Giáo án Đại số 11 - Tiết 49 đến tiết 52

- Ôn lại các kiến thức đã học về dãy số III.Phương pháp: 1.Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề chủ đạo 2.Phương pháp trực quan quan thông qua các ví dụ và một số công thức cụ thể 3.P[r]

Cụm tiết:49,50,51,52 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Ngày soạn:22/12/2016

I.Mục tiêu

1.Kiến thức:

- Nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn là 1 số hữu hạn và dãy số có giới hạn là vô cực Ghi nhớ một số giới hạn đặc biệt

- Nắm được định lý về giới hạn hữu hạn để tính các giới hạn thường gặp

- Nắm được công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

- Nắm lại giới hạn tại vô cực

2.Kỹ năng:

- Tính được giới hạn của các dãy số thường gặp

- Tính được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

- Nắm được cách tính các dạng giới hạn tại vô cực

3.Tư duy – thái độ:

- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài

- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt

- Có thái độ hợp tác cùng nhau

4.Phát triển năng lực:

- Nhóm năng lực cá nhân

- Nhóm năng lực tư duy logic

- Nhóm năng lực hoạt động nhóm

-Năng lực tự khám phá đường đi mới , hướng đi mới,

-Năng lực hợp tác và giúp đỡ khám phá

II.Chuẩn bị

1.Chuẩn bị của Gv:

- Soạn giáo án

- Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…

- Bảng phụ: Vẽ hình 4.1 và bảng giá trị của | un | như trong SGK

2.Chuẩn bị của học sinh:

- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp

- Ôn lại các kiến thức đã học về dãy số

III.Phương pháp:

1.Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề ( chủ đạo )

2.Phương pháp trực quan quan thông qua các ví dụ và một số công thức cụ thể

3.Phương pháp hoạt động nhóm

4.Phương pháp phát triển năng lục cá nhân thông các bài tập khó

IV.Tiến trình bài dạy và các hoạt động: Tiết 49

1.Ổn định, sĩ số

2.Kiểm tra bài cũ Hãy biểu diễn dãy số (un) với un = lên trục số.1

n

( Chia nhóm, mỗi nhóm biểu diễn lên bảng con của nhóm mình)

Nhận xét:   un tiến về đâu khi n tiến ra dương vô cùng ( Dựa vào đồ thị )

3.Bài mới:

Hoạt động 1: Giới hạn hữu hạn của

dãy số

GV: Xét dãy số ở phần bài cũ Khoảng

cách từ điểm un đến điểm 0 thay đổi như

thế nào khi n đủ lớn?

HS: Nhìn vào hình biểu diễn để nhận

xét

GV: Yêu cầu HS tìm số hạng uk để từ

số hạng đó trở về sau khoảng cách từ nó

đến số 0 nhỏ hơn 0.01 ? nhỏ hơn 0.001?

(GV hướng dẫn hs thực hiện)

HS: Thực hiện theo nhóm

GV: Dựa vào việc thực hiện trên đưa ra

nhận xét rằng khoảng cách từ un đến số

0 nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là chọn số

I.Giới hạn hữu hạn của dãy số 1.Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:

Xét dãy số(un) với u n 1,tức là dãy số

n

 1, , , , , , , 1 1 1 1 1

Khoảng cách u n 0 u n 1từ điểm đến điểm 0 trở nên

n

nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn

Như vậy mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ số hạng nào

đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước Ta nói rằng dãy số có giới hạn 0 khi n 1

n dần tới dương vô cực

Định nghĩa: SGK

Ví dụ: (làm ví dụ 1 SGK- trang 113)

2 Định nghĩa dãy số có giới hạn là 1 số

1.Phát triển năng lực cá nhân.

-Phát triển năng lực quan sát đồ thị, dự đoán các tình huống của dãy số khi n tiến về dương

vô cực -Hình thành đơn giản khái niệm giới hạn trong tư duy -Nhận biết được các giới hạn đặc biệt của dãy số -Xử lí được các

n đủ lớn

+Tổng quát hố đi đến đ\n dãy cĩ giơi

hạn 0

Hoạt động 2: Giới hạn của dãy số cĩ

giới hạn là một số bất kì

GV: Đặt vấn đề:Cho dãy số (un) với un=

1

2+

n

-Hãy biểu diễn dãy lên trục số

-Khi n càng lớn thì un càng gần

vối số nào?

HS: Làm việc theo nhĩm sau đĩ đưa ra

nhận xét un càng gần đến số 2

GV: Dựa vào nhận xét trên liên hệ với

phần 1 để đưa ra định nghĩa 2

GV: Hướng dẫn hs làm

Hoạt động 3: Các giới hạn đặc biệt

GV: cho dãy số un= 14 , vn= , wn=

n

n 2 ( ) 5

3, hãy biểu diễn lên trục số sau đĩ dự

đốn giới hạn các dãy này,

HS: Làm việc theo nhĩm

GV: ghi lên bảng , yêu cầu hs nắm kỹ

Hoạt động 4: Định lí

GV: Yêu cầu HS đọc đ lý sgk và ghi lên

bảng nội dung của định lý đĩ

GV: Hướng dẫn hs biến đổi các giới hạn

đã cho về các tổng, hiệu, tích, thương

các giới hạn đặc biệt

HS: Biến đổi theo hướng dẫn của gv sau

đĩ áp dụng đ lý 1 để tìm giới hạn

Giải

Ta cĩ lim = lim

2

5n-2

2 n(5- ) n 3

n ( +4)

n

2

n(5- )

n

3

n ( +4)

n

2 (5- ) n 3 ( +4) n

5 2

Định nghĩa 2 (SGK)

Ví dụ: Cho dãy số (vn) với vn =3n+1, CMR: = 3

n n +lim vn

 

Giải

n

n +lim (v 3)

n +

3n+1 lim ( 3) n

n +

1 lim

n

 

n +lim v

 

3 Một vài giới hạn đặc biệt

a) = 0 ; = 0 (k  N* );

n +

1 lim

n

1 lim k

n

 

b) n = 0 nếu q<1

nlim q+

  c) Nếu un = c (hằng số) thì n

nlim u = c+

 

II.Định lí về giới hạn hữu hạn

1.Định lý 1 (SGK)

2 Các ví dụ.

Ví dụ 1: Tìm lim2n +32 2

1-3n

Giải

Chia tử và mẫu cho n2

2 2

2n +3 1-3n

2

2

3 2+

n 1 -3 n

2 3



Ví dụ 2: Tìm lim

2

5n-2 3+4n

dạng giới hạn đơn giản của một dãy số

2.Phát triển năng lực nhĩm

Thơng qua một số

ví dụ giúp học sinh nhận dạng, quan sát và giúp đỡ lẫn nhau

4.Củng cố: Nhắc lại các khái niệm, các giới hạn đặc biệt và định lí

Vận dụng làm một số bài tập đơn giản

5.Hướng dẫn về nhà: Chuẩn bị phần tiếp theo: “Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn & Giới hạn vơ cực”

Làm bài tập SGK

V.Rút kinh nghiệm

Lop11.com

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

IV.Tiến trình bài dạy và các hoạt động: Tiết 50

1.Ổn định, sĩ số

2.Kiểm tra bài cũ: Tính các giới hạn sau đây

2

3.Bài mới:

lực

Hoạt động 1: Tổng của cấp số

nhân lùi vô hạn

G/hạn đặc biệt:

= 0 nếu q<1

n

nlim q+

 

GV: Yêu cầu hs nhắc lại công thức

tính tổng của n số hạng đầu của cấp

số nhân

HS: Đứng tại chổ trả lời

GV: Biến đổi công thức thành S=

sau đó yêu n

cầu học sinh tính giới hạn lim S, từ

đó có được công thức

GV: yêu cầu hs nhận xét các CSN

có phải là CSN lùi vô hạn hay

không sau đó yêu cầu hs tính

HS: Làm việc theo nhóm

Hoạt động 2: Giới hạn vô cực

Xây dựng hoạt động bằng các hình

vẽ cụ thể

GV: Hướng dẫn hs thực hiện h

động 2 sgk từ đó dẫn tới định nghĩa

GV: Cho dãy un = n3, hãy biểu diễn

dãy lên trục số.Khi n càng lớn, có

nhận xét gì về các số un?.Từ đó

tổng quát hóa thành các giới hạn ở

phần 2

HS: Làm việc theo nhóm, đưa ra

nhận xét

GV: Ghi lên bảng các gh đặc biệt,

yêu cầu hs nhớ

III.Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

1.Định nghĩa

CSN vô hạn có công bội q với q<1 gọi là CSN lùi vô hạn

2.Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1

1

u S q





Ví dụ

1/Tính tổng các số hạng của CSN lùi vô hạn (un) với 1

5

n n

u  2/ Tính 1 1 12 13 1

Giải

1/Ta có u1 = và q = nên CSN đã cho là 1 CSN lùi vô hạn 1

5

1 5

Tổng S = =

1 5 1 1 5



1 4

2/Các số hạng của tổng tạo thành 1 CSN lùi vô hạn có u1 = 1 và

q = nên S = 1 2

1 2 1 1 2





IV.Giới hạn vô cực

1.Định nghĩa (SGK) Nhận xét: lim un = +  lim(- un) = - 

Ví dụ ( Làm ví dụ 6 Sgk) 2.Một vài giới hạn đặc biệt (sgk)

, với k nguyên dương

limn k  

nếu

limq n  q1

3.Định lý Định lý 2 ( sgk)

Các ví dụ: Tìm các giới hạn sau

1/ lim 7-2nn 2/lim (2n2 +3n – 4) (n-3).5

Giải

1/ Ta có:

7

7 2

3

n

n

n

n



2/ Ta có: lim (2n2 +3n – 4)

Giải

1.Phát triển năng lực cá nhân

-Xây dựng định nghĩa bằng hình

vẽ và khả năng đọc hình vẽ -Nhận biết được một dãy số đã cho là một cấp số nhân lùi vô hạn -Làm được một

số bài toán đơn giản các dạng toán trên -Xây dựng và xử

lí các dạng bài tập giới hạn tại

vô cực

2.Phát triển hoạt động nhóm.

Thông qua ta sẽ tái hiện và củng

cố các kiến thức sau:

-Cách xử lí các dạng bài tập và đưa về các giới hạn đặc biệt

GV: Hướng dẫn hs đặt thừa số

chung ( hoặc chia tử và mẫu cho n)

để đưa về tổng, hiệu, tích, thương

của các giới hạn đặc biệt,sau đó áp

dụng đly 1

HS: Làm sau đó lên bảng giải

Hoạt động 3: Hoạt động nhóm xử

lí bài tập củng cố

Xử lí một cách hoàn chỉnh các dạng

bài tập

Ta có:

lim 2n 3n 4 lim n 2 lim lim 2n

mà: lim n2   và lim 2 3 42 2

n n

nên lim 2 n23n4 

Bài tập củng cố:

1/ Tính tổng sau: 1 1 1 1

10 100 10n S       2/ Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau a3, 12 121212  

với chu kì là 12 về dạng phân số hữu tỉ 3/ Tính các giới hạn sau: 2 2 2 3 / lim 3 7 n n a n n      2 2  / lim 1 1 b n   n n  n  4 3  / lim 3 4 2 c  n  n  -Củng cố các dạng toán: tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, giới hạn hữu hạn tại vô cực,

-Tinh thần hợp tác 4.Củng cố: Nhắc lại các khái niệm, các giới hạn đặc biệt và định lí Vận dụng làm một số bài tập đơn giản 5.Hướng dẫn về nhà: Chuẩn bị phần tiếp theo: “Bài tập” Làm bài tập SGK V.Rút kinh nghiệm

Lop11.com

Tiết 51,52 BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ

I.Mục tiêu

1.Kiến thức:

-Vận dụng định nghĩa giới hạn của dãy số vào việc giải một số bài toán đơn giản liên quan đến giới hạn

-Vận dụng các định lý về giới hạn trình bày trong sách để tính giới hạn của các dãy số đơn giản

-Biết nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng công thức vào giải một số bài toán liên quan có dạng đơn giản

2.Kỹ năng:

- Tính được giới hạn của các dãy số thường gặp

- Tính được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

- Nắm được cách tính các dạng giới hạn tại vô cực

3.Tư duy – thái độ:

- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài

- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt

- Có thái độ hợp tác cùng nhau

4.Phát triển năng lực:

- Nhóm năng lực cá nhân

- Nhóm năng lực tư duy logic

- Nhóm năng lực hoạt động nhóm

-Năng lực tự khám phá đường đi mới , hướng đi mới,

-Năng lực hợp tác và giúp đỡ khám phá

II.Chuẩn bị

1.Chuẩn bị của Gv:

- Soạn giáo án, các tài liệu liên quan,

- Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…

2.Chuẩn bị của học sinh:

- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp

- Ôn lại các kiến thức đã học về dãy số

III.Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề kết hợp với giải quyết vấn đề,

xen kẻ hoạt động nhóm, khuyến khích học sinh hợp tác cùng nhau xây dựng bài

IV.Tiến trình bài dạy và các hoạt động: Tiết 51

1.Ổn định, sĩ số

2.Kiểm tra bài : Lồng vào tiết học

3.Bài mới:

Hoạt động 1: bài tập 1/121 sgk

-Giải thích cho học sinh hiểu được ứng

dụng thực tế của giới hạn trong các môn

học khác: hóa học, vật lí học,

-Giải thích cho học sinh hiểu được thế

nào là chu kì bán rã của một chất: cứ

sau một chu kì (một số năm nhất định thì

khối lượng chất đó sẽ giảm đi một nữa)

Bài tập này củng cố khái niệm giới hạn

của dãy số

Học sinh hiểu rõ hơn ý tưởng “ nhỏ hơn

một số dương bé tùy ý , kể từ một số

hạng nào đó trở đi”

Giáo viên hướng dẫn các em giải bài tập

này

Bài tập 1/121:

Gọi u nlà khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n 1/ Ta có: 1 1 2 1 3 1;…

Suy ra: bằng quy nạp ta chứng minh được 1

2

n n

2

n n

 

  lim qn  0 q  1).

3/ Ta có: 16 16 13 19

Vì un  0 nên 1 có thể nhỏ hơn một số dương bé

2

n n

tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi Như vậy un nhỏ

1.Phát triển năng lực cá nhân.

Thông qua bài tập

1, giúp học có thể phát triển sâu hơn về:

-Kiến thức các môn học khác, đặc biệt

là : Hóa học và Vật

Lí học -Năng lực quan sát, nhận xét và dự đoán: một dãy số có phải là một cấp số nhân lùi vô hạn hay không

-Từ đó làm tốt các

Đặc biệt:

Giáo viên có thể giải thích rõ ràng cụ

thể hơn đối với câu c ) chọn n 0 là một số

cụ thể

Hoạt động 2 :

-lim 13 0

n 

-Suy ra: limu n 1 0

GV: Một học sinh lên bảng trình bày

Em khác nhận xét Giáo viên sữa nhận

xét cho điểm

Hoạt động 3

Chia lớp làm 4 tổ mỗi tổ có một bảng

con , phấn , bút lông để làm việc

Học sinh có thể thay đổi chỗ ngồi , giáo

viên quy định thời gian cho các em làm

bài Tổ nào mặt bằng khá hơn giáo viên

giao cho câu c và câu d

Sau khi học sinh làm xong giáo viên

hoàn chỉnh lại bài cho các em , cho

điểm các tổ Đây là các dạng bài tập cơ

bản

Giáo viên có thể tổng quát cho các em



2

2

hơn 19 kể từ chu kì n0 nào đó Nghĩa là sau một số năm

10

ứng với chu kỳ này , khối lượng chất phóng xạ không còn độc hại đối với con người

Bài tập 2/121 sgk:

Vì 13 nên có thể nhỏ hơn một số dương bé

n

tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi Mặt khác , ta có 13 13 với mọi n

1

n

u

Từ đó suy ra un 1 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý ,

kể từ một số hạng nào đó trở đi , nghĩa là lim  un  1  0

Do đó lim un  1

Bài tập 3/121 sgk:

1 6

2

n

n



2/ Ta có:

2

2

3

1

n

n

 

3/ Ta có:

3

5

2

1

n n

n n

n

  

   

4/ Ta có:

9

2

n

n

 

bài tập còn lại liên quan đến cấp số nhân lùi vô hạn.

2.Phát triển nhóm.

Thông qua bài tập

1, chia nhóm tự làm các bài tập còn lại của sách giáo khoa:

tự phát triển năng lực nhóm và năng lực cá nhân về khả năng tư duy logic, liên kết giữa các thành viên trong nhóm

4.Củng cố: Nhắc lại các khái niệm, các giới hạn đặc biệt và định lí

Vận dụng làm một số bài tập đơn giản

5.Hướng dẫn về nhà: Chuẩn bị phần tiếp theo: “Bài tập các bài tập còn lại”

Làm bài tập SGK

V.Rút kinh nghiệm

Lop11.com

BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ

IV.Tiến trình bài dạy và các hoạt động: Tiết 52

1.Ổn định, sĩ số

2.Kiểm tra bài: Lồng vào bài học

3.Bài mới:

Hoạt động 1: Bài tập 4

Học sinh nhắc lại công thức tính

tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (

ghi nhớ với công bội có GTTĐ bé

hơn 1 )

-Viết 5 số hạng đầu khi cho n

chạy từ 1 đến 5

-Nhận xét dạng số của các số hạng

và mối liên hệ

-Suy ra: dãy số vừa tìm là một cấp

số nhân lùi vô hạn

-Sử dụng công thức để làm bài

GV: Một học sinh lên làm câu a

Các em còn lại theo dõi và nhận

xét bài của bạn

( Dự đoán công thức của un và

chứng minh bằng phương pháp

quy nạp )

Giáo viên sữa bài và gọi một em

khác lên làm câu b , giáo viên

nhận xét rồi cho điểm

Hoạt động 2: Bài tập 5

GV: Mỗi số hạng trong tổng S là

số hạng của 1 cấp số nhân với

1

1 1,

10

HS: lên bảng làm bài

Hoạt động 3: Bài tập 6

*Phân tích bài toán và viết lại số

thập đã cho về dạng tổng của

nhiều phân số

*Nhận xét các số hạng trong tổng

đó: nó là một cấp số nhân lùi vô

hạn

*Sử dụng công thức tổng của cấp

số nhân lùi vô hạn để giải quyết

GV: Gọi học sinh lên bảng và

hướng dẫn theo từng bước một để

học sinh làm

Bài tập 4/122 sgk:

-Tấm bìa hình vuông có cạnh bằng 1.

-Gọi u n là diện tích của hình vuông được tô màu xám thứ n

2/Ta thấy dãy số trên là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 1 1 và công bội

4

4

q

Do đó: theo công thức ta được 1

1 1 4 lim

1

4

n

u S

q

Bài tập 6/122 sgk:

Viết lại số thập phân vô hạng tuần hoàn a1, 02 0202   với chu kì là 02dưới dạng sau:

Ta thấy: 22; 24; 26; ; 22 ; là cấp số nhân lùi vô hạn với

10 10 10 10 n

số hạng đầu 1 22 và công bội

10

10

q Theo công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta được:

2

2

2

10

1 10

n



99 99

Bài tập 7/122 sgk:

2 3

lim n 2n n 1 lim n 1

mà: lim n3   và lim 1 2 12 13 1

nên: limn32n2   n 1

Tiếp tục hoàn thành công việc của tiết trước.

-Chia nhóm hoàn thành các công việc (bài tập ) còn lại ở tiết trước ở hai vấn đề chính: cấp số nhân lùi

vô hạn và giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực

-Tiếp tục tái hiện và củng cố các kiến thức quan trọng của đầu chương

Hoạt động 4: Bài tập 7,8

Chia lớp làm 4 tổ mỗi tổ có một

bảng con , phấn , bút lông để làm

việc

Hs có thể thay đổi chỗ ngồi , gv

quy định thời gian cho các em

làm bài Tổ nào mặt bằng khá

hơn giáo viên giao cho câu c và

câu d

Sau khi hs làm xong gv hoàn

chỉnh lại bài cho các em, cho

điểm các tổ Đây là các dạng bt

cơ bản

2

n n

Mà lim n2   và lim 1 5 22 1

n n

    

Nên lim n2 5n2 

3/ Ta có: 2

2

1 1

n

n

lim

2

n  n n  

n

      

n

Bài tập 8/122 sgk:

Cho: limu n 3 và limv n  

1/ Ta có: 3 1 lim 3   1

lim

n n

u u







3lim 1 3.3 1

2

n n

u u

2/ Ta có:

2 2

2

2

1

n

n

v

v



4.Củng cố: Nhắc lại các khái niệm, các giới hạn đặc biệt và định lí

Vận dụng làm một số bài tập đơn giản

Kĩ năng khi làm một bài toán tìm giới hạn của một dãy số

Kĩ năng đánh giá một biểu thức so với một hằng số

Nắm bắt một số công thức cơ bản

Một số câu hỏi trắc nghiệm củng cố :

Câu 1 : Cho dãy số a n  3n3 1 n Kết quả đúng là :

A lim an  0 B lim 1

3

n

C 1 D

lim

2

n

Câu 2 : Giới hạn sau đây bằng bao nhiêu : bằng

2 2

lim

2

n





A 7 B 3 C 0 D

2

5.Hướng dẫn về nhà: Chuẩn bị phần tiếp theo: “Giới hạn hàm số”

Làm bài tập SGK

V.Rút kinh nghiệm

Lop11.com