* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan.. * Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm.. Đối v
Trang 1SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: Toán - Vòng I
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 26 tháng 10 năm 2010)
SỐ BÁO DANH: Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(2.0 điểm)
Giải phương trình: x33x2 4x 2 (3x2) 3x1
Câu 2:(2.5 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 3 3
2
x
y x trên khoảng (0; )
b) Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng:
a33 b33 c33 a b c
Câu 3:(2.0 điểm)
Cho dãy số {u } xác định như sau: n
1
2
1
1
2010
n
u
u
Tính 1 2
n
Câu 4:(2.0 điểm)
Cho hình vuông ABCD Trên đoạn BD lấy điểm M không trùng với B, D Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh AB, AD Chứng minh rằng: a) CM vuông góc EF
b) Ba đường thẳng CM, BF, DE đồng quy
Câu 5:(1.5 điểm)
Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của k để phương trình :
x2 y2 x y kxy
có nghiệm nguyên dương
-HẾT -* Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
* Giám thị không giải thích gì thêm.
Trang 2SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: Toán - Vòng I (Khóa ngày 26 tháng 10 năm 2010)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
yªu cÇu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập
luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải
sau có liên quan.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần là
0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng
bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.
1
3
x
Ta có:
3 3
Xét hàm số : f t( ) t3 t có f t'( ) 3 t2 1 0, t nên f đồng biến
trên
1
x
x
Kết hợp điều kiện nghiệm của phương trình đã cho là: x = 0; x = 1
2 điểm
0,25
0,5 0,5
0,5
0,25
2
a) Ta có:
2
3
0
2 2
x x
x
BBT của hàm số đã cho trên khoảng (0; ) là:
2,5 điểm
0,5
Trang 3x 0 1
y' - 0 +
y 0
1
2 Dựa vào BBT ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên (0 ; ) là 1 2 , đạt được khi x = 1 b) Từ kết quả câu a) ta có: 3 3 1 , 0 2 2 x y x x Do đó với a, b, c dương ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 2 3 1 1 3 2 2 2 3 1 2 2 a a b b b b a b c a b c a b c c c b c a b c a b c a c c a a Mặt khác áp dụng BĐT Côsi ta có: a b c 33 a b c 3 b c a b c a
b c a
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
3
Ta có:
2
1
2010
với k *
Ta thấy:
2
*
1,
n u
2 điểm
0,25 0,25
Trang 4chặn dưới Giả sử {u } bị chặn trên, khi đó tồn tại giới hạn hữu hạn n
limu = a < n
Ta có:
1
n
Điều này vô lý vì u n 1, n * thì limu = a n 1
Vậy {u } không bị chặn trên hay lim n u = n
1
0,5
0,5
0,5
4
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Khi đó ta có:
A(0;0), B(a;0), C(a;a), D(0;a)
Với a = AB = AD = CD = BC (a > 0)
a)
Đặt: b = AE (0 < b < a)
Ta có: M(b ; a - b); E(b ; 0); F(0; a - b)
Do đó:
CM b a b
EF b a b
CM .EF = - b(b - a) - b(a - b) = 0
CM EF
b)
Gọi G là giao điểm của DE và BF thì tọa độ của G là nghiệm của hệ:
2
2
ab x
y
2 điểm
0,5
0,25 0,25 0,25
0,25
A
B
C D
M
E
F
G
x y
Trang 52 2
;
G
;
CG
(*)
Ta có CM = (b - a; - b) (**)
Từ (* )(**) ta được
2
a
G, C, M thẳng hàng
Hay ba đường thẳng BF, DE, CM đồng quy
0,25
0,25
5
Giả sử k là 1 số nguyên dương sao cho phương trình:
2 2
x y x y kxy (1) có nghiệm nguyên dương Khi đó tồn tại nghiệm
nguyên dương x y của (1) sao cho 0; 0 x0 y0 nhỏ nhất Không mất tính
tổng quát giả sử : x0 y0
Xét phương trình bậc hai: x2 (ky0 1)x y 02 y0 0 (2)
Theo giả sử trên thì x là một nghiệm của (2) Theo Viet thì:0
2
0 0
0
x
cũng là một nghiệm của (2) Ta có x y nguyên dương nên 0; 0 x nguyên1
dương Do đó x y cũng là 1 nghiệm nguyên dương của (1).1; 0
Vì x0 y0 nhỏ nhất nên
2
0 0
0
x
0
2
x
4
k k
k
Thử lại: k = 3 phương trình (1) có nghiệm (2 ; 2)
k = 4 phương trình (1) có nghiêm (1 ; 1)
Vậy: k = 3, k = 4 là các giá trị cần tìm
1,5 điểm
0,25
0,5
0,5
0,25
Trang 6SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: Toán - Vòng II
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 26 tháng 10 năm 2010)
SỐ BÁO DANH: Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(2.5 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
1
x
Câu 2:(2.0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số f: R* R* thỏa mãn:
2
ii) f xy( ) f x f( ) 2010 f y f( ) 2010
Câu 3:(2.0 điểm)
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
2 2 2 125
64
Câu 4:(2.5 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, góc giữa mỗi mặt bên và mặt đáy bằng Mặt phẳng (P) xác định bởi đường thẳng AB và đường phân giác của góc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy (góc này có đỉnh ở trên AB) cắt hình chóp theo một thiết diện chia hình chóp thành hai phần Tính thể tích mỗi phần đó theo a và
Câu 5:(1.0 điểm)
Trong một hội nghị có các nhà toán học nam và các nhà toán học nữ Biết rằng:
i) Mỗi nhà toán học nam quen đúng 10 nhà toán học nữ
ii) Hai nhà toán học nữ bất kì cùng quen đúng 6 nhà toán học nam
Hãy tính số nhà toán học nam biết trong hội nghị có 21 nhà toán học nữ?
-HẾT -* Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
* Giám thị không giải thích gì thêm.
Trang 7SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: Toán - Vòng II (Khóa ngày 26 tháng 10 năm 2010)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
yªu cÇu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập
luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải
sau có liên quan Ở câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần là
0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng
bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.
1
2 2
1
2 2 (1)
x
ĐK: x > 0; y0.
Ta cã:
TH1: y x < 0 Từ (2) suy ra y > 0 ( vô lí)
TH2: y2x Thay vào (2), ta có:
2x x 1 1 3x 3 2x 3 x 1 2x (2)
2
x không phải là nghiệm của (2)
x x
x
x
x
2,5 điểm
0,25
0,5 0,25
0,25
0,25
Trang 8x 0 32 +
f’(x) + +
+ +
f(x) 1 -
Ta có: f x ( ) 0 có một nghiệm x 3 nên đó là nghiệm duy nhất
Vậy hệ phương trình có nghiệm 3;2 3
0,25
0,5
0,25
2
+ y 1: ( )f x f x f( ) (2010) f(1)f 2010 f x( ) f 2010
+ y 2010: (2010)f f x f x( ) ( ) f 2010 f 2010 2 f x( )2
2
f x thỏa mãn điều kiện bài toán.
2,0 điểm
0,5 0,5
0,5
0,5
3
Giả sử C = min{A, B, C}
Ta có 0 600 cos 1;1
2
2
1
4
1
4
2,0 điểm
0,25
0,5
Trang 9 2 2
2
2
2
Do đó f(x) đồng biến trên 1;1
2
4 f 2 64
60
A B C
hay tam giác ABC đều
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
4
Gọi O là tâm tam giác đều ABC, M là trung điểm AB
Mặt phẳng (P) tạo bởi AB và phân giác Mt của góc SMO, cắt hình chóp
theo thiết diện là tam giác cân ABN (N là giao điểm của tia phân giác Mt
và SC)
Ta có:
V = 1SO dt ABC ( )1MOtan (dt ABC)
2,5 điểm
0,5
0,5
B
S
N
H K
t
Trang 101 1 3 3 2 1 3
Gọi H và K là hình chiếu của S và C xuống Mt, ta có hai tam giác vuông
3cos
Suy ra tỉ thể tích của hai hình tứ diện được cắt ra bởi thiết diện ANB là:
3cos
SABN CABN
0,25
0,5 0,25
0,25 0,25
5
Gọi s là số bộ ba (A, B, C) ở đây A là nhà toán học nam, B và C là hai nhà
toán học nữ mà A quen Giả sử số nhà toán học nam trong hội nghị là k
Ta tính s bằng hai cách
Cách 1:
+ Chọn nhà toán học nam A: Có k cách chọn
+ Chọn hai nhà toán học nữ B, C trong số 10 nhà toán học nữ mà A quen:
Có C cách chọn102
Vậy s= k 2
10
C cách chọn bộ ba (A, B, C).
Cách 2:
+ Chọn hai nhà toán học nữ B và C: Có C cách chọn212
+ Chọn nhà toán học nam A quen B, C: Có 6 cách chọn
Vậy s= 6 2
21
C cách chọn bộ ba (A, B, C).
Suy ra:
2
10
6
C
Vậy có 28 nhà toán học nam trong hội nghị
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
