- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Bài hình học nếu không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó.[r]
Trang 1Equation Chapter 1 Section 1SỞ
GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN
NĂM HỌC 2017-2018
ĐỀ MÔN TOÁN- CẤP THCS
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
—————————
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức
A
a) Rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A 2.
Câu 2 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình
2 4
mx y m
, với m là tham số a) Giải hệ phương trình với m 2
b) Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất x y0; 0 với mọi m và biểu thức B x 02y02 5x0y0 không phụ thuộc vào m.
Câu 3 (1,0 điểm) Cho phương trình x2 2mx m 2 m 3 0 (1) (x là ẩn, m là tham số) Tìm tất
cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Cx12x22 4x x1 2
Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn O R; , đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn
O R;
và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP R Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn O R; tại điểm M (M khác A)
a) Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp
b) Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm O cắt đường thẳng BM tại điểm N Chứng minh rằng tứ giác OBNP là hình bình hành
c) Đường thẳng PM và ON cắt nhau tại điểm I , đường thẳng PN và OM cắt nhau tại điểm J
Chứng minh rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của OP.
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương m n, sao cho 6m2n2 là một số chính phương
Câu 6 (1,0 điểm) Cho a b c d, , , là các số thực dương thỏa mãn
2
a b c d
Chứng minh rằng 2 1 2 1 2 1 2 1 3 8
Trang 2
Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh ……… Số báo danh ………
Trang 3SỞ GDĐT VĨNH PHÚC
(Đáp án gồm 04 trang)
KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN
NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN : CẤP THCS
Câu 1 (2,0 điểm) Xét biểu thức :
A
ĐK:
0
x
0,25
Đặt x a ta có :
2 2
A
2 2
2
0,25
a a
2 5
x A
x
0,25
1b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A 2. 1,00
Ta có
A
0,25
12 12
0
5 5
a a
a a
Với a12 x 12 x144 Vậy giá trị cần tìm là 0 x 25 hoặc x 144. 0,25
Câu 2 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình
2 4
mx y m
, với m là tham số
Với m 2 hệ trở thành
x y
x y
x y
x y
x y
Trang 4
8
5
x
x y y
y
0,25
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất ; 8 19;
5 5
x y
2b) Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất x y0; 0 với mọi
mvà biểu thức B x 02y02 5x0y0
Từ PT thứ hai của hệ ta có y3m 1 mx, thế vào PT thứ nhất ta được:
m21x3m2 3m2 * 0,25
Do
2
1 0
m với mọi m nên (*) có nghiệm duy nhất
2 2
1
x
m
Khi đó
2 2
1
m m
y
m
Vậy với mọi m hệ luôn có nghiệm
x y
0,25
Từ hệ ta có x my 2mx y 2 2 4 m23m12 m21 x2y225m210m5
2
2
1
x y
m
0,25
Mặt khác
2
1
x y
m
Suy ra
B
Câu 3 (1,0 điểm) Cho phương trình: x2 2mx m 2 m 3 0 1
, (x là ẩn, m là tham số )
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 1 có nghiệm Giả sử x x1 2, là hai nghiệm của phương trình Tìm các giá trị của m để biểu thức C x12x22 4x x1 2 đạt giá trị lớn nhất
Phương trình 1
Theo định lý Viét ta có x1x2 2 ; m x x1 2 m2 m3 0,25
C x x x x x x x x m m m m m 0,25
2
C m m m m m
Dấu đẳng thức xảy ra khi m 3 Vậy giá trị lớn nhất của C bằng 18 khi m 3
0,25
Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn O R;
, đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn O R;
và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP R Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn
O R;
tại điểm M (M khác A)
Trang 5a) Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp.
b) Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm O cắt đường thẳng BM tại điểm N Chứng minh rằng tứ giác OBNP là hình bình hành
c) Đường thẳng PM và ON tại điểm I , đường thẳng PN và OM cắt nhau tại điểm J Chứng minh
rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của OP.
4a) Chứng minh rằng tứ giác APMO là tứ giác nội tiếp 1,0
4b)… Chứng minh rằng tứ giác OBNP là hình bình hành 1.0
Ta có
2
ABM AOM
Mà OP là phân giác của góc
2
Ta có hai tam giác AOP, OBN bằng nhau (gcg) Suy ra OP = BN (2) 0,25
4c)… Chứng minh rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của OP. 1,0
Gọi K là giao điểm của OP và AN Do PN AO|| , suy ra AONP là hình chữ nhật, suy ra K là trung
Do PM OJ và ON PJ nên I là trực tâm tam giác OPJ Suy ra IJ OP (3) 0,25
Ta có APO POI (sole) và APO OPI , suy ra OPI POI Do đó tam giác IPO cân tại I. 0,25
Mà K là trung điểm của OP nên IKOP (4) Từ (3) và (4) suy ra I J K, , thẳng hàng 0,25
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương m n,
sao cho 6m2n2 là một số chính phương
Trang 6 1 1
6m2n 2 2 3m2m 2n 1
là một số chính phương thì 3m2m12n11 phải là một số chẵn Vậy trong hai số 3m2m1 và 2n1 có một số chẵn và một số lẻ
0,25
TH1: Nếu 3m2m1 là số lẻ thì m 1, khi đó 6m2n 2 8 2 n
Ta thấy ngay n1,n2 không thỏa mãn và n 3 thỏa mãn
Xét n 4, ta có 8 2 n 4 2 n 22 2n 22
là số chính phương
Một số chính phương khi chia cho 4 có số dư là 0 hoặc 1 mà 2n22 chia 4 dư 2 nên không là
số chính phương Do đó cặp m n , 1;3 là một nghiệm của bài toán.
0,25
TH2: Nếu 2n1 là số lẻ thì n 1, khi đó 6m2n 2 6m4. Ta có
6m 4 1 m 4 3
hoặc 5 (mod 7)
0,25
Mặt khác 7k2 0 mod 7 , 7 k12 1 mod 7 , 7 k22 4 mod 7 , 7 k32 2 mod 7 ,
Do đó 6m2n2 không thể là số chính phương Vậy m n , 1;3 là đáp số duy nhất cần tìm. 0,25
Câu 5 (1,0 điểm) Cho a b c d, , , là các số thực dương thỏa mãn :
2
a b c d Chứng minh rằng :
Ta có
2 2
2
1
2
a
a a
a a
a
Mà
2
2
Suy ra
2
a a
a
a
0,25
Ta có
2
a
a
a
2 cyc a
0,25
a
a
(do
1
a
, theo giả thiết)
0,25
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta được 1 1
a
a
, suy ra
1
a
a
0,25
Trang 7Do đó
2
cyc
a
(đpcm) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c d 1.
Lưu ý khi chấm bài:
- Hướng dẫn chấm (HDC) chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
- Bài hình học nếu không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.