listening 11unit 12 tiếng anh 11 đặng quốc tú thư viện tư liệu giáo dục

sắc,Augustin-Louis vào Đại học Bách khoa lúc mới 16 tuổi.Khi đã trở thành kỹ sư quân sự,Cauchy làm việc ở pháo đài cảng Cherbourg thời nước Pháp bị phong tỏa.Tuy vậy,Cauchy vẫn dành th[r]

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TIỀN GIANG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN TIỀN GIANG

B Ấ

T Đ Ẳ N

G T H Ứ

C

- C Ự

C T R Ị

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: Thầy ĐỖ KIM SƠN NHÓM THỰC HIỆN:

Phạm Trung Vinh Nguyễn Phúc Nghiệp Vương Thiên Lộc

Nguyễn Lê Ngọc Thảo

LỚP 10 TOÁN KHÓA: 2009-2012

Chuyên đề

Tiền bạc ư ?

Rồi sẽ hết.

Sắc đẹp ư ?

Rồi sẽ phai … Chỉ có :

Tri thức đi vào khồi óc Tình cảm đi vào con tim

Sẽ còn

Sống mãi với thời gian.

(Trần Phương 1990)Cuộc sống của mỗi người liên tục là sự kiếm tìm và khẳng địng giá trị bản thân Mỗi vật có chỗ đứng trong thế giới luôn thay đổi này là nhờ giá trị của nó nhưng người ta không nhận ra rằng mọi vật chỉ có thể nhận giá trị trong quan hệ so sánh Chính quan hệ đó đã tạo ra các bất đẳng thức của cuộc sống

Vì thế tập thể nhóm chúng tôi kính gừi đến quí thầy cô và các bạn chuyên đề vế “Bất đẳng thức và cực trị của một biểu thức”, chúng tôi mong muốn nó sẽ là một người bạn thân

thiết của những người yêu Toán học

Trong quá trình soạn thảo, dù rất cố gắng, nhưng chắc chắn chuyên đề này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót nhất định và chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ quí thầy cô và các bạn

Các thành viên trong nhóm:

Phạm Trung Vinh - Nguyễn Phúc Nghiệp

Vương Thiên Lộc - Nguyễn Lê Ngọc Thảo

Lời nói đầu

Giới thiệu chung

Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông cũng như ở trung học cơ sở.Tuy thế nhưng thông qua những bài tập về chứng minh bất đẳng

thức,chúng ta có thể hiểu biết kĩ hơn và sâu sắc hơn vể việc giải và biện luận phương trình,bất phương trình,tìm cực trị của một biểu thức,…Và bất đẳng thức cũng là một nội dung thường gặp trong những đề thi học sinh giỏi

Trong quá trình giải bài tập,năng lực suy nghĩ,sáng tạo của người làm toán sẽ phát triển rất đa dạng và phong phú vì những bất đẳng thức thường không có một cách giải nhất định mà

nó đòi hỏi người làm toán phải có khả năng biến đổi tốt cũng như nắm vững những bất đẳng thứcthường gặp và những tính chất cơ bản để kết hợp một cách logic và có hệ thống

Và để tìm hiểu sâu hơn cũng như cung cấp thêm tư liệu cho những người đam mê vấn đề này,nhóm chúng tôi đã tổng hợp và hệ thống lại một cách tương đối những phương pháp chứng minh cũng như những dạng toán thường gặp trong Chuyên đề “Bất đẳng thức-Cực trị của một biểu thức” mong sẽ giúp ích cho việc giải toán

Dù cố gắng nhiều trong biên soạn,nhưng chắc chắn không tránh khỏi những sai sót.Rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ bạn đọc

DANH MỤC CỦA CHUYÊN ĐỀ:

A Giới thiệu lịch sử của một số nhà toán học

B Bất đẳng thức đại số

C Hệ số điểm rơi

D Cực trị của một biểu thức đại số

E Bài tập tổng hợp

A GIỚI THIỆU LỊCH SỬ CỦA MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC: (Trở về đầu)

Augustin - Louis CAUCHY

Paris 1789 - Sceaux 1857 Tình hình chính trị của nước Pháp cuối thế kỷ XVIII ( gần Cách mạng dân chủ tư sản Pháp 1789 ) khá phức tạp, gia đình Cauchy muốn yên thân nên dời đến Arcueil ( ngoại ô,phía Nam Paris ) và chính nhờ đó mà cậu bé Augustin-Louis mới có dịp được gặp hai nhà Khoa học nổi tiếng thời bấy giờ là Laplace ( Toán ) và Berthollet ( Hoá ).Là một học sinh xuất

sắc,Augustin-Louis vào Đại học Bách khoa lúc mới 16 tuổi.Khi đã trở thành kỹ sư quân

sự,Cauchy làm việc ở pháo đài cảng Cherbourg thời nước Pháp bị phong tỏa.Tuy vậy,Cauchy vẫn dành thì giờ nghiên cứu Toán.Ông vẫn trao đổi với Lagrange về vấn đề hình đa diện ( số cạnh, số mặt, số đỉnh ).Khi Cauchy trở về Paris,Lagrange khuyên ông nên đi hẳn về Toán.Năm

1816 ông được bổ nhiệm làm Giáo sư trường Đại học Khoa học Paris, trường Đại học Bách khoa

và Collège de France ( Học viện cao cấp của nước Pháp ).Cùng năm ấy ông được cử vào Viện hàn lâm Khoa học Pháp thay cho Monge bị thôi việc vì lý do chính trị.Thời bấy giờ có sự biến động trong cung đình vua chúa nước Pháp.Có sự tranh giành ngôi thứ.Dòng chính Bourbons bị phế và Dòng Orléans lên thay,vua Louis-Philippe không được xem là chính thống nên bị những người theo phái chính thống không phục.Cauchy là môn đồ trung thành của phái chính thống nên

bị bắt buộc phải trung thành với vua Louis-Philippe vừa lên ngôi.Trường Đại học Turin của Ý nhân dịp này mời ông đảm nhiệm chức Chủ nhiệm Bộ môn Vật lý - Toán của trường ( là bộ mônlập nên cho riêng Cauchy dạy ).Nhưng ông nhậm chức không lâu.Năm 1833 ông từ biệt nó để sang Prague ( Tiệp ) gặp Bá tước Chambord,cũng là một môn đồ của phái chính thống bị lưu đày

ở đó.Ông giúp Bá tước chăm lo việc giáo dục.Năm 1838 ông được phục hồi chức Giáo sư trườngĐại học Bách khoa và ông dạy ở đó cho đến khi mất.Bạn bè thường phật ý vì ông quá bên vực cho ý tưởng chính thông của ông.Công trình nghiên cứu của Cauchy thật đồ sộ,nhất là về Giải tích.Chính ông là một trong những người góp phần quan trọng làm cho môn Giải tích Toán học

có bộ mặt đẹp đẽ như ngày nay.Nhưng thực ra trong các lĩnh vực của Toán học, gần như ở đâu cũng có sự đóng góp quan trọng của ông,đặc biệt là Hàm chỉnh hình,Phương trình vi phân,Lý

thuyết nhóm và Đại số tuyến tính.Về Vật lý, ông đặt cơ sở Toán học cho Lý thuyết đàn hồi và ông có công trình đang còn ở dạng mới phác thảo, chưa chắc chắn.Do Ruffini và Lagrange gợi ý.Nên năm 1815,trong một công trình quan trọng của ông về các nhóm thế ( groupes de

substitutions ) ông chứng minh rằng chỉ số của một nhóm con của nhóm đối xứng ζn là 1 hoặc 2,hoặc bằng số nguyên tố lớn nhất bé hơn hay bằng n.Năm 1846,ông trở lại Lý thuyết phương trình mà những kết quả của Galois chưa được biết đến.Ông chứng minh rằng mọi nhóm con của phép thế mà chỉ số chia hết cho một số nguyên tố p chứa ít nhất một nhóm con bậc p.Ông còn đưa ra một định nghĩa của trường các số phức bằng các lớp tương đương của các đa thức có hệ

số thực modulo X2 + 1

Cauchy là người đầu tiên đưa ra Lý thuyết về Định thức một cách có hệ thống và khá hiện đại Ông cải tiến phương pháp của Laplace về phép tính các định thức Ông cũng quan tâm đến việc giản ước các dạng toàn phương 3 biến ( 1826 ) và chứng tỏ rằng phương trình đặc trưng (ngày nay ta gọi là đa thức đặc trưng) phối hợp là bất biến qua phép thay đổi cơ sở trực chuẩn ( base orthonormale ) và chứng tỏ rằng mọi định thức thực đối xứng có nghiệm đặc trưng thực.Năm 1826,Cauchy đưa ra định nghĩa định thức đồng dạng và chứng tỏ rằng chúng có cùng nghiệm đặc trưng.Ông cũng có công trình về chùm dạng toàn phương.Nhưng cuối cùng thì ở lĩnhvực Giải tích Toán học ông vẫn nổi tiếng hơn cả.Luôn luôn quan tâm đến vấn đề chặt chẽ hóa trong môn học này,ông đưa ra khái niệm chính xác về liên tục và tích phân.Mặc dù ông luôn tìm cách chính xác hóa khái niệm hội tụ nhưng ông vẫn chưa để ý đến khái niệm liên tục và hội tụ đều.Phải chờ đến Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ( 1815 – 1897 ) với việc xây dựng trường

số thực thành công tốt đẹp thì Giải tích Toán học mới được công nhận là hoàn toàn chặt chẽ được

Giữa những năm 1820 - 1830,Cauchy nghiên cứu Phương trình vi phân.Ông là người đầutiên chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm.Để làm việc này ông dùng hai phương pháp: phương pháp xấp xỉ liên tiếp (cách này cần đến tính hội tụ) và phương pháp hàm tăng (majorant) Bằng cách đặt z = x + ij ông nghiên cứu cách tính tích phân của hàm phức,biến phức.Ôngdùng một đường nối hai cực và chứng tỏ rằng kết quả không phụ thuộc vào cách chọn đường ( 1825 ).Ông để ý đến trường hợp hàm gián đoạn,đặc biệt là hàm có một cực, và điều này đưa ông tới kết quả là chứng minh được định lý về thặng dư ( théorème de résidus ).Năm

1846,Cauchy chứng minh lại sự không phụ thuộc vào con đường chọn khi tính tích phân, nhưng lần này ông dùng công thức mà bây giờ ta gọi là công thức Cauchy - Riemann

Công trình của Cauchy rất cơ bản và phong phú đến nỗi muốn xuất bản toàn bộ phải dùngđến 27 tập lớn.Nói cơ bản là vì những vấn đề ông nghiên cứu đều là những vấn đề được xem là những điểm xuất phát quan trọng.Chẳng những về Giải tích,Đại số là sở trường chính của

ông,mà còn về Vật lý nữa Cơ sở Toán học trong Lý thuyết đàn hồi các vật rắn dùng để nghiên cứu sức bền vật liệu đã được giới Vật lý và Toán học đánh giá cao.Ông còn được giải thưởng về công trình truyền sóng trên chất lỏng.Ông còn phát minh cách tính mới về chuyển động của các hành tinh.Vì vậy các nhà Khoa học thuộc thế hệ sau đã suy tôn ông là vạch nối giữa Toán học ở cuối thế kỷ XVIII (còn pha lẫn thực tế của Vật lý) và nửa sau của thế kỷ XIX là giai đoạn mà người ta muốn xây dựng một nền Toán học tự thân nó,chặt chẽ và chính xác.Ông là nhà bác học

đã chứng minh hùng hồn rằng sức mạnh của Toán học là không có giới hạn để nghiên cứu thiên nhiên.

Hermann MINSKOWSKIKaunas (Lituanie) 1864 - Gottingen 1909Ông có nguồn gốc Do Thái, nên từ nhỏ tuy ông sinh trưởng ở Nga,nhưng về sau bố mẹ ông đành di cư sang Konigsberg để tiện việc học hành cho con cái vì thời ấy chế độ Nga hoàng cấm không cho phép người có nguồn gốc Do Thái được học hành tử tế.Nhưng anh em nhà Minskowski học rất giỏi.Oskar theo ngành Y,rất nổi tiếng, đã tìm ra được mối liên quan giữa tụy tạng,…Còn Hermann học ở Đại học Konigsberg,nhưng về sau Hermann tốt nghiệp ở Đại học Berlin.Sau khi ra trường Hemann Minskowski dạy ở Đại học Bonn từ 1893,năm sau về dạy ở Đại học Konigsberg rồi từ 1896 ông dạy ở Đại học bách khoa Zurich,lúc đó Albert Einstein là học trò ông.Từ năm 1902,Đại học Gottingen mở một bộ môn mới do ông lãnh đạo và ông làm việc ở đó cho đến khi ông qua đời.Minskowski rất yêu Lý thuyết số.Từ năm 18 tuổi ông đã cùng J.B.Smith được vinh dự nhận Giải thưởng lớn của Viện hàn lâm Khoa học Pháp về một công trình nghiên cứu Toán học nổi tiếng:phân tích một số nguyên thành tổng của 5 chính

phương.Chính ông là người đã sáng lập ra ngành Hình học về các Số.Ông còn quan tâm đến Vật lý-Toán.Người học trò cũ của ông ngày xưa về sau rất nổi tiếng là Albert Einstein,năm 1905 đã đưa ra Thuyết tương đối theo nghĩa hẹp,thời bấy giờ còn nhiều người chưa hiểu nổi, thì

Minskowski đã đưa ra một không gian 4 chiều (ngày nay ta gọi là không gian Minskowski) để lýgiải bằng Hình học ý nghĩa của phát minh rất xuất sắc của học trò mình.Vì thế tên tuổi của Minskowski được gắn liền với khái niệm không gian-thời gian

Leonardo FIBONACCI

Pise 1180 - 1250 (gần đúng) Fibonacci - có nghĩa là con của Bonaccio - có tên thật là Leonardo Da Pisa (có nghĩa là Léonard ở thành Pise) là con trai của một nhà buôn ở Toscane (Ý) về sau di cư sang thành phố Bejaia thuộc Algérie ngày nay Cha ông muốn ông theo nghề buôn bán của mình nên thường bảoLéonard phục dịch bên cạnh để học nghề và bắt ông đi theo trong những chuyến buôn bán sang

Ai Cập, Sicile, Hy Lạp và Syrie Có lẽ nhờ đó mà Léonard có dịp làm quen với môn Toán Ả Rập

và Hy Lạp Ông trở về quê hương năm 1200 Ông có ý định truyền bá tính ưu việt của lối tính toán của người Ả Rập mà ông cho là hơn hẳn người châu Âu lúc bấy giờ vì lúc này người Ả Rập

đã biết viết chữ số và viết các số theo vị trí Vì thế ông ra sức soạn quyển Liber abaci trong đó ông trình bày cách viết số theo vị trí, các phép tính cơ bản, cách khai căn bậc hai, bậc ba ; cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai Nhưng Fibonacci vẫn chưa biết dùng các nghiệm thực âm Trong tác phẩm này ông đưa ra rất nhiều bài toán để minh họa, có nhiều bài được lưu truyền đến tận ngày nay và mang tên ông Ông còn viết quyển Practica geometricae với những bài toán nổi tiếng từ thời cổ đại như cách chứng minh định lý Pythagoras, bài toán gấp đôi hình lập phương Nhiều bài trong tác phẩm đó được giải theo phương pháp đại số theo cách của Ả Rập.Fibonacci còn nghiên cứu phương trình bậc hai Nếu đem so với nhiều người cùng thời thì Fibonacci được suy tôn là nhà Toán học tài ba, nhưng cũng có lúc ông được đánh giá cao hơn thực tế Dù sao thì Fibonacci cũng là người có công trong việc truyền bá những tính ưu việt của Toán học Ả Rập vào châu Âu thời Phục hưng

Carl Friedrich GAUSS

Brunswick 1777 - Gottingen 1855

Là con trai của một người thợ thủ công người Đức, nhưng Carl Gauss từ bé cảm thấy gần gũi hơn với người mẹ thương yêu là bà Dorothea Benze và Gauss cho rằng mình thừa hưởng trí thông minh từ người mẹ đáng kính này Thiên tài của Gauss thể hiện từ lúc nhỏ Người ta nói rằng lúc mới lên 3 tuổi, Gauss đã biết cha mình tính toán sai, và ông đã từng nói đùa rằng: "Tôi học tính trước khi học nói" Một hôm, ông giáo trường làng bắt học trò làm phép tính cộng các

số từ 1,2,3, đến 100 Trong khi các bạn trong lớp loay hoay làm tính cộng thì chỉ mấy giây đồng hồ, cậu bé Carl đã có đáp số Thầy giáo ngạc nhiên, và cậu bé Carl giải thích 1 + 100 = 2 +

99 = 3 + 98 = = 50 + 51 nên kết quả là 50.101 = 5050, lúc này Carl mới 10 tuổi Chính vì là một đứa bé có thiên tư đặc biệt như vậy nên năm 15 tuổi đã nhận Quận công vùng Brunswick cho học bổng ăn học ở trường Trung học Collegium Carolinum là trường vừa mới mở dành cho những học sinh có năng khiếu đặc biệt Ba năm sau, Gauss được vào Đại học Gottingen, và bắt đầu nổi tiếng nhờ những sáng tạo Khoa học đầu tiên Năm 1798, Gauss trở về Brunswick và 3 năm sau (1801) ông cho ra đời tác phẩm Disquisitiones arithmetica

Những ngày đầu của thế kỷ XIX, các nhà Thiên văn đã phát hiện một hành tinh nhỏ, đặt tên là Ceres Hành tinh này ở giữa các quỹ đạo của Sao Hoả và Sao Mộc Nhưng sau đó thì các nhà Thiên Văn không tìm thấy Ceres nữa, dùng kính viễn vọng cũng vô ích.Gauss bèn dùng một phương pháp Toán học mới, dựa trên Lý thuyết các bình phương nhỏ nhất để xác định quỹ đạo của hành tinh nhỏ Ceres.Cuối năm 1801 người ta lại tìm thấy hành tinh nhỏ này đúng y chỗ mà Gauss đã tính toán, ta thấy Gauss tài giỏi biết là dường nào Bằng thành tích này Gauss đã mở ra một con đường mới trong tính toán Thiên văn: phương pháp tiếp cận bằng Toán học trong Thiên văn Tên tuổi ông bắt đầu vang dội Nhưng năm 1805 ông yêu đương mãnh liệt và bị một cú sốc

nặng vì thất tình Ông chán ghét nghề dạy học Ông nghĩ một cách sai lầm rằng ông không có gì

để học tập các nhà Toán học khác và cho rằng những công trình sáng tạo Toán học của ông như những ánh xạ bảo giác, độ cong của một mặt không đáng giá gì so với những sáng tạo, tìm tòi của ông về Thiên văn-Trắc địa, vì vậy ông nhận lời vội vàng làm Giám đốc đài Thiên văn

Gottingen năm 1807 Năm 1809, một tai hoạ giáng xuống gia đình ông: vợ ông, bà Johanna từ trần Lần cưới vợ thứ hai là một gánh nặng đối với ông, ông trở nên thô bạo với các con Quay vềvới Trắc địa, ông bỏ rơi Toán học, chú ý đến Thiên văn Nhưng ông đã có bạn tâm giao mới là Wilhelm Weber đã mời Gauss cùng nghiên cứu với mình đặt cơ sở cho Lý thuyết Từ học Nhưng

sự hợp tác khoa học này không lâu vì năm 1837 Weber đã từ chối phục vụ chế độ mới, thế là hai nhà Khoa học phải chia tay Tuy vậy Gauss cũng đạt được nhiều kết quả trong Vật lý như bài toán về mao dẫn, tinh thể học Tuy không trực tiếp giảng dạy nhiều ở Đại học, nhưng Gauss về cuối đời vẫn đào tạo nhiều nhà Toán học giỏi như Riemann và Dedekind

Ông được mệnh danh là Ông hoàng của Toán học (Vua Toán học) hay Hoàng tử Toán học Tuy nói ông "bỏ rơi" Toán học nhưng hậu thế vẫn tôn vinh ông là nhà Toán học lỗi lạc của thế kỷ, một trong những nhà Toán học vĩ đại của mọi thời đại, và ở ngành Toán học nào cũng có dấu ấn đậm của ông Người ta kể lại rằng năm Gauss 18-19 tuổi chuẩn bị vào Đại học, đang phânvân không biết chọn ngành Triết hay ngành Toán thì một sự kiện đã tạo nên bước ngoặc trong đời của nhà Toán học vĩ đại tương lai này: với 80 trang giấy nháp, Gauss đã giải quyết hết sức đẹp bài toán dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước và compass Từ thời cổ đại, bài toán này đã được đặt ra nhưng Gauss là người đầu tiên đã giải quyết đẹp, trọn vẹn Cơ sở lý luận của bài toánnày đã được Gauss trình bày trong Disquisitiones arithmetica Ông nghiên cứu biểu thức xp - 1

và p là một số nguyên tố Ông chứng tỏ rằng những nghiệm của biểu thức này được diễn tả từ một loạt phương trình có hệ số hữu tỷ mà bậc là những ước nguyên tố của p - 1 Điều này báo trước những kết quả của Galois,và Gauss đã chứng minh rằng một đa giác đều n cạnh dựng đượcnếu và chỉ nếu n = 2m.p1 pk trong đó m là một số nguyên tự nhiên và p1 pk là những số Fermat Vì vậy đa giác đều 257 cạnh hay đa giác dều 65537 cạnh đều dựng được bằng thước và compass

Đầu đề của Luận án mà Gauss bảo vệ năm 1799 là một chứng minh của định lý cơ bản của Đại số học: Mọi đa thức không phải là hằng, có hệ số thực, đều có thể thừa số hóa thành tích của những đa thức bậc 1 hoặc bậc 2 với hệ số thực (điều này có nghĩa là mọi đa thức không phải

là hằng với hệ số thực đều thừa nhận ít nhất một nghiệm trong trường số phức) Gauss cũng nhậnxét rằng những chứng minh của D'Alembert, Euler và Lagrange là chưa đầy đủ hoặc sai Trong chứng minh của mình năm 1799, Gauss đưa ra cách biểu diễn trong mặt phẳng các số phức và đềnghị một cách tiến hành dựa vào hình học Gauss đưa ra hai cách chứng minh mới của định lý cơbản của Đại số học, một vào năm 1816 và một cách cuối cùng vào năm 1850 Để nghiên cứu tínhchia hết, Gauss đưa ra khái niệm hợp thức (đồng dư thức - congruence) mà chúng ta đều đã biết:

ta nói các số nguyên b và c là hợp thức suất a (hay b và c đồng dư theo mod a) khi a chia hết cho (b - c), ta ký hiệu b ≡ c (mod a)

Ký hiệu “≡ “ là do Gauss đặt ra Ông còn tìm cách tổng quát hóa các quy tắc đại số áp dụng và đồng dư thức Ông cho ví dụ về điều kiện cần và đủ để giản ước hoặc chứng tỏ rằng xy

≡ 0 đưa đến x ≡ 0 hay y ≡ 0 Gauss còn giải phương trình ax + b ≡ 0 Ông còn cho nhận xét rằng

những tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu trong đẳng thức vẫn còn giá trị trong đồng dư thức Gauss còn tổng quát hoá luật về tính nghịch đảo toàn phương đã dược Legendre chứng minh, ngày nay ta gọi đó là những số nguyên Gauss.Ông còn dự đoán (conjecture) rằng các số nguyên

tố nhỏ hơn n là tương đương với n/ln n khi n → ∞ Từ thời Euclide đến Gauss, một vấn đề ám ảnh nhiều nhà Toán học là Tiên đề về đường thẳng song song có chứng minh được bằng 4 tiên

đề trước đó không ? Nhiều nhà Toán học trước Gauss như Saccheri (1667 - 1733), Lambert (1728 - 1777), Legendre (1752 - 1833) đã từng thử chứng minh nhưng không thành công Vậy phải chăng nó chính là Tiên đề (đời sau gọi nó là tiên đề 5 vì trước nó có 4 tiên đề khác) Năm

1810, Gauss thấy cần đặt lại câu hỏi: phải chăng nó không chứng minh được ? Gauss ngần ngại không dám công bố ý nghĩ đó và đành để vinh quang này cho Lobatchevski và Bolayi, những nhà Toán học phát minh ra Hình học Phi Euclide.Gauss thích quay về một cách tiếp cận mới của Hình học xem như áp dụng Giải tích và hình học, ngày nay ta gọi nó là Hình học vi phân

Newton và Leibniz đã từng nghiên cứu các đường cong nhờ phép tính vi phân mà hai ông vừa sáng tạo, Euler và Monge đã tổng quát đến không gian 3 chiều Nhưng phải đợi đến Gauss thì vấn đề nghiên cứu các đường cong, các mặt ở lân cận một điểm mới thật sự có hệ thống Gauss còn tổng quát hoá nghiên cứu của Huygens và Clairaut về độ cong của một đường cong phẳng hay ghềnh

Ông còn định nghĩa độ cong - ngày nay ta gọi là độ cong Gauss-của một mặt và cho một biểu thức của độ cong ấy bằng phương trình đạo hàm riêng Điều này đưa tới việc nghiên cứu Trắc địa Thiên tài của Gauss còn thể hiện ở những lĩnh vực khác như Lý thuyết số, Lý thuyết các mặt

Daniel BERNOULLI Gronigue 1700 - Bâle 1782

Ban đầu cha ông thích cho ông theo nghề buôn bán, nhưng ông chuyển hướng ngay theo con đường Khoa học Tuy sinh trưởng ở Gronigue nhưng từ 1705 ông chuyển đến Bâle Ông học ở Heidelberg và Strasbourg, nhưng lại tốt nghiệp ở Bâle năm 1721 Ông qua Venise từ năm 1723 đến 1725 và từ năm 1725 đến năm 1733 ông sang Saint-Petersbourg và trở thành Giáo sư Ngườianh cả của ông là Nicolas đã từng dạy ở đó và chính từ nơi đây đã nảy sinh những cuộc thảo luậnđược ghi lại trong Nghịch lý Saint-Petersbourg Năm 1734 ông được giải thưởng của Viện Hàn lâm Khoa học cùng với cha ông về công trình nghiên cứu quỹ đạo của các hành tinh Công trình nghiên cứu của ông thiên về Vật lý hơn là Toán học, ông đóng góp nhiều kết quả vào Thủy động học Năm 1738 ông phát biểu một nguyên lý mang tên ông - Định luật BERNOULLI trong Vật

lý mà ngày nay học sinh THPT đều đã biết Theo nguyên lý này thì sự tăng tốc độ của một chất lỏng làm giảm áp suất của nó

Tuy vậy, sự đóng góp của ông vào Toán học không nhỏ: ông nghiên cứu về hàm lượng giác (1772-1773), phân số liên tục (1775), phương trình vi phân thường và chính ông là người đầu tiên đặt nền móng cho phương trình đạo hàm riêng Ông còn đạt nhiều kết quả về xác suất vàứng dụng của nó vào Khoa học Nhân văn Có một điều lý thú là ông đã dùng Toán học để phát hiện mối quan hệ giữa sự tăng trưởng giàu có vật chất và sự tăng trưởng giàu có về tinh thần:

ông khẳng định rằng bằng phương trình, ông chứng tỏ được nếu sự tăng trưởng giàu có vật chất theo cấp số nhân thì sự tăng trưởng giàu có về tinh thần tương ứng chỉ tăng theo cấp số cộng mà thôi, điều này ảnh hưởng đến Lý thuyết của nhà Triết học Anh Jeremy BENTHAM về sự giàu có

và hạnh phúc Daniel BERNOULLI còn dùng xác suất để nghiên cứu tính hiệu quả của việc tiêmchủng trị bệnh đậu mùa Tài năng của ông không dừng lại ở đó Ông còn nghiên cứu về thủy triều, về dây rung, và lý thuyết động học các chất khí nữa

Một câu chuyện mà người đời sau rất thú vị truyền tụng mãi Một hôm ông đi chơi với một người mà ông nghĩ thầm là có hiểu biết nhưng xa lạ Người này hỏi ông cho biết quý danh Ông trả lời: Tôi là Daniel BERNOULLI Tưởng là chuyện đùa, người kia bèn nói: Vâng, còn tôi

là Isaac NEWTON Sau này Daniel BERNOULLI bảo rằng câu chuyện trên làm ông sung sướnghơn tất cả những vinh dự khác

Vì ông là một nhà Toán học toàn diện như vậy nên ông rất được Nga hoàng ưu ái, nhưng đáng tiếc ông không chịu được khí hậu lạnh buốt của mùa đông Nga nên ông trở về Thụy Sĩ dạy thêm Y học, Triết học và Sinh vật học Ông còn được mời làm Giáo sư Đại học Đức nữa Trong lịch sử Toán học thế giới thật hiếm thấy có một nhà Toán học nào như ông và gia đình ông

B BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ: (Trở về đầu)

I Một số tính chất cơ bản,đặc biệt và những điều cần biết về bất đẳng thức

II Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

a>b ⇔ a

c>

b

c ; c>0 a

b>1⇒ a

b>

a+c b+c a

a+b>

a a+b+c a

c d

Phép lập luận nhằm mục đích chứng minh một bất đẳng thức dạng A  B (hay A ≥ B,…)

là đúng,được gọi là phép chứng minh bất đẳng thức đó.Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

là rất đa dạng.Sau đây chỉ là một số phương pháp chủ yếu:

1 Phương pháp dùng định nghĩa bất đẳng thức,phương pháp ước giá(so sánh) :

Nghĩa là chứng minh A > B bằng cách chứng minh A – B > 0 (tương tự đối với bất đẳng thức A< B)

Phương pháp ước giá tức là làm tăng hay giảm giá trị của một biểu thức

2 Phương pháp biến đổi tương đương :

Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một bất đẳng thức đúng hoặc đã được chứng minh sau đó kết luận bất đẳng thức cần chứng minh là đúng

2 ≥(a+b2 )3

Lời giải

a3+b3

3 Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đúng đã biết (quen thuộc) :

Chẳng hạn,sử dụng các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối hay bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số mà SGK đã nêu.Ngoài ra còn nhiều bất đẳng thức cổ điển quan trọng khác mà sẽ được giới thiệu ở phần sau

Trong phương pháp hàm số đòi hỏi học sinh phải có một lượng kiến thức cơ bản về hàm

số và tính biến thiên của hàm số.Kèm theo đó là việc thuộc và sử dụng một cách thuần phục điềukiện có nghiệm của phương trình bậc hai và định lí Viete

H

C B

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

6 Phương pháp quy nạp toán học :

Đây là phương pháp chứng minh dựa vào nguyên lí quy nạp toán học.Bạn có thể tìm hiểuthêm phương pháp này trong một số sách tham khảo dành cho học sinh giỏi khác

7 Phương pháp phản chứng :

Chứng minh định lí P  Q bằng phương thức ¯Q ⇒ ¯P được gọi là chứng minh phản chứng

Ví dụ 8:Cho ba số a;b và c thuộc khoảng (0;1).CMR:Trong các bất đẳng thức sau có ít

abc (1− a)(1 −b)(1 −c )≤(14)3(2)

Ta thấy (1) mâu thuẫn với (2)  đpcm

Với phương pháp phản chứng,trong bài toán này ta có thể dễ dàng đưa về hai bất đẳng thức mâu thuẫn nhau để từ đó,kết luận điều ngược lại với giả sử của ta ở đầu bài rồi suy ra điều phải chứng minh

Nhận xét:

Phương pháp này thông thường chỉ sử dụng với việc chứng minh nhiều bất đẳng thức cùng lúc mà có dạng tổng quát giống nhau (cùng bé hoặc cùng lớn hơn một biểu thức).Tuy nhiên,trong một số trường hợp mà ta không thể sử dụng những phương pháp khác ta cũng có thể dùng tới phương pháp này vì với phương pháp này rất khó chỉ ra dấu “=”

8 Phương pháp áp dụng dấu của tam thức bậc hai :

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có  = b2 - 4ac

f(a) = a2 + 2a(b - 3c + d) + (b + c + d) - 8bd có:’= (b - 3c + d)2 + (b + c + d) - 8bd = 8(c - b)(c - d) < 0

Do đó f(a) vô nghiệm và luôn cùng dấu với (1)

Nên f(a) > 0aR

Với 3 điểm A,B,C ta luôn có:AB + AC ≥ BC nên:

√x2

+xy+ y2

+√x2+xz + y2≥√y2

+yz+ z2Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A,B,C thẳng hàng tức là:

Vậy dấu “=” xảy ra  y = z = -2x hoặc (y - z)(y + 2x) ≠ 0;x(y + z) = -yz

10 Phương pháp áp dụng bất đẳng thức trong tam giác :

Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:

Lời giải

Ta có:(a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac - bc) ≥ 0

12 Phương pháp dùng tính chất của tỉ số :

Ví dụ 13:Cho a,b,c,d > 0.CMR:1< a

b b+c +d+

c c+ d+ a+

d d+ a+b<2

a+b+ c>

a a+b +c +d (2)

Từ (1) và (2)⇒ a+b +c +d a < a

a+b+c<

a+d a+b+c+ d (3)

Chứng minh tương tự ta được b

a+b+ c+ d<

b b+c+ d<

b +a a+b+ c+ d (4)

c c+ d+ a+

d d+ a+b<2

13 Phương pháp đổi biến số :

Ở phương pháp này,ta sẽ đặt ẩn phụ để làm gọn bất đẳng thức cần chứng minh thành dạng đơn giản hơn

x+

x

z ≥2 z

III Một số bất đẳng thức hữu ích: (Trở về)

Bất đẳng thức Cauchy :Với n số không âm a1,a2,…,an,ta luôn luôn có:

n

√a1a2 a n ≤ a1+a2+ a n

n

Dấu “=” xảy ra  a1= a2 = … = an

Bất đẳng thức Bunyakovski:Với hai bộ n số (a1,a2,…,an);(b1,b2,…,bn),ta luôn luôn có:

(a1b1+a2b+ +a n b n)2≤(a1 2+a22+ +a n2)(b1 2+b22+ +an2)

32Dấu “=” xảy ra  a = b = c

Bất đẳng thức Minkowski:

√a2

+b2

+√c2+d2≥√(a+ c )2+( b+d )2

Dấu “=” xảy ra  khi ad=bc

Bất đẳng thức Schwartz:Cho a1,…,an và b1,…,bn với bi > 0;i = 1,2,…,n.Ta luôn có:

+b2≥ 2 ab.Dấu “=” xảy ra khi a = b

(a+b2 )2≥ ab ⇔ (a+b )2≥ 4 ab.Dấu “=” xảy ra khi a = b

IV Bài tập: (Trở về)

Gồm a) Bất đẳng thức Cauchy

b) Bất đẳng thức Bunyakovski c) Bài tập tổng hợp

(Ở đây chúng tôi chủ yếu xoáy mạnh về bất đẳng thức Cauchy và Bunyakovski vì đây là

Dấu “=” xảy ra  a1=a2=…an

Ví dụ 1:Cho hai số dương x,y sao cho x2 + y3 ≥ x3 + y4.CMR:2 ≥ x + y ≥ x2 + y2 ≥ x3 + y3

 2 ≥ x + y

Vậy 2 ≥ x + y ≥ x2 + y2 ≥ x3 + y3

Dấu “=’ xảy ra  x = y = 1

Lưu ý:Từ bài toán này ta có thể tìm được những bài toán họ hàng như:

Cho hai số dương x,y sao cho x2 + y3 ≥ x3+y4.CMR:Ta luôn có x3 + y3  2

Cho hai số dương thỏa x2 + y3 ≥ x3 + y4.Tìm GTLN của biểu thức x2 + y2

Giải hệ phương trình

x , y >0

x2+y ≥ x3

Ví dụ 2 :Cho a,b > 0 thỏa mãn a

Dấu “=” xảy ra 

a2+b2=1

Bài 1:Với a,b,c ≥ 0.CMR:(a+1)(b+ 1)(c +1) ≥¿

HD:Phá ngoặc ở vế trái rồi sử dụng Cauchy

HD:Sử dụng Cauchy cho hai hạng tử ở vế trái.Chú ý: 2 4m 2m1

Bài 3 :Với x ≥ 1,y ≥ 2,z ≥ 3.CMR: yz√

√3)

HD:Tách vế trái thành tổng của 3 số hạng rồi sử dụng Cauchy

Bài 4:CMR:

3 3

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh được x44x 1 2 y 1 z 1

Chứng minh tương tự ta được đpcm

Bài 6:Cho a,b,c là 3 số dương có tích bằng 1.CMR:

Bài 7:Cho a,b,c,m > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S = m(a2 + b2) + c2 theo tham số m

HD:Gọi tham số (0; m).Sử dụng Cauchy với các bộ số 2; 2 , 2; 2 , 2; 2

Nên ta chứng minh được: 2   2 

MinS

m c

Bài 9:Với a,b,c là 3 số dương.CMR :

a2+b2≥3√3

Chứng minh tương tự ta được đpcm

Bài 11 :Giải hệ phương trình sau:

Với hai bộ n số (a1,a2,…,an);(b1,b2,…,bn),ta luôn luôn có:

(a1b1+a2b+ +a n b n)2≤(a1 2+a22+ +a n2)(b1 2+b22+ +an2)

Lưu ý:Một cách tổng quát ta có được bài toán:Cho a,b,c,m,n.CMR:

Goi x0 là một ngiệm thực của (1) thì ta được:

Nếu x0 = 1

⇒ a=4

BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1:CMR:Nếu phương trình x4 + ax3 + 2x2 + bx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thực thì:

a2 + b2 ≥ 8

HD:Tương tự Ví dụ 2

Bài 2:Cho ab + bc + ca = 2.CMR:a4 + b4 + c4 ≥

43

Bài 7 :Cho ABC tùy ý có độ dài 3 đường trung tuyến lần lượt là m1,m2,m3 và R là bán kính

đường tròn ngoại tiếp ABC.CMR:m 9 R

HD :Ta chứng minh được x y2 y z2 z x2 x z2 y x2 z y2  2 2 22

Bài 9 :Cho ABC và điểm M bất kì trong tam giác.Gọi x,y,z lần lượt là khoảng cách từ M tới

BC,AC,AB.a,b,c lần lượt là độ dài các cạnh BC,AC,AB và R là bán kính đường tròn ngoại tiếpABC.CMR :√x+√y +√z ≤√a2+b2+c2

ab+

1

ac+1

bc ≥ 30

HD:Ta chứng minh được:

Bài 1:Cho P là điểm bất kì trong tam giác ABC.Một đường thẳng bất kì qua P cắt AB và AC lần

lượt tại M và N.CMR: S ABC 8 S BPM.S CPN

Áp dụng Cauchy cho từng ngoặc ta sẽ được đpcm

Bài 2:Tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O.Gọi diện tích của 2 tam giác AOB và COD

lần lượt là S1 và S2 và S là diện tích của tứ giác ABCD.CMR: S1  S2  Hệ thức vừa chứngS

minh sẽ thay đổi thế nào nếu ABCD là hình thang?

Bài 3:Cho các số dương a,b,c.CMR:ab + c + bc + a + ca + b ≥ 1

HD:

 Nếu một trong 3 số a,b,c không bé hơn 1 thì bất đẳng thức đúng

 Nếu 0 ≤ a,b,c ≤ 1 thì ta giả sử Mina,b,c = c.Ta sẽ xét hai trường hợp:

 a + b < 1 thì b + c < 1 và a + c < 1.Áp dụng BĐT Bernoulli ta chứng minh được:

Bài 4 :Cho 8 số thực x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8.Xét 6 số sau đây:

A = x1x3 + x2x4 B = x1x5 + x2x6 C = x1x7 + x2x8

D = x3x5 + x4x6 E = x3x7 + x4x8F = x5x7 + x6x8

Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong 6 số trên không âm

HD:Xét 4 vector sau đây

a b c

ab bc ca abc

 Chứng minh rằng a,b,c là các số dương

HD:Xét phương trình bậc 3 nhận a,b,c là nghiệm.Kết hợp với giả thiết suy ra đpcm

Bài 10 :Cho các số a,b,c1;2.CMR:(3 a+2 b+ c )(1a+

HD:Ta sẽ chứng minh Nhận xét sau:

Nếu các số a,b,c1;2 thì ta luôn có:

a x a b y b c z c

HD:Sử dụng 0 < cos A + cos B + cos C ≤

32

I Các dạng cơ bản

II Những sắc màu điểm rơi trong bất đẳng thức AM – GM

III Điểm rơi trong đánh giá từ GM sang AM

IV Điểm rơi tự do hay nguyên lý đồng bậc trong Cauchy

V Đồng bậc bất đẳng thức

VI Phối hợp các bất đẳng thức đồng bậc ngược chiều

I Các dạng biểu diễn bất đẳng thức AM-GM (Trở về)

1 Dạng tổng quát Giả sử a ,a , ,1 2 a là n số thực không âm ,khi đó ta có n

n

a

a a n

Bình luận:Khi chứng minh bất đẳng thức , nói chung ta rất ít gặp bất đẳng thức dạng cân

đối , đầy dủ như các dạng phát biểu trong lí thuyết mà thường gặp các bất đẳng thức có một vế phức tạp một vế rút gọn cũng giống như khi chứng minh đẳng thức ta phải đánh giá từ vế phức