tất cả các phần tử đều bằng 0ký hiệu 0 hay 0mxn

Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau.4. Ma trận bằng nhau.[r]

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN Một ma trận A cấp

mxn là một bảng số hình chữ nhật gồm mxn phần tử, gồm m hàng và n cột

n n

A

        







n n

hay A







ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN

Ký hiệu ma trận:

Ví dụ:

Đây là ma trận thực cấp 3x4 Gồm có 3 hàng và 4 cột

Các phần tử

ijm n

A        a 

A



      

MA TRẬN VUÔNG Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n

Đường chéo chính gồm các phần tử:

ij

n n

n n



           









11, , ,22 nn

MA TRẬN KHÔNG

Tất cả các phần tử đều bằng 0

Ký hiệu: 0 hay 0mxn

m n 

         





   



MA TRẬN HÀNG, CỘT

Ma trận hàng: chỉ có một hàng

Ma trận cột: chỉ có một cột

1 2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN

Ma trận vuông

Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0

1 2 3 4





            

0

ij

MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI

Ma trận vuông Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0

1 0 0 0





            

0

ij

MA TRẬN CHÉO

Ma trận vuông

Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0

Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0

1 0 0 0

a





0

ij

MA TRẬN ĐƠN VỊ

Ma trận chéo Các phần tử chéo đều bằng 1

Ký hiệu: Inlà ma trận đơn vị cấp n

1 0 0 0

1 0 0

0 0 0 1





MA TRẬN BẬC THANG

Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tử bên trái gọi

là phần tử cơ sở của hàng đó

Ma trận bậc thang:

 Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng.

 Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so

với phần tử cơ sở của hàng trên.

VÍ DỤ 1

A

B

        



Không là bậc thang

Không là bậc thang

VÍ DỤ 2

C

D

          



bậc thang

bậc thang

MA TRẬN CHUYỂN VỊ

MA TRẬN ĐỐI XỨNG – PHẢN ĐỐI XỨNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP

1 Đổi chỗ hai hàng với nhau

2 Thay một hàng bởi hàng đó nhân với một số khác 0

3 Thay một hàng bởi hàng đó cộng với hàng khác nhân với một số

4 Tổng hợp:

Tương tự ta có các phép bđsc trên cột

h  h

h  k h k 

.

h  h   h  

h  k h   h

VÍ DỤ 3

Thực hiện phép biến đổi ma trận:

Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương hàng với ma trận A

Ký hiệu: A’ ~ A

2 2 1

3 3 1

3 3 9 2

8

1 2 3 4

2 3 0 1

A

A



 

 







    

ĐƯA MA TRẬN VỀ DẠNG BẬC THANG

Định lý Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng

Chú ý Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau

VÍ DỤ 4 VÍ DỤ 4

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN

1 Ma trận bằng nhau

2 Cộng hai ma trận cùng cấp

3 Nhân một số với ma trận

4 Nhân hai ma trận

5 Lũy thừa của một ma trận

HAI MA TRẬN BẰNG NHAU

Hai ma trận bằng nhau nếu các phần tử tương ứng bằng nhau

4 5 2 1 4 5

a d

c

      

           

  

 



   

 



CỘNG HAI MA TRẬN

Cộng các phần tử tương ứng với nhau

Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

4 5

2 1

      

           

    



       



CỘNG HAI MA TRẬN

Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

A B





NHÂN MỘT SỐ VỚI MA TRẬN

Nhân một số với ma trận ta lấy số đó nhân vào tất cả các

phần tử của ma trận

Ví dụ

a





TÍNH CHẤT

PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN

Cho 2 ma trận:

Khi này ma trận A nhân được với ma trận B

Điều kiện: số cột ma trận trước bằng số dòng ma trận

sau

;

.

VÍ DỤ 5

Các ma trận nào nhân được với nhau?

            

   

               



QUI TẮC NHÂN

Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của

ma trận đầu nhân với cột jcủa ma trận sau

Ví dụ Muốn tìm phần tử c23 ta lấy hàng 2 của A nhận với

cột 3 của B (giống nhân tích vô hướng các vecto)

 hang   cot

ij



VÍ DỤ 6

VÍ DỤ 7 TÍNH CHẤT

VÍ DỤ 11 HẠNG CỦA MA TRẬN

Định nghĩa Giả sử Amxntương đương hàng (cột) với ma trận bậc thang E Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng khác không của ma trận bậc thang

Ký hiệu: r(A) hay rank(A) r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E

Ma trận bậc thang của A:

A→ bđsc theo dòng… →A’ (có dạng bậc thang)

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp tìm hạng các ma trận sau

VÍ DỤ 14

Tìm hạng của ma trận

A

TÍNH CHẤT

   

 

) )

T

ij m n





 



VÍ DỤ 15 VÍ DỤ 16

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn

tại ma trận B sao cho: A.B=I=B.A

Khi đó B được gọi là nghịch đảo của ma trận A

Kí hiệu: B=A-1

CHÚ Ý

Chỉ ma trận vuông mới có thể khả nghịch

Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch

Có rất nhiều ma trận vuông không khả nghịch

Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến

Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến

SỰ TỒN TẠI MA TRẬN KHẢ NGHỊCH MA TRẬN SƠ CẤP

Ma trận thu được từ ma trận đơn vị I bằng đúng 1 phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp

Ví dụ

CHÚ Ý

Một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận A

đồng nghĩa với nhân bên trái A với ma trận sơ cấp tương

ứng

Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A

đồng nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương

ứng

VÍ DỤ 17

BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Ta có:

VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

VÍ DỤ 18 - TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO TÍNH CHẤT

Cho hai ma trận A, B đều khả nghịch Ta có:

 

 

   

1 1

1 1

)















VÍ DỤ 19

Tìm m để các ma trận sau khả nghịch

TỔNG HỢP

Ma trận là gì? Phân loại?

Các phép toán với ma trận?

Hạng của ma trận?

Ma trận khả nghịch?

BÀI 5 BÀI 6

ĐỊNH THỨC

Cho ma trận A vuơng, cấp n

Định thức của ma trận A, ký hiệu:

Đây là một số thực, được xác định như sau:

 

det A hay A

 

11 22 21 12

21 22 2 2

det









ĐỊNH THỨC CẤP n≥3

Dùng phần bù đại số

Gọi Mijlà ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j

Phần bù đại số của phần tử aij ký hiệu và xác định như sau:

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

n n nn n n

A



ij 1i jdet ij 1i j ij

4 4

A



  



VÍ DỤ 1

Cho ma trận:

6 42 13



bỏ hàng 2 và cột 3

M23=???

A23=???

KHAI TRIỂN ĐỊNH THỨC

Định thức của ma trận vuơng cấp n:

Đây là khai triển theo dịng 1

Ta cĩ thể khai triển dịng bất kỳ hoặt cột bất kỳ

det A a A a A   a An n

1

j



n 1j 1j 2j 2j nj nj ij ij

detA = a A + a A + a A = a A

TỔNG QUÁT

   

 

 

11 1 1 11

11 12

11 22 21 12 11 11 12 12

21 22 2 2

11 12 13

21 22 23 11 11 12 12 13 13

31 32 33









VÍ DỤ 2

Tính định thức sau:

Khai triển theo dòng 1:

Khai triển theo dòng 2:

Khai triển theo cột 1, cột 2 cũng cho kết quả tương tự

5 7

2 8

A 



 1+1  1+2

detA=5 -1 8 +7 -1 2 =5.8-7.2=26

 2+1  2+2

detA=2 -1 7 +8 -1 5 =-2.7+8.5=26

A=ac bddetA= a d b c

VÍ DỤ 3

Tính định thức sau:

Khai triển theo dòng 1:

Khai triển theo cột 1

Nên chọn cột có nhiều số 0 để khai triển

A



 

1+15 7 1+20 7 1+30 5

detA=1 5.8-2.7 -2 0.8-0.7 +3 0.2-5.0 =26

21 31

5 7

detA=1 -1 2 8+0.A +0.A 1 5.8-2.7 =26

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC

Định thức của ma trận tam giác bằng tích các số trên đường chéo chính

Định thức của ma trận chéo?

TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG BIẾN ĐỔI SƠ CẤP VÍ DỤ 4

TÍNH ĐỊNH THỨC BẰNG BĐSC NGUYÊN TẮC TÍNH BẰNG BĐSC

1 Chọn 1 hàng (cột) tùy ý

2 Chọn một phần tử khác 0 của hàng (cột) Khử tất cả các phần tử khác bằng biến đổi sơ cấp

3 Khai triển theo hàng (cột) đã chọn

VÍ DỤ 6

Tính định thức ma trận sau:

1 2 3 4





    





QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3

Ta có quy tắc Sarrus



 11 2231 22 1333 3212 2323 1131 1333 21 1221 32

a a a a a a a a a

VÍ DỤ 7

Tính các định thức sau bằng quy tắc Sarrus

m

m



     

TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC

1 det(A)=det(AT)

2 det(AB)=det(A) det(B)

3 det(kA)=kndet(A)

4 Ma trận có 1 hàng hay 1 cột bằng không thì detA=0

5 Ma trận có hai hàng (hai cột) tỷ lệ nhau thì detA=0

6 Chú ý: det(A+B) ≠ detA + detB

7 Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi detA ≠ 0

8 Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức

TÍNH CHẤT TÁCH ĐỊNH THỨC

Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì

tách tổng 2 định thức

2

1

2

0 12 5



ĐỊNH THỨC VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN Định thức con của ma trận:

Cho A là ma trận cấp mxn Chọn các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận vuông cấp k Định thức của ma trận vuông cấp k này ta gọi là định thức con cấp k của A

Hỏi Có bao nhiêu định thức con cấp k trong 1 ma trận A cấp mxn

- Chọn k dòng

- Chọn k cột

VÍ DỤ 8

Cho ma trận A

Hãy lập các định thức con cấp 1; cấp 2; cấp 3?

Định thức con cấp mấy lớn nhất?



A

HẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa: Cho A là ma trận cấp m.n khác O Hạng của

ma trận A, kí hiệu rank(A) hay r(A) là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của ma trận A

Vậy hạng của A, rank(A)=r thỏa a) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A

b) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thì phải bằng 0

ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT

Cho ma trận A vuơng cấp n Ta cĩ:

Nếu ma trận A khả nghịch thì:

 

 

 

n



 i) khả nghịch

ii) khả nghịch

iii) khả nghịch

iv) không khả nghịch

1 1

) det det ) det A det n

PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH THỨC TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Cho A là ma trận khả nghịch Ta cĩ:

Với PAlà ma trận chứa các phần bù đại số của A

Ma trận PAgọi là ma trận phụ hợp của ma trận A

 1i jdet ij ij

1

1 2

1 det

n n

A A

T

A









VÍ DỤ 9

Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu cĩ

A



 

   

  det A ???

VÍ DỤ 9

Bước 1 Tính detA

Ta cĩ:

detA≠0 nên ma trận A khả nghịch

Ta tìm các phần bù đại số và lập ma trận phụ hợp PA

A

VÍ DỤ 9

Ta cĩ:

             

             

          

11 12 13

21 22 23

31 32 33

T A







VÍ DỤ 13

Ta cĩ:

T A

A

P

BÀI 1

Tính định thức của ma trận A nếu:

BÀI 2

BÀI 6 BÀI 7

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES

1 Nhập ma trận

Nhấn Mode 6 (Matrix)  Chọn 1( matA)  Chọn matrix

có số dòng và cột tương ứng cần tính toán

Nhập kết quả vào bằng phím =,

Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm ma trận B

bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix)  1 (Dim)  2 (MatB)

Lập lại tương tự cho MatC

Lưu ý: nên nhập qua Shift +4 +1 để đỡ bị lỗi

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES

2 Tính định thức Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4 (Matrix)  7 (Det)  Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  =

3 Tìm ma trận nghịch đảo Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA:

Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  x-1

(x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode)

4 Giải phương trình: AX = B Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA  x-1x

MatB để cho kết quả của X