trong lĩnh vực tín dụng lãi tức là số tiền mà người sử dụng vốn người vay phải trả cho người chủ sở hữu vốn người cho vay để được sử dụng vốn trong một thời gian

Mô hình IS-LM được dùng để phân tích trạng thái cân bằng thị trường của nền kinh tế trong cả hai thị trường: thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ. Khi có mặt thị trư[r]

1 | P a g e

CHƯƠNG 1

ĐẠI CƯƠNG VỀ TOÁN TÀI CHÍNH

1.1.Khái niệm, đối tượng và ứng dụng của Toán tài chính

1.1.1 Khái niệm

Toán tài chính là một môn khoa học tính toán về tài chính phục vụ cho các hoạt động kinh doanh và đầu tư trong nền kinh tế Môn học này cung cấp các phương pháp, công cụ cho các nhà quản trị tài chính trong quá trình quản trị doanh nghiệp cũng như cho các nhà đầu tư trong kinh doanh trên thị trường chúng khoán, trong phân tích kinh doanh 1.1.2 Đối tượng

Đối tượng của toán tài chính là tính toán về lãi suất, tiền lãi, giá trị của tiền tệ theo thời gian, giá trị của các công cụ tài chính … Do vậy, toán tài chính là một môn học ứng dụng vào các nghiệp vụ kinh doanh cụ thể

1.1.3 Ứng dụng của toán tài chính

Toán tài chính được ứng dụng chủ yếu trong lĩnh vực tài chính, ngân hàng Ngoài

ra toán tài chính còn ứng dụng trong các lĩnh vực: thẩm định dự án đầu tư, định giá tài sản, mua bán trả góp …

1.2 Các yếu tố cơ bản của toán tài chính

Ví dụ 1.1 Nếu thời gian cho vay là 5 năm và mỗi năm tính lãi 2 lần thì khi đó thời gian cho vay được phân thành 10 chu kỳ và mỗi chu kỳ có độ dài 6 tháng

1.2.2 Lãi tức và lãi suất

1.2.2.1 Lãi tức (tiền lời) (Interest)

Trong lĩnh vực tín dụng, lãi tức là số tiền mà người sử dụng vốn (người vay) phải trả cho người chủ sở hữu vốn (người cho vay) để được sử dụng vốn trong một thời gian

Từ lãi suất chúng ta có thể thiết lập khái niệm tương đương Đó là những số tiền khác nhau ở các thời điểm khác nhau có thể bằng nhau về giá trị kinh tế

Ví dụ 1.3 Nếu lãi suất là 12%/năm thì 1 triệu đồng hôm nay sẽ tương đương với 1,12 triệu đồng sau một năm

1.4 Sử dụng Excel trong Toán tài chính

Trong Excel có chứa rất nhiều hàm toán tài chính; dùng các hàm này để giải các phép toán tài chính rất hữu hiệu Ở đây chúng ta chỉ nghiên cứu một số hàm thường được

sử dụng

1.4.1 Hàm FV

Hàm FV sẽ cho kết quả là giá trị tương lai (giá trị cuối) của một chuỗi tiền tệ đều với lãi suất cố định

Cấu trúc hàm: FV(rate, nper, pmt, pv, type)

 rate:lãi suất của một chu kỳ

 nper: số chu kỳ

 pmt: số tiền thanh toán mỗi chu kỳ

 pv: giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ (không bắt buộc)

 type: phương thức phát sinh của chuỗi tiền tệ

o type=0 hoặc bỏ qua: chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ

o type=1: chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ

4 | P a g e

 rate:lãi suất của một chu kỳ

 nper: số chu kỳ

 pmt: số tiền thanh toán mỗi chu kỳ

 fv: giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ (không bắt buộc)

 type: phương thức phát sinh của chuỗi tiền tệ

o type=0 hoặc bỏ qua: chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ

o type=1: chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ

1.4.3 Hàm PMT

Hàm PMT sẽ cho kết quả là số tiền phải thanh toán định kỳ (kỳ khoản) của một chuỗi tiền tệ đều với lãi suất cố định khi đã biết giá trị của PV hay FV

Cấu trúc hàm: PMT(rate, nper, pv, fv, type)

 rate:lãi suất của một chu kỳ

 nper: số chu kỳ

 pv: giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ

 fv: giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ (không bắt buộc)

 type: phương thức phát sinh của chuỗi tiền tệ

o type=0 hoặc bỏ qua: chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ

o type=1: chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ

1.4.3 Hàm NPV

Hàm NPV sẽ cho kết quả là giá trị hiện tại ròng (hiện giá ròng) của đầu tư với lãi suất không đổi

Cấu trúc hàm: NPV(rate, value1, value2, …, …, …)

 rate:lãi suất của một chu kỳ

 value1, value 2, …: các khoản phát sinh (thu hoặc chi) ở cuối chu kỳ 1, 2, …

1.4.5 Hàm IRR

Cho kết quả là lợi suất (tỷ suất hoàn vốn nội bộ) của dự án đầu tư

Cấu trúc hàm: IRR (value, guess)

 value: dòng tiền của dự án đầu tư

 guess: giá trị dự đoán kết quả gần đúng của IRR (không bắt buộc)

Phần tử nằm ở dòng i và cột j của ma trận A còn được kí hiệu là ( )A ij

Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau, ký hiệu A B nếu chúng có cùng cấp m n

và ( )A ij ( )B iji1, ;m j1,n Khi ấy A và B có các phần tử hoàn toàn như nhau ở mọi

là các ma trận tam giác dưới

Ma trận chéo Ma trận A vuông cấp n gọi là ma trận chéo nếu tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng không

ik kj k

2.1.2.4 Lũy thừa của ma trận vuông

Với mỗi ma trận A vuông cấp n và mỗi số tụ nhiên p, ta định nghĩa:

là ma trận vuông cấp 3 Định thức của ma trận A, kí hiệu

A hay det A được gọi là định thức cấp 3, là một số xác định như sau:

Số ( 1) deti j ij

M



 gọi là phần bù đại số của phần tử a , kí hiệu là ij A ij

Định thức của ma trận A được gọi là định thức cấp n, được tính bởi công thức

Công thức (1) gọi là công thức khai triển định thức theo dòng i

Công thức (2) gọi là công thức khai triển định thức theo cột j

(đổi chỗ dòng 1 và dòng 2 cho nhau)

(4) Nếu ta nhân một dòng (một cột) của định thức với số  thì định thức cũng nhân với

(Nhân dòng 2 với 2 rồi cộng vào dòng 1)

(7) Nếu A, B là hai ma trận vuông cấp n thì det(AB) det det A B

Chú ý: det( n) (det )n

2.1.5 Một số phương pháp tính định thức

Phương pháp biến đổi đưa định thức về dạng tam giác

Dùng các tính chất của định thức đưa định thức về dạng tam giác Định thức sẽ bằng tích các số trên đường chéo chính

Khai triển theo dòng 1:

2.1.6.1 Định nghĩa

Định thức con

Cho A là ma trận cấp m n Chọn các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận vuông cấp k Định thức của ma trận vuông cấp k này ta gọi là định thức con cấp k của A

Cho A là ma trận cấp m n khác O Hạng của ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A)

là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của ma trận A

Vậy hạng của A, rank(A)=r thỏa

(i) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A

(ii) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì phải bằng 0

Quy ước : Nếu A=O thì r(A)=0

Trường hợp riêng, nếu ma trận A vuông cấp n có định thức detA0 thì rank A=n, tức là

A có hạng cực đại; còn nếu detA0 thì rank A<n,

2.1.6.3 Phương pháp tính hạng của ma trận

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Ba phép biến đổi sau đây gọi là ba phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận 1) Nhân một dòng với một số bất kì rồi cộng vào dòng khác

Các số ( )C 11 1,( )C 22 4,( )C 33  2gọi là các phần tử được đánh dấu của ma trận C

* Phương pháp tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp

Định lý Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng không làm thay đổi hạng của ma trận

Hạng của ma trận bậc thang dòng bằng số dòng khác 0 của nó

Do đó muốn tìm hạng A ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa về ma trận bậc thang A’ Khi đó hạng của A bằng hạng của A’ bằng số dòng khác 0 của A’

20 | P a g e

Định lý

Ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi detA 0

Ma trận A có ma trận nghịch đảo ta gọi là ma trận khả nghịch (khả đảo)

Ma trận A có detA gọi là ma trận không suy biến 0

1 3

  khả nghịch (theo ví dụ 1) và ta thấy detA  1 0

Ma trận nghịch đảo của A nếu có thì duy nhất

Thật vậy : Giả sử B và B là hai ma trận nghịch đảo của ma trận A, tức là

nhau) Vậy B không khả nghịch

* Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dùng các phép biến đổi sơ cấp

Cho A là ma trận vuông cấp n Để tìm ma trận nghịch đảo của A ta thực hiện các bước như sau :

- Bước 1: Lập ma trận A In bằng cách ghép thêm vào bên phải A ma trân đơn vị I n

- Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa A In về dạng I Bn 

Nếu làm được như thế thì A khả nghịch và A 1  B

Chú ý:

Trong quá trình biến đổi nếu ở khối bên trái xuất hiện một dòng 0 thì A không khả nghịch

Dùng phương pháp thứ hai không cần kiểm tra điều kiện khả đảo

Ví dụ 2.36 Tìm ma tra trận nghịch đảo (nếu có) của

Do khối bên trái xuất hiện dòng không nên B không khả nghịch

Ví dụ 2.37 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của

1 2 3

2 5 3

1 0 8A

24 | P a g e

2.2 Hệ phương trình tuyến tính

2.2.1 Khái niệm cơ bản

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Hệ phương trình tuyến tính (n ẩn, m phương trình) là hệ có dạng

m

bbB

n

xxX

Định lý Kronecker-Capelli

Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi rank A( )rank A( )

Hơn nữa giả sử rank A( )rank A( )r (0 r min{ , }).m n Khi đó

- Nếu r n (n là số ẩn) thì hệ (1) có nghiệm duy nhất

- Nếu r n thì hệ (1) có vô số nghiệm phụ thuộc vào n r tham số

Ví dụ 2.39 Các hệ phương trình sau đây có nghiệm hay không

Vậy r A( )r A( ) 2 hệ đã cho có nghiệm

2.2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử

Phương pháp giải hệ tổng quát

Lập ma trận A Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng bậc thang Nếu trong quá trình biến đổi xuất hiện một dòng bên trái bằng 0, bên phải khác 0 Hệ

vô nghiệm

Nếu đưa A về dạng bậc thang thì các ẩn ứng với các cột chứa phần tử đánh dấu giữ lại làm ẩn, các ẩn ứng với các cột không chứa phần tử đánh dấu chuyển sang bên phải làm tham số, sau đó giải phương trình ngược từ dòng dưới cùng đến dòng 1

Lập ma trận A

1 2 3 4

21

Suy ra rank A( ) 2 3  rank A( ) Do đó hệ vô nghiệm

2.3 Các mô hình tuyến tính trong kinh tế

2.3.1 Mô hình cân đối liên ngành (Mô hình Input-Output Leontief)

Mô hình này còn được gọi là mô hình I/O Nó đề cập đến việc xác định mức tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế Trong khuôn khổ của mô hình, khái niệm ngành được xem xét theo nghĩa thuần túy sản xuất Các giả thiết sau được đặt ra:

1 Mỗi ngành sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa thuần nhất hoặc sản xuất một số hàng hóa phối hợp theo một tỷ lệ nhất định Trong trường hợp thứ hai ta coi mỗi tổ hợp hàng hóa theo tỉ lệ cố định đó là một mặt hàng

29 | P a g e

2 Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi một ngành được sử dụng theo một tỷ lệ

cố định

Tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành bao gồm:

- Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quá trình sản xuất

- Cầu cuối cùng từ phía người sử dụng sử dụng loại sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khẩu, bao gồm các hộ gia đình, nhà nước, các hang xuất khẩu

Giả sử một nền kinh tế ngành gồm n ngành: ngành 1, ngành 2, …, ngành n và ngoài

ra còn có một phần khác của nền kinh tế (gọi là ngành kinh tế mở), nó không sản xuất hàng hóa như n ngành trên mà chỉ tiêu dùng sản phẩm của n ngành kinh tế này Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta biểu diễn lượng cầu của tất cả các hàng hóa ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền (với giả thiết thị trường ổn định) Tổng cầu về sản phẩm hàng hóa của ngành i được tính theo công thức:

A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật

X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất)

B là ma trận cuối cùng

Từ công thức (2), phần tử a của A là tỷ phần chi phí của ngành k trả cho việc mua hàng ikhóa của ngành i tính trên một đơn vị giá trị hàng hóa của ngành k (chi phí yếu tố đầu vào của sản xuất)

Ví dụ 2.42 aik 0,2 nghĩa là để sản xuất ra 1$ giá trị hàng hóa của mình (tính bình

quân), ngành k phải mua 0,2$ hàng hóa của ngành i

Theo giả thiết 2 ta có a không đổi Ta gọi ik a là hệ số chi phí cho các yếu tố sản xuất ikhay hệ số kĩ thuật, do đó 0aik  1

Trong ma trận A, các phần tử của dòng i là hệ số giá trị hàng hóa của ngành i bán cho tất cả các ngành làm hàng hóa trung gian (kể cả ngành i), còn cột k là hệ số giá trị hàng hóa của ngành k mua của các ngành để sử dụng cho mình sản xuất hàng hóa của mình (kể

cả ngành k) Tổng tất cả các phần tử của cột k là mức chi phí của ngành k phải trả cho việc mua các yếu tố sản xuất trên 1$ giá trị hàng hóa của mình và ngoài ra ngành còn sử dụng giá trị hàng hóa để tiêu dùng, do đó:

31 | P a g e

Phương trình (3’) cho phép ta xác định được tổng cầu đối với hàng hóa của tất cả các ngành sản xuất, điều này có ý nghĩa quan trọng đối với việc lập kế hoạch sản xuất đảm bảo cho nền kinh tế vận hành trôi chảy, tránh dư thừa hoặc thiếu hụt hàng hóa

Ma trận I A gọi là ma trận Liontief hay ma trận hệ số công nghệ

Ví dụ 2.43 Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3 Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật

0,2 0,3 0,20,4 0,1 0,20,1 0,3 0,2

a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A

b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành

Giải

a) Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma trận hệ số kĩ thuật có nghĩa là để sản xuất 1

$ hàng hóa của mình, ngành 1 cần sử dụng 0,4$ hàng hóa của ngành 2

0,34 0,62 0,240,384

32 | P a g e

0,66 0,30 0,241

2.3.2 Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân

Xét mô hình cho dưới dạng

 Y là tổng thu nhập quốc dân

 C là tiêu dùng của dân cư

 T là thuế

 I0 là mức đầu tư cố định theo kế hoạch

 G0 là mức chi tiêu cố định của chính phủ

Biến đổi (1) ta có hệ phương trình ba ẩn

Giải hệ (2) ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng

Ví dụ 2.44 Cho tổng thu nhập quốc dân Y, mức tiêu dùng C và mức thuế T xác định bởi

trong đó I o 500 là mức đầu tư cố định; G o 20 là mức chi tiêu cố định

Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng

2.3.3 Mô hình cân bằng thị trường hàng hóa và tiền tệ (mô hình IS – LM)

Mô hình IS-LM được dùng để phân tích trạng thái cân bằng thị trường của nền kinh tế trong cả hai thị trường: thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ

Khi có mặt thị trường tiền tệ, mức đầu tư I phụ thuộc vào lãi suất r Giả sử