Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α.. 2.[r]
Trang 1Đề 5:
( Biên soạn theo định hướng ra đề của Bộ GD&ĐT năm học 2008 – 2009)
Câu 1:
Cho hàm số y =
2
m
(m 1)(x 2x) m 4 (C )
mx m
1
4
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2
2 Tìm m, để hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu và giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu
Câu 2:
1 Giải bất phương trình:
15.2 1 2 1 2
2 Tìm m để phương trình: 4(log2 x)2 log0,5x m 0 có nghiệm thuộc (0, 1).
Câu 3:
1 Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0
(C2): x2 + y2 – 8x – 2y + 16 = 0
Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2)
2 Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng:
(d1) :
¿
x=t
y =4+t
z=6+2 t
¿{ {
¿
; và (d2) :
¿
x=t ' y=3 t ' − 6 z=t ' −1
¿{ {
¿ Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; -1; 1) trên (d2) Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1)
Câu 4:
1 Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α
2 Tính tích phân: I = ∫
1
√ 3
dx
x6(1+ x2)
Câu 5:
1 Tính tổng
S C 2C 3C 2010C
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =
cos x
sin2x(2cos x −sin x) với 0 < x 3
Câu 6: Giải phương trình
2
2
z
z z z
trên tập số phức
Trang 2
-Hết -HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: (2,0 điểm)
1) Khi m = 2, ta có:
2
* MXĐ: D = R\{-1}
*
2 /
2
y
(2x 2)
* Giới hạn và tiệm cận:
xlim y1 x 1
: tiệm cận đứng
x 3 y
2 2
: tiệm cận xiên
* Bảng biến thiên:
y
-
-5 CĐ
-
+
CT 1
+
* Đồ thị: hình trên
2).
/
2
y
(mx m)
2 /
2
(m 1)x 2(m 1)x 3m 2 y
m(x 1)
Hàm số có cực đại, cực tiểu y/ 0 có hai nghiệm phân biệt khác –1
2
/
m
Trong điều kiện đó, g(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 và
1 2
1 2
3m 2
x x
m 1
Gọi (x ; y ), (x ; y )1 2 2 2 là tọa độ 2 điểm cực trị.
tại điểm cực trị thì:
/
/ 2
/
u v u.v
m v
u
v
x
(C) 3 2 0 -1 -4
-5
3 2
3 y
1
Trang 31,2 1,2
2(m 1)
m
Hai giá trị cực trị cùng dấu y y1 2 0
2
2(m 1)(x 1).2(m 1)(x 1) 0 4(m 1) (x 1)(x 1) 0
(x 1)(x 1) 0
(do điều kiện (*) x x1 2 (x x ) 1 01 2
Kết hợp các điều kiện ta được:
1
4
Vậy, giá trị cần tìm:
1
4
Câu 2: (2,0 điểm)
1) Giải bất phương trình:
15.2 1 2 1 2
(1)
* Đặt: t 2 ; x điều kiện: t > 0 Khi đĩ (1) 30t 1 t 1 2t (2)
TH1: t 1
2 (2) 30t 1 3t 1 30t 1 9t 6t 1 1 t 4 (a)
TH2: 0 t 1
2 (2) 30t 1 t 1 30t 1 t 2t 1 0 t 1 (b)
* Kết hợp (a) và (b) ta được: 0 t 4 0 2 x 4 x 2.
* Vậy, bất phương trình cĩ nghiệm: x 2.
2) Tìm m để phương trình: 4(log2 x)2 log0,5x m 0
cĩ nghiệm thuộc (0, 1)
Ta cĩ :
2
4(log x) log x m 0 với x (0; 1) log x log x m 0; x (0; 1)22 2 (1)
Đặt: t log x 2
Vì: lim log xx 0 2
và lim logx 0x 1
, nên: với x (0;1) t ( ; 0)
Ta cĩ: (1) t2 t m 0, t 0 (2) m t2 t, t 0
Đặt:
2
y t t, t 0 : (P)
Xét hàm số: y f(t) t2 t, với t < 0 f (t)/ 2t 1
Từ bảng biến thiên ta suy ra:
(1) có nghiệm x (0; 1) (2) cĩ nghiệm
t < 0
(d) và (P) cĩ điểm chung, với hồnh độ t <
0
1 m
4
Vậy, giá trị m cần tìm:
1
4
Câu 3:
x
y (C1)
(C2) I2 A I1 1
x = 3 0
Trang 41) (C1): (x 1) 2 (y 1) 2 4 có tâm I (1; 1)1
bán kính R1 = 2
(C2): (x 4) 2(y 1) 2 1 có tâm I (4; 1)2
bán kính R2 = 1
Ta có: I I1 2 3 R1R2 (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)
(C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy
* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: ( ) : y ax b ( ) :ax y b 0 ta có:
2 2
2 2
hay
* Vậy, có 3 phương trình tiếp tuyến chung:
2) (d1) có vectơ chỉ phương u1 (1; 1; 2); (d2) có vectơ chỉ phương u2 (1; 3; 1)
2
K (d ) K(t ; 3t 6; t 1) IK (t 1; 3t 5; t 2)
Giả sử (d ) cắt (d1) tại H(t; 4 t; 6 2t), (H (d )) 1
Vậy, phương trình tham số của đường thẳng (d ):
18
11 12
11 7
11
Câu 4:
1) Cách 1:
* Dựng SH AB
* Ta có: (SAB) (ABC), (SAB) (ABC) AB, SH (SAB)
SH (ABC)
và SH là đường cao của hình chóp
* Dựng HN BC, HP AC
S
H
P
C A
B
N
x = 3
Trang 5
* SHN = SHP HN = HP
* AHP vuông có:
o a 3
4
* SHP vuông có:
a 3
4
* Thể tích hình chóp
ABC
Cách 2:
* Dựng SH AB
* Ta có: (SAB) (ABC), (SAB) (ABC) B, SH (SAB) SH (ABC)
* Vì (SAC) và (SBC) cùng tạo với (ABC) một góc và ABC đều, nên suy ra H là trung điểm
AB
* Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz
đôi một vuông góc, H(0; 0; 0),
A ; 0; 0 ; B ; 0; 0 ;C 0; ; 0 , S(0; 0; h), (h 0)
* Phương trình mp (ABC):
z = 0, với pháp vectơ n1 (0; 0;1)
* Phương trình mp (SAC):
aa 3 h
(SAC) : 2h 3x 2hy a 3z ah 3 0
* (SAC) tạo với (ABC) một góc :
cos
2
2 2
* Thể tích hình chóp S.ABC:
ABC
2) Tính
3
1
dx I
x (1 x )
∫
Đổi cận: x = 1 t = 1; x = 3 t = 3
3
3
4 2
3
3
z
h S
B
C A
x
H
a 2
y A
Trang 6 Đặt: t tg u 2 dt (1 tg u)du 2 Đổi cận: t = 1 u = 6
; t =
3
3 u = 4
3
6 3
12
Vậy:
117 41 3 I
Câu 5:
C02009x C 12009x2 C22009x3 C 2009 20102009x
* Ta cĩ: f (x) C/ 020092C12009x 3C 22009x2 2010C 2009 20092009x
f (1) C/ 20090 2C120093C22009 2010C 20092009 (a)
* Mặt khác: f (x) (1 x)/ 20092009(1 x) 2008x (1 x) 2008(2010 x)
f (1) 2011.2/ 2008(b)
* Từ (a) và (b) suy ra: S 2011.2 2008
2) Với 0 x
3
thì 0 tg 3 và sinx 0,cosx 0, 2cosx sinx 0
3
2
cosx
cos x y
sin x 2cosx sinx. tg x(2 tgx) 2tg x tg x
cosx cos x
Đặt: t tgx; 0 t 3
2
2 3
1 t
2t t
Bảng biến thiên:
f(t)
+
6 3 3
Từ bảng biến thiên, ta có: min f(t) 2 t 1 x
4
Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
0;
3 miny 2 khi x / 4
Câu 6: Giải phương trình
2
2
z
z z z
trên tập số phức
Trang 7* Biến đổi:
2 2
z
Đặt ẩn số phụ: t =
1
z z
* Đưa về phương trình:
0
* Đáp số có 4 nghiệm z : 1+i; 1- i ;
;
-Hết -