Giáo án Đại số 11 - Tiết 64 đến tiết 66: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Hãy tính giới hạn sau: lim x 1 x 1 3.Bài mới: Hoạt động của thầy và trò Nội dung Phát triển năng lực Hoạt động 1: Xây dựng khái niệm đạo I.Đạo hàm của hàm số tại một điểm: 1.Phát triển[r]

Cụm tiết:64,65,66 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Ngày soạn:

I.Mục tiêu

1.Kiến thức: Nắm vững

1.Kiến thức:

-Các bài toán dẫn đến đạo hàm

-Nắm được đạo hàm của hàm số tại một điểm, ý nghĩa của nó: về cả vật lí và Toán học

-Nắm được mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số

-Nắm dược các phương pháp tính đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa

-Xây dựng được công thức tính đạo hàm trên một khoảng

2.Kỹ năng:

-Tính được đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa

-Viết được phương trình tiếp tuyến của một hàm số tại một điểm, qua một điểm,

3.Tư duy – thái độ:

- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài

- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt

- Có thái độ hợp tác cùng nhau

4.Phát triển năng lực:

- Nhóm năng lực cá nhân

- Nhóm năng lực tư duy logic

- Nhóm năng lực hoạt động nhóm

-Năng lực tự khám phá đường đi mới , hướng đi mới,

-Năng lực hợp tác và giúp đỡ khám phá

II.Chuẩn bị

1.Chuẩn bị của Gv:

- Soạn giáo án, các tài liệu liên quan

- Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…

- Bảng phụ: Vẽ đồ thị của các hàm số liên quan đến bài dạy và bảng giá trị của các hàm số cần thiết

2.Chuẩn bị của học sinh:

- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp

- Ôn lại các kiến thức đã học của chương

III.Phương pháp:

1.Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề ( chủ đạo )

2.Phương pháp trực quan quan thông qua các ví dụ và một số công thức cụ thể

3.Phương pháp hoạt động nhóm

4.Phương pháp phát triển năng lục cá nhân thông các bài tập khó

IV.Tiến trình bài dạy và các hoạt động: Tiết 64

1.Ổn định, sĩ số

2.Kiểm tra bài cũ: Cho hàm số y f x x21 Hãy tính giới hạn sau:    

1

1 lim

1

x

f x f x







3.Bài mới:

Hoạt động 1: Xây dựng khái niệm đạo

hàm

1.Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo

hàm:

Bài toán 1: tính vận tốc tức thời chuyển

động của một chất điểm

Trong khoảng thời gian từ t0 đến t chất

điểm đi được một quãng đường là:

s s 0 s t   s t 0

Vận tốc là đại lượng đặc trưng cho mức

độ nhanh chậm của chuyển động?

Vận tốc tức thời tại điểm là đại lượng t0

đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của

chuyển động tại điểm t0 :    

0

0

t t

0

s t s t lim

t t







HS ghi nhận định nghĩa vận tốc tức thời

I.Đạo hàm của hàm số tại một điểm:

1.Bài toán tìm vận tốc tức thời

-Một chất điểm M chuyển động trên trục s Os'

Nhận xét:

-Quãng đường s chuyển động là một hàm số theo thời gian t,

Ta viết là s s t  

-Trong khoảng từ đến t thì chất điểm chuyển động được t0 một quãng đường là: s s 0 s t   s t0

-Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ số

là hằng số với mọi t

   0 0

s t s t

s s







+Đó là vận tốc chuyển động của mọi chất điểm +Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình chuyển động của chất điểm trong khoảng thời gian t t 0

-Khi t càng gần với thì vận tốc trung bình càng thể hiện t0

1.Phát triển năng lực cá nhân

-Khả năng quan sát, phân tích và xử lí các

số liệu liên quan -Tăng khả năng suy luận, cách biến đổi

từ vận tốc trung bình sang vận tốc tức thời,

-Xây dựng chắc chắc định nghĩa đạo hàm, cách tính đạo hàm bằng định nghĩa sử dụng số gia đối số và

số gia hàm số

Lop11.com

của chuyển động

Bài toán 2: tìm cường dòng điện tức thời

Tương tự GV dẫn dắt và cho HS ghi nhận

kiến thức về cường độ tức thời của dòng

điện

2.Xây dựng định nghĩa đạo hàm của

hàm số tại một điểm

Hoạt động 2: Xây dựng cách tính đạo

hàm bằng định nghĩa của hàm số tại

một điểm sử dụng các đại lượng số gia

đối số và số gia hàm số:  x y,

Bước 1:

Giả sử  x x x  0: số gia đối số tại x0

Suy ra: x x x 0

    0 0   0

:số gia h/s tương ứng

Bước 2:lập tỉ số y

x





Bước 3:Kết luận

 0  0 x 0

y y' x f ' x lim

x

 





Hoạt động 3: Các bài tập áp dụng

Bài tập 1: Hướng cho học sinh đường đi

Vận dụng được công thức

Phát triển năng lực tính toán

Bài tập 2: Hoạt động cá nhân

Hoạt động 4: Mối quan hệ giữa sự tồn

tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm

số

-Xây dựng định lí và giải thích định lí

thông qua các dạng đồ thị: nếu tại điểm

hàm số vẫn liên tục nhưng đồ thị của

0

x

nó bị “gãy” thì hàm số không có đạo hàm

tại điểm đó.

được tính chính xác mức độ nhanh, chậm của chất điểm tại

thời điểm t0 -Suy ra: Nếu     hữu hạn thì nó được gọi là vận

0

0

t t

0

s t s t lim

t t







tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0

2.Bài toán tìm cường độ tức thời: (tham khảo sgk) 3.Định nghĩa

Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng K và x 0K Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn):     thì giới hạn

0

0

x x

0

f x f x lim

x x







đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x 0

Được kí hiệu:   hoặc

0

'x

y f x' 0

Định nghĩa:      

0

0

0

f x f x

f ' x lim

x x









Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Bước 1:

Giả sử  x x x  0: số gia đối số tại x0

:số gia h/s tương ứng

    0 0   0

Bước 2:lập tỉ số y

x





Bước 3:Kết luận  0  0

x 0

y y' x f ' x lim

x

 





4.Bài tập áp dụng:

Bài tập 1:

Tính đạo hàm của hàm số y f x 2x5 tại x03

*Đặt       x x 3 x 3 x

 y f3  x f 3  2 x

Suy ra: y 2

x





 Vậy:  3

0

x

y y

x

 





Bài tập 2:

Tính đạo hàm của hàm số y f x x2 x 1 tại x00

*Đặt     x x x x

 y f  x f 0    2x x

Suy ra: y x 1

x



  



y

x





Định lí: Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại x0thì nó liên tục tại điểm đó

Lưu ý:

Điều ngược lại chưa chắc đã đúng Hàm số gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó

2.Phát triển nhóm thông qua các hoạt động cá nhân

Dựa trên năng lực của mỗi học mà ta chia nhóm hoạt động

để giải quyết bài tập 1,2.

-Tăng cường khả năng tính toán logic, suy luận logic và tính chính xác, khoa học trong làm bài -Tăng cường tinh thần hợp tác và hướng đi mới từ các nhóm (gv tác động)

III Củng cố

- Nắm chắc phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa

- Thấy được mối liên hệ với tính kiên tục của hàm số

IV Hướng dẫn HS học và làm bài tập ở nhà: bài tập sgk

V Rút kinh nghiệm

Lop11.com

………

ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

IV.Tiến trình bài dạy và các hoạt động: Tiết 65

1.Ổn định, sĩ số

2.Kiểm tra bài cũ: Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra

1/ y x 2x tại x01 2/ 1 tại

1

x y x





 x00

Kết quả:

x 1 1

 

3.Bài mới:

Hoạt động 1: Ý nghĩa hình học của đạo

hàm và phương trình tiếp tuyến

-Xây dựng đồ thị và giải thích ý nghĩa

hình học của đạo hàm bằng đồ thị

5

T

(C)

M0

M

Trên đồ thị lấy lấy hai điểm :

,

 

0 0; 0

M x f x M x 0 x f x;  0  x 

Ta thấy: M0M tạo với chiều dương của

trục Ox một góc  Hãy xác định giá trị

tg?

-Nhắc lại: hệ số góc của đường thẳng (d):

y ax b  , trong đó: atan

-Thông qua ý nghĩa hình học của đạo hàm

ta có: hệ số góc cát tuyến M0M

Khi nào cát tuyến M0M trở thành tiếp

tuyến M0T?  nội dung định lý  Nêu

ý nghĩa của đạo hàm?

-Khi M tiến dần về M0 thì cát tuyến

M0M trở thành tiếp tuyến M T0

-Suy ra: đạo hàm của hàm số tại điểm x0

trở thành hệ số góc của tiếp tuyến.

-Từ phương trình đường thẳng đã học,

hãy xây dựng phương trình tiếp tuyến của

đường cong

-Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

5.Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

a/ Định nghĩa tiếp tuyến đường cong phẳng:

Trên mp(Oxy) cho đường cong (C) là đồ thị của hàm số

 

y f x M x f x0 0;  0  C M x f x ;   

bất kì chạy trên đường cong (C) Ta có: đường thẳng M M0

là một cát tuyến của đường cong (C) Nhận xét:

-Khi xx0 thì M x f x ;    di chuyển trên (C) tới điểm

và ngược lại.

 

0 0; 0

M x f x -Nếu cát tuyến M M0 có vị trí giới hạn thì M M0 được gọi là

tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm x0 -Điểm M x f x0 0;  0  được gọi là tiếp điểm

*Lưu ý: Ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song với trục Oy

b/ Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại x0  (a;b) Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó

Hệ số góc của cát tuyến M0M là y

tg

x

 



Định lý 1: Đạo hàm của hàm số y f x  tại điểm x0 là hệ

số góc của tiếp tuyến M T0 của (C) tại điểm M x f x0 0;  0 

c/ Phương trình tiếp tuyến:

Định lý 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số

 

y f x M x f x0 0;  0 

1.Phát triển năng lực

cá nhân

-Kĩ năng quan sát và đọc đồ thị

-Khả năng nhận xét và suy luận logic về vị trí của M và M0, đường

đi, hướng di chuyển của cát tuyến M M0 khi M dần về M0 -Tái hiện và củng cố các kiến thức về đường thẳng để xây dựng phương trình tiếp tuyến

2.Phát triển nhóm

Thông qua nhóm để phát triển các vấn đề

Lop11.com

Hoạt động 2: Đạo hàm trên một khoảng,

một đoạn Các bài tập cuảng cố lí thuyết

-Gv trình bày lí thuyết đạo hàm của hàm

số tại một điểm

-Học sinh hoạt động nhóm làm bài tập

củng cố: 1,2,3

-Chủ yếu là hình thành tư duy logic,

đường đi và cách hành văn

-Xây dựng cho học hướng đi đúng và

hướng đi mới theo tư duy mới của học

sinh

y y 0 y' x0 x x 0 trong đó y0 y x0  f x 0

* Vận tốc tức thời: v(t0) = s’(t0) = f’(t0)

* Cường độ tức thời: It = Q’(t) +y = f(x) có đạo hàm trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại  điểm (a;b)

+y = f(x) có đạo hàm trên [a;b] nếu nó có đạo hàm tại  điểm (a;b) và có y’(a+), y’(b-)

*Qui ước: hàm số y = f(x) có đạo hàm là có trên tập xác định của nó

II.Đạo hàm trên một khoảng 1.Định nghĩa:

Hàm số y f x  được gọi là có đạo hàm trên khoảng nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

 a b;

Có nghĩa là: f': ; a b  A

x  f x' 

Được kí hiệu là: y', f x'  hoặc y' x

2.Ví dụ:

1/ Hàm số y x 2 có đạo hàm y' 2 xtrên khoảng  ;  2/ Hàm số y 1 có đạo hàm là trên các khoảng

x

x





và

;0 0;

Bài tập củng cố:

1/ Sử dụng định nghĩa để tính đạo của hàm số

tại điểm

2 3 4

y x  x x02

2/ Chứng minh rằng hàm số 1 có đạo hàm là hàm số

3

x y x





 trên hai khoảng và

 2

2 '

3

y x





3/ Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y x 32 tại:

a/ Điểm có hoành độ bằng 1 b/ Điểm có tung độ bằng 29

sau:

-Khả năng tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

-Khả năng suy luận để viết được phương trình tiếp tuyến của một đường cong với các điều kiện cho trước

-Tăng cường khả năng suy luận logic và tính toán khoa học

-Phát triển các hướng suy nghĩ mới, đường

đi mới và cách hành văn hay, lạ,

3 Củng cố

- Nắm được ý nghĩa hình học của đạo hàm

- Phương trình tiếp tuyến của đường cong

4 Hướng dẫn học sinh học và làm bài tập ở nhà:

- Chuẩn bị bài tập 4, 5, 6, 7

V Rút kinh nghiệm

………

………

Lop11.com

ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM BÀI TẬP

IV.Tiến trình bài dạy và các hoạt động: Tiết 66

1.Ổn định, sĩ số

2.Kiểm tra bài cũ: Lồng vào tiết học

3.Bài mới:

Hoạt động 1: Ôn lại cách sử dụng định nghĩa

để tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Bước 1: đặt   x x x0  x x0 x

Bước 2: Tính  y f x 0  x f x 0

Bước 3: Tính y và tính

x



x

y x

 



 Bước 4: kết luận  

'x lim

x

y y

x

 







Sử dụng các bước trên làm các bài tập 1,2,3

Hoạt động cá nhân

-Gọi lần lượt từng học sinh lên bảng và nhận

xét, sữa chữa tại chỗ

-Học sinh tự đánh giá và ghi nhận, chép bài vào

vở

Lưu ý:

-Nếu tính đạo hàm trên một khoảng thì ta thay

x cho , có nghĩa là: x0  y f x   x f x 

-Cung cấp cho học sinh kiến thức đạo hàm một

bên để áp dụng làm các bài tập cần thiết, định

nghĩa tương tự giới hạn một bên:

+Đạo hàm bên phải:

0

0 0

0

x x

f x f x

f x

x x













+Đạo hàm bên trái:

0

0 0

0

x x

f x f x

f x

x x













Bài tập sách giáo khoa:

Bài tập 1/156:

Tính số gia của hàm số f x x3, biết rằng:

1/ x0   1, x 1 2/ x0    1, x 0,1

Hướng dẫn và kết quả:

Bài tập 2/156:

Tính yvà y của các hàm số sau theo và

x



1/ y2x5 2/ y x 21 3/ y2x3 4/ y 1

x



Hướng dẫn và kết quả:

1/ y2x5

Ta có:  y 2x   x 5 2x  5 2 x

Suy ra: y 2

x





 2/ y x 21

Ta có:   2   2 

Suy ra: y 2x

x





 3/ y2x3

Suy ra: y 2 3 x2 3x x 2x

x

 4/ y 1 x



Ta có:

y



Suy ra:

 1 

y



Bài tập 4/156:

Chứng minh rằng hàm số    2

2

f x



 



Không có đạo hàm tại điểm x00 nhưng có đạo hàm tại điểm x0 2

Hướng dẫn và kết quả:

Tinh thần hoạt động nhóm thông qua các hoạt động

cá nhân

Thông qua nhóm để tái hiện và củng các kiến thức mà mỗi cá nhân đã được học ở tiết trước.

-Thông qua bài tập 1,2,4: phát triển năng lực cá nhân chủ yếu ở hai vấn đề

+1: Khả năng phân tích hằng đẳng thức, khả năng thế

số và tính toán +2: Cách xây dựng các công thức đạo

sẽ được xây dựng ở tiết tiếp theo thông qua cách tính đạo hàm bằng định nghĩa trên một khoảng,

Lop11.com

Hoạt động 2: Viết phương trình tiếp tuyến

của hàm số tại một điểm, điều kiện khác

Nếu là tiếp tuyến của hàm số  y f x  tại

điểm M x f x0 0;  0  có phương trình là:

y y 0 y' x0 x x 0

Các dạng toán thông thường:

1/ Tại điểm có hoành độ x0

Ta cần tìm hai đại lượng còn lại: y x'   0 ,y x0

2/ Tại điểm có tung độ y0

Ta tìm hai đại lượng còn lại: x y x0, ' 0

3/ Biết trước hệ số góc: k y x' 0

Ta tìm hai đại lượng còn lại: x y0, 0

Tổ chức cho học sinh hoạt động nhóm làm bài

tập 3,5,6 sách giáo khoa trang 156

Ta có:

Với x0:    2

1

f x  x

0

f x f

x x



Với x0: f x  x2

0

f x f

x x



Quan sát, ta thấy hai kết quả khác nhau Suy ra: đạo hàm của hàm số tại điểm x00 không tồn tại

Tương tự, tính đạo hàm tại điểm x0 2

Bài tập 3,5,6/156: Hoạt động nhóm

4.Củng cố

- HS ôn tập lại cách tính đạo hàm tại một điểm và viết phương trình tiếp tuyến của đường con

5.Hướng dẫn HS học và làm bài tập

Làm các bài tập còn lại

Chuẩn bị trước bài mới

V.Rút kinh nghiệm:

Lop11.com