Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với d bTrong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC.. Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại[r]
Trang 1ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 1
NĂM HỌC 2015-2016
Môn: TOÁN THPT
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3+x2 -2x +1 tại điểm có hoành độ x = 1
b) Tìm m để phương trình:
x 1
x m
x 2 có hai nghiệm phân biệt
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2cosx+ s inx 1 sin 2x
b) Cho cosα = 1
3 2 Tính cos 6
Câu 3 (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 1 , 1
1
x
Câu 4 (1,0 điểm)
a) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Niu-tơn của biểu thức
8
3 2
x
x , với x 0 b) Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau Lấy ngẫu nhiên một số trong các số lập được, tính xác suất để lấy được số chẵn
Câu 5 (1,5 điểm) Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy(ABC), SA a 6, AB AC a 3, góc BAC bằng 0
120 ; lấy điểm M trên cạnh BC sao cho MC = 2MB
a)Tính góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC)
b)Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SM và AC
Câu 6(1,5 điểm)
a)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x-y+2 = 0 và A(1;1) Viết phương trình đường tròn tâm A và tiếp xúc với d
b)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là
3x 5y 8 0, x y 4 0 Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D4; 2 Viết phương trình các đường
thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3
Câu 7 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2
Câu 8 (1,0 điểm) Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a2+b2 + c(a+b) + 4c2 = 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a b c 2 b a c2 1
P
Hết
Họ và tên thí sinh:……….; Số báo danh:………
Lop10.com
Trang 2Câu Nội dung Điểm
Thay x =1 vào công thức hàm số ta có y = 1 Vậy tiếp điểm M(1;1)
0,25
Ta có: y’ = 3x2+2x-2 y’(1) = 3 là hệ số góc của tiếp tuyến 0,25 Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 3(x-1) + 1 hay y = 3x-2 0,5
+ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 2 0,25
2
2
1b
(1,5)
1 hoac 5
1 0
Ta có: 2cosx+ s inx 1 sin 2x (2cosx-1) s inx(2cosx 1) 0
sinx 1
1 cosx=
2
2ª
(0,5)
3
0,25
2b
(0,5)
Khi đó: cos( ) cos cos sin sin
Với x > 1 ta có
2
1
1
x
x 1 2 +
y’(x) - 0 +
y(x)
3
Từ BBT ta có
x
Min y khi x
3
(1,0)
Chú ý: Học sinh có thể sử dụng BĐT Cô- si
Trang 3H
M
C A
B
S
Số hạng tổng quát trong khai triển Niu-tơn của
8
3 2 x
x là
k
k 3 8 k 8
2
C (x )
x
Số hạng này không chứa x khi và chỉ khi 24 – 4k = 0 k = 6
4ª
(0,5)
Gọi số cần lập là abcd với a,b,c,d 0;1; 2;3; 4, và a 0
a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
d có 2 cách chọn
Số các số được lập là: 4.4.3.2 = 96
0,25
Ta xét hai trường hợp:
Gọi số cần lập là abcd với a,b,c,d 0;1; 2;3; 4, d chẵn và a 0
Ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Lần lượt chọn như sau
+ Chọn d = 0, có 1 cách;
+ Chọn a, có 4 cách;
+ Chọn b, có 3 cách;
+ Chọn c, có 2 cách
Suy ra trường hợp 1 lập được 1.4.3.2 = 24 số
- Trường hợp 2: Lần lượt chọn như sau
+ Chọn d bằng 2 hoặc 4, có 2 cách;
+ Chọn a, có 3 cách;
+ Chọn b, có 3 cách;
+ Chọn c, có 2 cách
Suy ra trường hợp 2 lập được 2.3.3.2 = 36 số
4b
(0,5)
Vậy lập được 24 + 36 = 60 số
Xác suất chọn được số chẵn là: P = 60 5
968
0,25
a) Ta có: AC là hình chiếu của SC trên
mf(ABC), nên góc giữa SC và
(ABC) là góc SCA
tanSCA SA 2 SC A 54, 7
AC
b) Diện tích tam giác ABC là:
0 1
.sin120 2
ABC
S = AB AC
0,25
0,25
2
3 3
a
Vậy thể tích hình chóp S.ABC là:
2
a
V = S SA .a
5
(1,5)
3
4
a
Lop10.com
Trang 4*) Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ABC ta có :
BC2 = 2AB2 – 2AB2cos1200 BC = 3a MB = a
Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ABM ta có:
Do đó tam giác AMB cân tại M nên
Mặt khác: SA (ABC) SAAC (2)
Từ (1) và (2) ta có: AC (SAM) (3)
Kẻ AH SM (HSM) (4)
Từ (3) và (4) ta được: d AC SM , AH
0,25
Trong tam giác ASM vuông tại A ta có:
6a
AH SA AM
7 7
AH
Vậy d AC SM , 42
7
a
0,25
Tâm A(1;1) Khoảng cách từ A tới d là 1 1 2 2
2
Vậy phương trình đường tròn là: (x-1)2+(y-1)2=2
0,5
6
(1,5)
M K H
D
C B
A
Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của BC và AD, E là giao điểm của BH và AC Ta kí hiệu n d,u d
lần lượt là
vtpt, vtcp của đường thẳng d Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
7
;
2
x
x y
M
y
AD vuông góc với BC nên n ADu BC 1;1
, mà AD đi qua điểm D suy ra
phương trình của AD:1x 4 1y 2 0 xy 2 0 Do A là giao điểm của AD và AM nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
E
Trang 5
1;1
A
Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình:
3; 1
K
Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHKKCE, mà KCEBDA(nội tiếp chắn cung
AB) Suy ra BHKBDK, vậy K là trung điểm của HD nên H2; 4
(Nếu học sinh thừa nhận H đối xứng với D qua BC mà không chứng minh,
trừ 0.25 điểm)
Do B thuộc BC B t t ; 4, kết hợp với M là trung điểm BC suy ra
7 ;3
C t t
( 2; 8); (6 ; 2 )
Do H là trực tâm của tam giác ABC nên
7
t
t
Do t 3 t 2 B2; 2 , C5;1
Ta cóAB1; 3 , AC4; 0nAB 3;1 , nAC 0;1
Suy ra AB: 3x y 4 0; AC y: 1 0.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 7: Giải hệ phương trình:
2
( 1)( 1) 2 4 (2)
Điều kiện: x 0 , y 0 (*)
2
(2) y xy 2y 3x 3 0 (y2xyy) (3 y 3x 3) 0
(y x 1)(y 3) 0
1 0
(vì y 0 ) x y 1 (3)
0,25
Thế (3) vào (1) ta có 2y 2 y y2 2y (y 1 )
2
( 2)
y
y y
1
0,25
1
0 (5)
y
y
- Xét (5):
1
y
1 0
2y 2 yy 0 1 nên (5) y1
Từ đó ta có (x = 0; y = 1) (thoã mãn (*))
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là (x = 1; y = 2) và (x = 0; y = 1)
0,25
Lop10.com
Trang 6Trong mặt phẳng (Oxy) cho đường tròn (C ): 2x2+2y2-2x+2y-1 = 0và hai đường thẳng d1: x-y+4 =0; d2: 6x+4y-1=0
a) Tính khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d1
b) Từ điểm M thuộc d 1 kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB tới (C ) với A,B là tiếp điểm Viết phương trình đường thẳng AB biết tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABM thuộc d2
Trước hết ta có bổ đề:với a,b>0 thì x2 y2 x y
dấu bằng xảy ra khi x y
8
(1,0)
Áp dụng bổ đề ta có:
2 2
2 1 2 1 1
Dấu “=” khi a=b=1;c=1/2 Vậy Pmax=1 khi a = b= 1 và c =1/2
0,5 0,25