1



a b c1  ab bc ca1 1 1

    a b c1 c a b  1

 

0,25

0,5

0,25

(1,0 điểm) Ta có: AB = , M = ( 2 5; 5), pt AB: x – y – 5 = 0

2  2

SABC= d(C, AB).AB = 1 d(C, AB)=

2

3

2 Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= 1

2

2

t t  1

2 

0,25

G(1; - 5) hoặc G(2; - 2)



Mà CM 3GMC = (-2; 10) hoặc C = (1; -4)

0,25

VII a Từ các chữ số

(1,0 điểm) Gọi số có 6 chữ số là abcdef

Nếu a = 7 thì có 7 cách chọn b, 6 cách chọn c, 5 cách chọn d, 4 cách chọn e, 3 cách chọn f ở đây có 7.6.5.4.3 = 2520số

Nếu b = 7 thì có 6 cách chọn a, 6 cách chọn c, 5 cách chọn d, 4 cách chọn e, 3 cách chọn f ở đây có 6.6.5.4.3 = 2160số

Tơng tự với c, d, e, f Vậy tất cả có 2520+5.2160 = 13320 số

0,25

0,5

0,25 VIII a Tìm a để

(1,0 điểm) Điều kiện: ax + a > 0

Bpt tơng đơng x2   1 a x(  1) Nếu a>0 thì x +1 >0.Ta có 2 1

1

x

a x





 Nếu a<0 thì x +1 <0.Ta có 2 1 Xét hàm số y = với x - 1

1

x

a x







1

x x



y’ = =0 khi x=1 a> hoặc a < - 1

1

x



2 2

0,25 0,25 0,25 0,25

(1,0 điểm) Gọi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2)

Tiếp tuyến tại A có dạng 1 1 1Tiếp tuyến đi qua M nên

x x  y y  (1)Ta thấy tọa độ của A và B đều thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt

do M thuộc nên 3x 0 + 4y 0 =12 4y 0 =12-3x 0

xx yy

Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB đi

 4 0 4 0

4

   4 0 (12 3 ) 0

4

4x y y 4 0 x y 1

Vậy AB luôn đi qua điểm cố định F(1;1)

0,25

0,5

(1,0 điểm)

y = kx + 1 cắt (C): 2 4 3 Ta có pt = kx + 1 có 2 nghiệm phân biệt

2

y x

 





2

x

 



;Trung điểm I của AB có tọa độ thỏa mãn

1

k

 

;Vậy quĩ tích cần tìm là đờng cong

2 3

2 2 1

k x k

y kx



 

  



2

2 2

y

x

 

 



2

2 2

y

x

 





0,25 0,5 0,25

VIII b Giải phơng trình

(1,0 điểm) Điều kiện : x>0

Đặt log 2 =u, ta có pt

3 1  x  log 2

3 1  x v

u +uv 2 = 1 + u 2 v 2  (uv 2 -1)(u – 1) = 0

x =1

2 1 1

u

uv



  

0,25 0,5 0,25