Tiểu luận giải tích 3 Dãy số trong không gian Rn

Tiểu luận giải tích 3 Dãy số trong không gian Rn

A.MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Toán học là môn khoa học tự nhiên, có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn vàứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Toán học có nhiều phân môn như Giảitích, Đại số, Hình học…; mỗi môn giữ một vai trò và một nhiệm vụ riêng, Giảitích cũng vậy, có nhiệm vụ cung cấp những kiến thức quan trọng về hàm số, giớihạn tích phân… Trong đó, dãy số và giới hạn của dãy số là một phần quan trọngcủa bộ môn giải tích Lý thuyết và các bài toán giới hạn của dãy số thực đã được đềcập ở hầu hết các giáo trình cơ bản về giải tích, và cũng đã được học ở Giải tích 1

Ở giải tích 3 này, dãy số trong là một kiến thức mới, việc nắm và hiểu sâu sắc

lý thuyết và làm thành thạo các bài tập có mối quan hệ mật thiết Và hơn hết nắm

rõ dãy số trong không gian sẽ giúp em hiểu và học tốt ở các phần học tiếp theonhư hàm số nhiều biến, giới hạn hàm số nhiều biến Chính vì vậy nên em chọn đềtài: “Dãy số trong không gian ” để hiểu và biết thêm nhiều kiến thức phục vụcho chương trình Giải tích 3 này

Định nghĩa dãy số, giới hạn dãy số trong mà ở đây là dãy trong Các tính chất dãy số trong , ở đây là dãy trong

Các dạng bài tập liên quan đến dãy trong

Phạm vi:

Kiến thức về dãy số trong

4 Phương pháp nghiên cứu:

Đọc tài liệu

Tổng hợp lý thuyết

Tham khảo ý kiến chuyên gia

5 Cấu trúc bài tiểu luận :

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của bài tiểu luận gồm 2 chương:Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương 2: Các dạng bài tập liên quan

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Dãy số trong :

1.1.1 Định nghĩa :

Ánh xạ u: :

u u(n) =

được gọi là dãy số trong

Ta thường kí hiệu: để chỉ một dãy số trong Ngoài cách

kí hiệu trên ta có thể dùng kí hiệu hoặc để chỉ một dãy số trong

, và dãy trong được viết:

1.1.2 Định nghĩa giới hạn dãy số :

Cho dãy , dãy được gọi là có giới hạn là a

Nếu có giới hạn là a thì ta nói dãy hội tụ về a.

Ta nói dãy không có giới hạn nếu nó không hội tụ nghĩa là:

Định lý 1: Nếu dãy có giới hạn thì giới hạn là duy nhất

Thật vậy, giả sử dãy có 2 giới hạn là

Khi đó với mỗi i= 1,2,…,n dãy ( ) là dãy bị chặn trong

Do đó tồn tại dãy con ( ) của ( ) sao cho

Lấy dãy con ( ) của ( )

( ) của ( ) sao cho

và tìm được dãy con , ) của ( ) sao cho

)

1.1.5 Tiêu chuẩn Cauchy :

 Định nghĩa:

Dãy trong được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu

nghĩa là , = sao cho

Từ định nghĩa ta thấy: Mọi dãy hội tụ đều là dãy cơ bản

Thật vậy, giả sử dãy trong hội tụ tới a

(với k,l ).

Tuy nhiên điều ngược lại không đúng

 Định lý: Dãy hội tụ khi chỉ khi là dãy cơ bản.

Chứng minh:

+Ắt có: Giả sử dãy trong là dãy hội tụ thì cũng

là dãy hội tụ trong R, khi đó là dãy cơ bản.Vậy là dãy cơbản

+Điều kiện đủ: Nếu là dãy cơ bản trong thì cũng

là những dãy cơ bản trong

Thật vậy, do là dãy cơ bản trong nên , = sao cho

nghĩa là

Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy (trong R) thì đều là dãy hội tụ Vậy

là dãy hội tụ

Vậy dãy hội tụ theo cauchy trong khi và chỉ khi các dãy

hội tụ theo Cauchy trong

 Xét trong các khái niệm trên được viết lại

1.2 Dãy số trong :

1.2.1 Định nghĩa:

Ánh xạ u: :

u u(n)được gọi là dãy số trong

Và dãy trong được viết

Ngoài cách kí hiệu trên ta còn có thể kí hiệu: hoặc ,

dãy trong được viết:

Ví dụ:

= =

=

=

1.2.2 Định nghĩa giới hạn dãy số :

Cho dãy , dãy được gọi là có giới hạn là a

Nếu có giới hạn là a thì ta nói dãy hội tụ về a

Ta nói dãy không có giới hạn nếu nó không hội tụ nghĩa là:

Định lý 2.1: Dãy =( ) hội tụ tới a = ( khi và chỉ

= (

Chứng minh:

Khi đó bất kỳ ,từ

suy ra và nên và khi k

Ngược lại, nếu

Thì ε > 0 cho trước ( ), ( ) sao cho:

Như vậy việc khảo sát sự hội tụ của dãy điểm trong được đưa về khảo sát

sự hội tụ của hai dãy số thực là dãy các hoành độ và dãy các tung độ

Ví dụ:

= ( )

Vì: = 0

Khi đó với mỗi i= 1,2 dãy ( ) là dãy bị chặn trong

Do đó tồn tại dãy con ( ) của ( ) sao cho

Lấy dãy con ( ) của ( )

Vì ( ) bị chặn nên ( ) bị chặn

Do đó tồn tại dãy con ( ) của ( ) sao cho

Khi đó = (

1.2.5 Tiêu chuẩn Cauchy

Định nghĩa: Gọi dãy trong với = hội tụ tới a=( ) theoCauchy thỏa điều kiện :

Ta có thể gọi dãy = là dãy trong và hội tụ theo cauchy theo điều

Định lý: Dãy hội tụ khi chỉ khi là dãy Cauchy

Vậy dãy trong hội tụ theo Cauchy khi chỉ khi là 2 dãy hội tụ

theo Cauchy trong

1.3 Dãy số trong :

1.3.1 Định nghĩa dãy số:

Ánh xạ u: :

u u(n)được gọi là dãy số trong

Và dãy số được viết: =

Ngoài cách kí hiệu trên ta còn có thể kí hiệu: hoặc

Dãy trong được viết:

Ví dụ:

=

=

1.3.2 Định nghĩa giới hạn dãy số:

Cho dãy , dãy dược gọi là có giới hạn là a

Nếu có giới hạn là a thì ta nói dãy hội tụ về a

Ta nói dãy không có giới hạn nếu nó không hội tụ nghĩa là:

Định lý 1.2: Nếu dãy hội tụ về

= (

Khi đó với mỗi i= 1,2,3 dãy ( ) là dãy bị chặn trong

Do đó tồn tại dãy con ( ) của ( ) sao cho

Lấy dãy con ( ) của ( )

Vì ( ) bị chặn nên ( ) bị chặn

Do đó tồn tại dãy con ( ) của ( ) sao cho

Tiếp tục lập luận như trên, ta tìm được dãy con

( ) của ( ) sao cho

và tìm được dãy con , ) của ( ) sao cho

)

1.3.5 Tiêu chuẩn Cauchy

Định nghĩa: Gọi dãy trong với = hội tụ tới

a = ( ) theo cauchy thỏa điều kiện:

Ngoài ra ta có thể gọi dãy = là dãy trong và hội tụ theo cauchytheo điều kiện

Định lý: Dãy hội tụ khi chi khi là dãy Cauchy.

Tương tự dãy trong ta nhận thấy:

Dãy trong hội tụ theo Cauchy khi chỉ khi là 3 dãy hội tụ

theo Cauchy trong

Như vậy, ta thấy việc áp dụng các tính chất của dãy số trong là không tránh

khỏi sau đây là một số tính chất và định lý cơ bản của dãy số trong

1.4 Một số tính chất và định lý cơ bản của dãy trong

Nếu dãy {xn} có giới hạn là a thì mọi dãy con của dãy {xn} đều có giới hạn

là a Tuy nhiên điều ngược lại không đúng

Chứng minh:

Giả sử có ta chứng minh

Vậy dãy {xn} có giới hạn là a thì mọi dãy con của dãy {xn} đều có giới hạn là a

Và điều ngược lại không đúng

( Tổng, hiệu, tích, thương các dãy hội tụ) Nếu {xn}, {un} là các dãy hội tụ và

có giới hạn tương ứng là a,b thì các dãy số, { xn+ un},{ xn- un}, { xn.un}, { } cũng

hội tụ và có giới hạn tương ứng là a+b, a-b, a.b, (Trong trường hợp dãy sốthương ta giả sử un và b khác 0)

Vì dãy hội tụ nên bị chặn, nghĩa là tồn tại số M>0 sao cho với mọi

Từ đó, với mọi ta có: ,

Vì nên với mọi bao giờ cũng tồn tại số T , sao cho

Do đó với mọi n max( ta có:

( Định lý kẹp) Cho dãy số {xn}, {yn}, {un} trong đó {xn}, {un} có cùng giớihạn hữu hạn a, và N0 : n> N0 ta có :

{xn} {yn} {un} Khi đó {yn} cũng có giới hạn là a

( Dãy đơn điệu ) Một dãy tăng và bị chặn trên hay một dãy giảm mà bị chặn

dưới thì hội tụ Nói ngắn gọn hơn, một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ

N0 , m,n> N0 < Dãy số {xn} được gọi là dãy hội tụ khi

và chỉ khi nó là dãy Cauchy

+) Đủ: Theo định lý dãy {xn} hội tụ thì {xn} bị chặn

Theo bổ đề Bolzano Weirstrass, từ {xn} rút ra một dãy con { } hội tụ:

Ta chứng minh cũng chính là giới hạn của dãy {xn} Thật vậy, cho nhỏ tùy

ý; vì nên tồn tại số sao cho với mọi , ta có

Mặt khác, theo giả thiết, tồn tại số tự nhiên sao cho với mọi n > , ta có:

Do đó, Với mọi n >N=max( ta có:

, tức là {xn}hội tụ

và

Nói rằng dãy {xn} là CẤP SỐ CỘNG nếu nó có dạng

Nói rằng dãy {xn} là CẤP SỐ NHÂN nếu nó có dạng

CHƯƠNG 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN 2.1 Dùng tiêu chuẩn Cauchy chứng minh sự hội tụ, phân kỳ của các dãy sau:

Với dãy =

Giải:

=

Giả sử > 0 nhỏ tùy ý Vì =0 nên đối với số đó tồn tại số

sao cho thì Điều đó có nghĩa là nếu n và p là

Vậy cho ,chọn n=

Vậy dãy hội tụ theo Cauchy (2)

Từ (1) và (2) hội tụ theo Cauchy

Xét = =

>0 , n, n, p > n0

Vậy dãy phân kỳ (2)

Dãy hội tụ trong theo Cauchy thì cũng là dãy hội theo Cauchy

trong .Một trong 2 dãy phân kỳ hay cả 2 dãy phân kỳ thì dãy phân kỳ

Vậy từ (1) và (2) dãy không hội tụ theo cauchy

Bài tập 4.

Với

Với dãy =

Giải:

Xét =

=

Giả sử > 0 nhỏ tùy ý Vì =0 nên đối với số đó tồn tại số

sao cho thì Điều đó có nghĩa là nếu n

= với p là số tự nhiên tùy ý và n

Vậy dãy hội tụ theo Cauchy (2)

Với dãy

Giải :

Vậy dãy không hội tụ theo Cauchy (3)

Từ (1),(2),(3) dãy không hội tụ theo Cauchy

2.2 Dùng định nghĩa chứng minh rằng:

Theo định lý 2 được nêu ở trên dãy = có giới hạn là a=

khi và chỉ khi có giới hạn là và có giới hạn là Vậy để dùng định nghĩa chứng minh dãy = có giới hạn là

a= thì dùng định nghĩa chứng minh dãy (trong ) có giới hạn là

và có giới hạn là (trong ) Dãy không hội tụ (không có giới hạn) theo

định nghĩa thì dãy phân kỳ Trong , ta cũng xét tương tự như dãy trong



Thật vậy,giả sử dãy có giới hạn là a ,thế thì nếu chọn =1 ta sẽ có:

= 1 n a+1 n đủ lớn.(vô lí)Vậy a không là giới hạn dãy hay dãy phân kỳ

⇒ Dãy {xn} trên bởi e

Vậy dãy {xn} vừa là dãy tăng vừa bị chặn trên bởi số e nên hội tụ và

có giới hạn

Với {yn} = 1+ + + + …+ với n = 1, 2, 3, 4 …

Giải:

Ta có :

⇒ Dãy {yn} bị chặn trên bởi số 4

Vậy theo định lí về sự hội tụ của dãy số đơn điệu dãy {yn} hội tụ

Vậy dãy {yn} vừa là dãy tăng vừa bị chặn trên bởi số 4 nên hội tụ và

Ta có : = =

=1

⇒Dãy {zn} bị chặn trên bởi số 1

Vậy dãy {zn} vừa là dãy tăng vừa bị chặn trên bởi số 1 nên hội tụ và

Ngoài ra, = Suy ra dãy {xn} là đơn điệu giảm bắt đầu

từ chỉ số nào đó, nó cũng bị chặn dưới, ví dụ bởi 0 Vậy dãy hội tụ.(1)

⇒ Dãy {yn} bị chặn trên bởi số 1

Vậy dãy {yn} vừa là dãy tăng vừa bị chặn trên bởi số 1 nên hội tụ và có giớihạn.(2)

{xn} < = < 1

⇒ Dãy {xn} bị chặn trên bởi số 1

Vậy dãy {xn} vừa là dãy tăng vừa bị chặn trên bởi số 1 nên hội tụ và có giớihạn.(1)

⇒ Dãy {yn} bị chặn trên bởi số 4

Vậy dãy {yn} vừa là dãy tăng vừa bị chặn trên bởi số 4 nên hội tụ và có giớihạn.(2)

Vậy từ (1),(2) dãy hội tụ

2.4 Tìm giới hạn các dãy sau:

C.KẾT LUẬN

Đề tài này của em trình bày những khái niệm, tính chất, định lý, các nguyên

lý cơ bản và những dạng bài tập liên quan đến dãy trong - một khái niệm mớitrong chương trình giải tích

Sau một quá trình tìm hiểu đề tài em có một vài suy nghĩ là khi giải quyếtcác dạng bài tập thì không chỉ hiểu và nắm vững các kiến thức về dãy trong màcòn phải nắm được các kiến thức về dãy số thực, cần hiểu lý thuyết và biết vậndụng lý thuyết…Đề tài trên đây của em không thể đề cập hết tất cả các dạng Toán

cơ bản và cách giải quyết nó Em cũng hi vọng rằng với kiến thức trên cũng giúpđược các bạn học sinh, sinh viên trong việc gặp khó khăn khi giải quyết các bài tậptương tự Chắc chắn trong đề tài còn nhiều thiếu sót và những hạn chế nhất định.Kính mong sự bổ sung và góp ý kiến chân thành của thầy cô và các bạn để đề tàihoàn thiện hơn

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn cô Phạm Nguyễn Hồng Ngự, người

đã tận tình giúp đỡ và tạo điều kiện cho em hoàn thành bài tiểu luận này

Mục lục A.Mở đầu

1.Lý do chọn đề tài

2.Mục đích nghiên cứu

3.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4.Phương pháp nghiên cứu

5 Cấu trúc bài tiểu luận

B Nội dung

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

1.1 Dãy số trong

1.1.1 Định nghĩa dãy số trong

1.1.2 Định nghĩa giới hạn dãy số1.1.3 Tính chất dãy hội tụ

1.1.4 Tiêu chuẩn Cauchy

1.1.5 Nguyên lý Bolzano-Weierstrass1.2 Dãy số trong

1.2.1 Định nghĩa dãy số trong

1.2.2 Định nghĩa giới hạn dãy số1.2.3 Tính chất dãy hội tụ

1.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy

1.2.5 Nguyên lý Bolzano-Weierstrass1.3 Dãy số trong

1.3.1 Định nghĩa dãy số trong

1.3.2 Định nghĩa giới hạn dãy số

1.3.3 Tính chất dãy hội tụ

1.3.4 Tiêu chuẩn Cauchy

1.3.5 Nguyên lý Bolzano-Weierstrass

1.4 Một số tính chất và định lý của dãy trong

Chương 2: Các dạng bài tập liên quan

2.1 Dùng Cauchy chứng minh sự hội tụ, phân kỳ của các dãy2.2 Dùng định nghĩa chứng minh rằng

2.3 Xét sự hội tụ, phân kỳ của các dãy

2.4 Tìm giới hạn của các dãy

C Kết luận

Tài liệu tham khảo.

Trần Văn Ân(Chủ biên) -Toán cao cấp -NXB Giáo dục

GS Vũ Tuấn -Giáo trình giải tích toán học (tập 1,2) -NXB Giáo dục