TL: Đoàn TNCS HCMTH đón nhận Huân chương độc lập hạngnhất tại ĐH XVII

Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P).[r]

Kiểm tra học kỳ II

Môn: Toán 11 Nâng cao- 2009-2010 Thời gian : 90 phút

*****

Câu I : (2 điểm) Tính các giới hạn sau :

1 lim

x

x A

 





1 cos cos3 lim

x

B

x







Câu II : (2 điểm)

1 (1đ) Cho hàm số :

2

1 1 khi 0 ( )

1 khi 0

x

x

  

Tìm m để hàm số f liên tục tại x  0

2 (1đ) Cho phương trình :  m4  m  1  x2010  x5  32 0 

(m là tham số)

Chứng minh phương trình trên luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của

tham số m.

Câu III : (3 điểm)Tìm và xét dấu đạo hàm

a (1đ)

( )

1

f x

x

 



 (1đ) b f x ( )  4  x  6  x

2 (1đ) Cho hàm số

2

2 1

x y x



 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho,

biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

4 9

y  x

.

Câu IV : (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a

và góc Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = 2 a.

1 (1đ) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

2 (1đ) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.

3 (1đ) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC Xác

định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) Tính diện tích của

thiết diện này theo a.

-HẾT -ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1

A

1

lim

2

x

x x

 



0,25 0,25 0,25 0,25 2

Vì

1

2

2

L

0,25

2 0

1 cos

lim

x

x x





=

2 2 0

sin 2 lim 2 2

x

x x

 

  =

1

2và

2

3 sin

4

9 2

x x



0,25

nên 2

1 9 5

4 4 2

L   

0,25

1

2

f x

 

x f x f



1

2

Hàm số f x ( )   m4  m  1  x2010 x5 32

là hàm đa thức nên liên tục trên , do đó nó liên tục trên đoạn  0 ; 2  .

0,25

(0) 32 0



0,50

Suy ra f (0) (2) 0, f     m nên phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc khoảng (0 ;

2) nên nó luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m. 0,25

( )

1

f x

x

 



 

2

2

2 5 '( )

( 1)

f x

x

 



'( ) 0, 1

2

f x   x   x 

'( )

f x



'( ) 0, ( 4,6)

f x     x

0,25 3

Gọi M x y  0; 0 là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho.

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng ( ) : d y y  0  f x '( )(0 x x  0)

với

 

2

'

o

f x

x







Do

'

y

0,25

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  3 x khi và chỉ khi :  0

4 '

9

2 2

9

o

x







9.(2 xo2  2 ) 4 2 xo   x0 1 2  2 xo2 2 xo 4 0  xo=1, xo=2

0,25

với x 0 1 thì 0

1 3

y 

nên ta có phương trình tiếp tuyến là 1

( ) :

với x 0 2 thì 0

4 3

y 

nên ta có phương trình tiếp tuyến là 2

( ) :

1 Vì SA (ABCD)  nên AC là hình chiếu của SC lên mp(ABCD), do đó góc giữa đường thẳng

SC và mp(ABCD) bằng góc giữa đường thẳng SC và AC và bằng góc SCA.

0,25

ABCD là hình vuông  tanSCA=1  SCA= 45o 0,5

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) bằng góc SCA và bằng 45o 0,25

SA(ABCD)SABC(2) Từ (1), (2) suy ra BC (SAB) 0,5

3 Gọi K là hình chiếu của A lên SC, suy ra AH SC  (3)

Gọi I là giao điểm của SO và AH Qua I, vẽ MN // BD

Vì BD (SAC)  nên MN (SAC)  , do đó MN SC  (4)

Từ (3), (4) suy ra (AMHN)  SC nên mặt phẳng (P) chính là mặt phẳng (AMHN)

0,25

Suy ra thiết diện là tứ giác AMHN

MN (SAC)



  Vậy tứ giác AMHN có hai đường chéo vuông góc

0,25

AH là đường cao của tam giác vuông cân SAC nên AH = a

MN // BD

MN SI 2

BD  SO  3 (vì I là trọng tâm của SAC), suy ra

2

3



Mà BD = a 2 nên MN =

3

a

0,25

AMHN

1

2



2

a

(đvdt)

0,25 HẾT