Hệ phương trình tương đương: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.. Hai hệ vô nghiệm được coi là tương đương.[r]
Trang 1ÔN TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I Ôn tập kiến thức cơ bản
1 Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số là hệ có dạng: (I)
ax by c (1)
a ' x b ' y c ' (2)
* Cặp số (x0; y0) là nghiệm của hệ (I) khi (x0; y0) là nghiệm chung của phương trình (1) và phương trình (2)
* Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có thể có một nghiệm hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm
2 Hệ phương trình tương đương: Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có
cùng tập hợp nghiệm Hai hệ vô nghiệm được coi là tương đương
3 Các phép biến đổi tương đương:
(1) Nhân hai vế mỗi phương trình trong hệ với một số khác 0:
Chẳng hạn, với k và n khác 0 ta có:
ax by c kax kby kc
a ' x b ' y c ' na ' x nb ' y nc '
(2) Quy tắc cộng đại số (tóm tắt):
ax by c ax by c
a ' x b ' y c ' (ax by) (a ' x b ' y) c c '
(3) Quy tắc thế (tóm tắt): Với a khác 0
c by x
c by
a
c by
a ' x b ' y c '
a
II Bài tập
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
3x y 0 2x y 10
5x 3y 6 5x 4y 3
y 4 x
x y 4
Giải:
a) Ta có:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x; y) = (-2; 6)
b) Ta có:
5x 3y 6
5x 3y (5x 4y) 6 3
Trang 2Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
x 3
y 3
c) Ta có:
x y 4 x (4 x) 4 0x 0
y 4 x y 4 x
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát dạng
x
y 4 x
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x y 3
x y
1
2 2
; b)
4x 3y 4 6x 5y 7
Giải:
a) Ta có:
trong hệ vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
b) Ta có:
1
2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
1 x 2
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
3x 2 2y 3 6xy 4x 5 y 5 4xy
; b) {x + y1 −
2
x − y=2
5
x+ y−
4
x− y=3
Giải:
a) Ta có:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
Trang 3b) Với điều kiện x y, ta biến đổi hệ phương trình như sau:
1 a
x y 1 b
x y
1
3
Suy ra
6
x y
7
27 2x 7
27
14 27 x 14
42 27 y
14 27 x 14
27 x 14 15 y 14
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
27 15
14 14
Bài 4. Xác định phương trình đường thẳng dạngy ax b biết nó đi qua hai điểm
1;6
A
và B2; 3
Giải:
Đường thẳng y ax b đi qua điểm A 1;6 , nên ta có:
6a 1 b a b 6 1
Đường thẳng y ax b đi qua điểm B2; 3 , nên ta có:
3 a.2 b 2a b 3 2
Vì a, b phải là nghiệm đúng của cả hai phương trình (1) và (2) nên a, b là nghiệm
của hệ phương trình:
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y3x3
III Bài tập tự luyện
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
a
x y
x y
c
10 8
x y
x y
x y
Bài 6. Giải các hệ phương trình sau :
Trang 4a
1
1 2
x y
1
1
y x y
y x y
c
0
2 3
x y
20
x y
Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a
x y
3 0
x y
Bài 8.
Xác định các giá trị của a, b để hệ phương trình:
12
x by
ax by
a Có nghiệm 1; 2; b Có nghiệm 2; 2
Bài 9. Giải các hệ phương trình sau đây bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a
3
12
x y
x y
; b
1
1
x 3 y 2
2
x 3 y 2
Bài 10. Giải các hệ phương trình sau:
a
; b
c
Bài 11. Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số y ax b đi qua hai điểm M và N trong
mỗi trường hợp sau:
a M1;3 và N 2; 2 b M 1; 3
và N2; 3
c M0;0 và N3;3 d M 1; 4 và N4; 1
Bài 12. Xác định giá trị của các hệ số m, n sao cho:
a Hệ phương trình
2
5
x my n
mx ny
có nghiệm là (x2;y5);
b Hệ phương trình 3 2 1
x y m
có nghiệm là (x1;y2)
Bài 13.
Tìm giá trị của m để hệ phương trình
m y mx
y
:
a Có nghiệm là (x = 2; y = -1) ;
b Có nghiệm duy nhất;
c Có vô số nghiệm;
Trang 5d Vô nghiệm.
(Chú ý: Đọc lại tổng quát trang 10 SGK và mục 2 trang 25 SGK toán 9 tập hai)
Bài 14.
Tìm a để hai hệ phương trình
2
x y
x y
5
x y
ax y là tương đương
Bài 15. Đa thức f(x) x-c f(c) = 0 Hãy tìm a và b để đa thức
x
f x 2x axb
chia hết cho x – 2 và x – 3
Bài 16. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x y 4
; b)
3x 5y 34 4x 5y 13 5x 2y 5
Bài 17.
Tìm m để hệ phương trình
2mx 3y 5
m 1 x y 2
có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho
x > 0 ; y > 0
Bài 18.
Cho hệ phương trình :
a 1 x y 3
ax y a
a) Giải hệ với a = 2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y > 0