Picture English 11 - Unit 7

[r]

đề tài : Tìm lời giải, Khai thác và mở rộng một vài dạng toán

chứng minh bất đẳng thức có điều kiện cho trớc

a/- Đặt vấn đề:

1 Lý do chọn đề tài:

- Khi gặp bài toán dạng chứng minh bất đẳng thức với điều kiện ràng buộc cho trớc

đa số HS lớp 8, 9, kể cả những HS khá giỏi cũng đều gặp lúng túng và khó khăn trong việc tìm lời giải, đặc biệt những dạng toán này thờng gặp trong các kì thi HSG lớp 8, lớp

9 và thi vào trờng chuyên lớp chọn bậc THPT, vì vậy điều khiển cho HS tìm lời giải gọn

và đẹp, đồng thời khai thác và mở rộng bài toán là điều hết sức quan trọng cho các em

- Qua thực tiển giảng dạy, bồi dỡng học sinh giỏi tôi đã đa vào áp dụng và thấy đợc hiệu quả rất tốt

2 Mục đích nghiên cứu:

- Tìm lời giải, khai thác và mở rộng một vài dạng toán chứng minh bất đẳng thức có

điều kiện cho trớc nhằm tạo tính hứng thú cho các em học sinh khá và giỏi ở bậc THCS để

từ đó các em không bị lúng túng khi gặp dạng toán này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Đề ra phơng pháp giải một vài dạng toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ràng buộc ở bậc THCS theo hớng phát hiện và giải quyết vấn đề

4 Giả thuyết khoa học:

- Nếu vận dụng tốt phơng pháp dạy học giải quyết vấn đề vào việc phát hiện, tìm lời giải một số dạng toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ràng buộc sẽ góp phần phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo, hình thành cho học sinh năng lực tự giải quyết vấn đề, nâng cao chất lợng dạy và học toán

5 Phơng pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu SGK, toán tuổi thơ, thế giới trong ta, báo tài liệu liên quan,…

- Điều tra tổng kết kinh nghiệm

- Thực nghiệm s phạm

B/- Giải quyết vấn đề:

Ví dụ 1:

Bài toán 1.1:

Chứng minh rằng nếu a + b 1 thì a2 + b2 1

2

Lời giải:

(a2 + b2 −1

2 ) + (1- a - b ) = (a

2

− a+1

4)+(b

2

−b +1

4)=(a −1

2)2+(b−1

2)2≥ 0

2≥ 0 => a 2 + b 2

1

2

Bài toán trên có thể mở rộng nh sau:

Bài toán 1.2:

Chứng minh rằng nếu :

a + b +c 1 thì a2 + b2 + c2 1

4

( Bài giải cho bài toán này cũng tơng tự nh lời giải bài toán 1)

Lời giải:

Ta có: (a2 + b2 + c2 −1

4 ) + (1- a - b - c) = =

c2− c+1

4=(a −1

2)2+(b −1

2)2+(c −1

2)2≥ 0

(a2− a+1

4)+(b

2

− b+1

4)+¿

Mà 1− a −b − c ≤ 0 ( vì a + b+c 1 )

Do đó a 2 + b 2 + c 2 −1

4≥ 0 => a 2 + b 2 + c 2

1

Có thể mở rộng thêm bài toán mới có cách giải tơng tự nh sau:

Bài toán 1.3: Cho a + b + c + d = 2 Chứng minh rằng a2 + b 2 + c 2 + d 2 1

Lời giải:

Ta có: (a2 + b2 + c2+ d2 - 1 ) + (2- a - b – c - d) = =

(a2− a+1

4)+(b

2−b +1

4)+(c

2−c +1

4)+(d

2−d −1

4)=(a −1

2)2+(b −1

2)2+(c −1

2)2+(d −1

2)2≥ 0

Mà 1− a −b − c − d=0 ( vì a + b+c+d ¿ 1 )

Do đó a 2 + b 2 + c 2 +d2 −1 ≥ 0 => a 2 + b 2 + c 2 +d 2 1 (Đpcm)

2

Phơng pháp giải trên cũng có thể áp dụng gọn gàng và hiệu quả cho bài toán sau:

Bài toán 1.4:

a - b ¿ 1 với a2 + b2 1

2 ( Đề thi HSG lớp 8 Huyện Đức Thọ năm học 2006 2007– )

Lời giải:

(a2 + b2 −1

2 ) + (1- a + b ) = (a

2

− a+1

4)+(b

2

+b+1

4)=(a −1

2)2+(b+1

2)2≥ 0

Mà 1− a+b=0 ( vì a - b ¿ 1 ) Do đó a 2 + b 2 −1

2≥ 0 => a 2 + b 2

1

1 2

Ví dụ 2:

Bài toán 2.1: Chứng minh rằng nếu a+b ≥ 2 thì a4+b4 a 3 + b 3

(Đề thi HSG toán 9, quận 1, TP HCM,2001 2002) –

Lời giải:

Ta có: (a 4 +b 4 a – 3 b – 3 ) + ( 2- a- b) = a 4 a – 3 a + 1 + b – 4 b – 3 b + 1= –

[ (a+1

2)2+ 3

4] + (b 1) – 2

[ (b+1

2)2+ 3

4]

0

Mà 2 – a – b 0 ( vì a+b ≥ 2 ) Do đó a4

+b4 - a3 – b3 0 => a4

Bài toán 2.2:: Chứng minh rằng nếu: a+b +c ≥ 3 thì a 3 + b 3 +c 3 a4

+b4 +c 4

(Đề thi chọn đội tuyển HSG 9 Trờng THCS Lê Quý Đôn, Quận 3,

Lời giải:

Ta có: (a 4 +b 4 + c 4 a – 3 b – 3 c – 3 ) + ( 3 a - b c ) = – –

a 4 a – 3 a + 1 + b – 4 b – 3 b + 1 + c – 4 c – 3 c + 1 = –

[ (a+1

2)2+ 3

4] + (b 1) – 2

[ (b+1

2)2+ 3

4] +(c 1) – 2

[ (c +1

2)2+ 3

=> a 3 + b 3 +c 3

Khai thác và mở rộng từ bài toán trên, ta đợc bài toán tổng quát sau:

Bài toán 2.3

Cho k số a 1 ; a 2 ; ; a k có a 1 + a 2 + + a k k

CMR: a 1 + a 2 + + a k 4  a 1 + a 2 + + a k 3

Việc chứng minh bài toán trên ta cũng áp dụng phơng pháp trình bày nh các bài toán cụ thể trên:

Lời giải :

Ta có: a 1 +a 2 4 + … + a k 4 - a 1 - a 2 3 - … - a k 3 + ( k a – 1 - a 2 –… - a k ) =

(a ❑1 4 a – ❑1 3 a – 1 +1) +(a 2 a – ❑2 3 a – 2 +1 )+ … +( a ❑k 4 a– ❑k 3 a–k +1) = a ❑1 3 (a 1 - 1) (a– 1 - 1) + a ❑2 3 (a 2 -1) (a– 2 -1) + … + a ❑k 3 (a k -1) (a– k -1) =

= (a 1 - 1) 2 (a 1 + a 1 + 1) +(a 2 - 1) 2 (a 2 + a 2 + 1) + … + (a k - 1) 2 (a k 2 + a k + 1) =

= (a 1 1)– 2

[ (a1+ 1

2)2+ 3

4] + (a 2 1)– 2

[ (a2+ 1

2)2+ 3

4] + … +(a k 1)– 2

[ (a k+ 1

2)2+ 3

Mà k a– 1 a–2 - … - a k 0 ( vì a 1 + a 2 + + a k k)

Do đó a 1 +a 2 4 + … + a k 4 - a 1 - a 2 3 - … - a k 3 0

Suy ra: a 1 + a 2 + + a k 4  a 1 + a 2 + + a k 3 (Đpcm)

Từ bài toán 2.3 ta có thể đề xuất và mở rộng thêm bài toán sau:

Bài toán 2.4

Cho k số dơng a 1 ; a 2 ; ; a k có a 1 + a 2 + + a k k

CMR: a 1 + a 2 + + a k n  a 1 m + a 2 m + + a k m (*) m ; n  N ; n > m.

Lời giải

Vì n > m Giả sử a m = a n-1 , theo điều kiện của bài toán ta sẽ chứng minh:

a 1 + a 2 + + a k n  a 1 n-1 + a 2 n-1 + + a k n-1 m ; n  N

Ta có: a 1 n + a 2 + + a k n - a 1 n-1 - a 2 n-1 - - a k n-1 +k a– 1 a–2 - … - a k =

=(a 1 a–1 n-1 - a 1 +1) +(a 2 a–2 n-1 - a 2 +1)+ … + (a k n a–k n-1 - a k +1) =

= (a 1 -1) (a 1 n-1 - 1) +(a 2 -1) (a 2 n-1 - 1)+ … + (a k -1) (a k n-1 - 1) =

=(a 1 -1) 2 (a 1 n-2 +a 1 n-3 + … + 1) +(a 2 -1) 2 (a 2 n-2 +a 2 n-3 + … +1) + … +

+ (a k -1) 2 (a k n-2 +a k n-3 + … + 1)  0 (**)

Do ai n − 1 −1=0 ( i =1;2;3; … ;k) có nghiệm duy nhất , nên:

a1n − 2+a1n −3+ + 1=0 vô nghiệm

Vậy a1n − 2+a1n −3+ .+1>0

Nên (**) đúng  (*) đúng.

Trong bài toán 2.4 nếu bỏ điều kiện a ❑i dơng( i =1;2;3; … , ta có bài toán sau: ;k)

Bài toán 2.5: Cho k số a 1 ; a 2 ; ; a k có a 1 + a 2 + + a k k

CMR: a12 n

+a22n+ +ak 2 n ³ a12 n −1

+a22 n −1

nẻN rSup \{ size 8\{*\} \} \} \{

¿

(***)

Việc chứng minh bài toán 2.5 hoàn toàn tơng tự giống nh bài toán 2.4

Lời giải

Ta có: a 1 2n + a 2 2n + + a k 2n - a 1 2n-1 - a 2 2n-1 - - a k 2n-1 +k a– 1 a–2 - … - a k =

=(a 1 2n a–1 2n-1 - a 1 +1) +(a 2 2n a– 2 2n-1 - a 2 +1)+ … + (a k 2n a–k 2n-1 - a k +1) =

= (a 1 -1) (a 1 2n-1 - 1) +(a 2 -1) (a 2 2n-1 - 1)+ … + (a k -1) (a k 2n-1 - 1) =

=(a 1 -1) 2 (a 1 2n-2 +a 1 2n-3 + … + 1) +(a 2 -1) 2 (a 2 2n-2 +a 2 2n-3 + … +1) + … +

+ (a k -1) 2 (a k 2n-2 +a k 2n-3 + … + 1)  0 (****)

Do a i 2 n −1 −1=0 ( i =1;2;3; … ;k) có nghiệm duy nhất , nên:

a i 2 n −2

+a i 2 n −3+ +1=0 vô nghiệm Vậy a i 2 n −2+a i 2 n −3+ +1>0

Nên (****) đúng  (***) đúng.

C/- Một số bài tập tự giải:

1 Cho a + b + c + d +e = 2 Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + d 2 +e 2 3

4

2 Cho a 1 + a 2 + a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 +a 8 = 3 Chứng minh rằng

3 Cho a + b + c + d + e = 5 chứng minh rằng:

a 4 + b 4 + c 4 + d 4 + e 4 a 3 + b 3 + c 3 + d 3 + e 3

4 Cho x, y là các số dơng thoã mãn: x 3 + y 4 x2+y3

Chứng minh rằng: a) x 3 + y 3 x2

+y2

b) x 2 + y 3 x+ y2

5 Cho hai số dơng x, y thoã mãn x 3 + y 3 = x y – Chứng minh rằng: x 2 + y 2 < 1

D/- Kết luận :

- Trên đây chỉ là một vài dạng toán chứng minh bất đẳng thức với điều kiện ràng buộc cho trớc thờng gặp trong các kì thi HSG lớp 8, 9 và các kì thi tuyển vào trờng chuyên lớp chọn THPT

- Song khi tiếp cận tuỳ thuộc vào từng dạng toán mà GV phải hớng dẩn đồng thời khai thác và mở rộng để các em học sinh tiếp thu một cách chủ động, sáng tạo và biết vận

dụng linh hoạt vào các kì thi (nếu gặp)

- Trong quá trình vận dụng vào giảng dạy, tôi thấy học sinh phần lớn nắm đợc bài, tự tin hơn khi gặp dạng toán nêu trên và vận dụng vào giải một cách nhanh chóng, hiệu quả đợc nâng lên rõ rệt

- Trong bài viết này chỉ là một phần nhỏ trong nhiều dạng toán chứng minh bất đẳng thức với điều kiện ràng buộc cho trớc, không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong các đồng nghiệp góp ý và xây dựng để khai thác và mở rộng một cách chuyên sâu và tổng quát hơn nhằm giúp cho các em học sinh thấu hiểu một cách sâu sắc Tôi xin chân thành cảm ơn./

Tháng 04 năm 2008