Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh Cho ∆ABC nhọn.. Lời giải : Gọi O là tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC.[r]
Trang 1Ch ương 2 :
Các phương pháp ch ng minh
Ch ng minh b t ự ng th c ựòi h i k năng và kinh nghi m Không th khơi khơi mà ta ựâm ự u vào ch ng minh khi g p m t bài b t ự ng th c Ta s xem xét nó thu c d ng bài nào, nên dùng phương pháp nào ự ch ng minh Lúc ựó vi c ch ng minh b t ự ng th c m$i thành công ựư&c
Như v'y, ự có th ựương ự u v$i các b t ự ng th c lư&ng giác, b n ự+c c n n,m v-ng các phương pháp ch ng minh đó s là kim ch0 nam cho các bài b t ự ng th c Nh-ng phương pháp ựó cũng r t phong phú và ựa d ng : t2ng h&p, phân tắch, quy ư$c ựúng, ư$c lư&ng non già, ự2i bi4n, ch+n ph n t5 c6c tr8 Ầ Nhưng theo ý ki4n ch: quan c:a mình, nh-ng phương pháp th't s6 c n thi4t và thông d<ng s ựư&c tác gi= gi$i thi u trong
chương 2 : ỘCác phương pháp ch ng minhỢ
M<c l<c :
2.1 Bi4n ự2i lư&ng giác tương ựương ẦẦẦ 32
2.2 S5 d<ng các bư$c ự u cơ s? ẦẦẦ 38
2.3 đưa v@ vector và tắch vô hư$ng ẦẦẦ 46
2.4 K4t h&p các b t ự ng th c c2 ựi n ẦẦẦ 48
2.5 T'n d<ng tắnh ựơn di u c:a hàm sA ẦẦẦ 57
2.6 Bài t'p ẦẦẦ 64
Trang 2Tr ư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
Có th nói phương pháp này là m t phương pháp “xưa như Trái ð t” Nó s d ng các công th c l ư ng giác và s bi n ñ i qua l i gi!a các b t ñ"ng th c ð có th s d ng
t #t phương pháp này b n ñ%c c&n trang b' cho mình nh!ng ki n th c c&n thi t v* bi n ñ i
l ư ng giác (b n ñ%c có th tham kh,o thêm ph&n 1.2 Các ñ ng th c,b t ñ ng th c trong tam giác)
Thông th ư-ng thì v/i phương pháp này, ta s1 ñưa b t ñ"ng th c c&n ch ng minh v*
d ng b t ñ"ng th c ñúng hay quen thu c Ngoài ra, ta cũng có th s d ng hai k t qu, quen thu c sinx ≤1; cosx ≤1
Ví d 2.1.1
CMR :
7 cos 3 14 sin 2 14 sin 1
π π
π
>
−
L i gi i :
Ta có :
( )1 7
3 cos 7
2 cos 7 cos 14
sin 2 14 sin 1
7
3 cos 7
2 cos 7
cos 14 sin 2
14
5 sin 14
7 sin 14
3 sin 14
5 sin 14
sin 14
3 sin 14 sin 1
π π
π π
π
π π
π π
π π
π π
π π
π
+ +
=
−
⇒
+ +
=
− +
− +
−
=
−
M t khác ta có :
( )2 7
cos 7
3 cos 7
3 cos 7
2 cos 7
2 cos 7 cos
7
2 cos 7
4 cos 7
cos 7
5 cos 7
3 cos 7
cos 2
1 7 cos
π π π
π π
π
π π
π π
π π
π
+ +
=
+ +
+ +
+
=
ð t
7
3 cos
; 7
2 cos
; 7
=
=
x
Khi ñótC ( ) ( )1, 2 ta cób t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v$i :
x+y+z > 3(xy+yz+zx) ( )3
mà x,y,z>0 nên :
( )3 ⇔(x−y)2 +(y−z)2 +(z−x)2 >0 ( )4
Trang 3Vì x,y,z ñôi m t khác nhau nên ( )4 ñúng ⇒ ñpcm
Nh ư v7y, v/i các b t ñ"ng th c như trên thì vi8c bi n ñ i lư ng giác là quy t ñ'nh
s #ng còn v/i vi8c ch ng minh b t ñ"ng th c Sau khi s d ng các bi n ñ i thì vi8c gi,i quy t b t ñ"ng th c tr: nên d; dàng th7m chí là hi n nhiên (!)
Ví d 2.1.2
CMR : a2 +b2 +c2 ≥2(absin3x+cacos2x−bcsinx)
L i gi i :
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v$i :
0 cos
cos 2 sin 2 2 sin
sin 2 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin
2
cos
sin 2 2 cos 2
cos 2 sin 2 cos sin 2 cos
sin 2
cos
2
sin
2 2
2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
2
≥
− +
−
−
⇔
≥ +
− +
+
−
− + +
⇔
− +
+ +
≥ + +
+ +
x b x a c x b x
a
x b
x x ab x a
x bc x ca x x ab c
x b
x
a
x bc x ca
x x x
x ab c
x x
b x x
a
B t ñ ng th c cuAi cùng luôn ñúng nên ta có ñpcm
Ví d 2.1.3
CMR v /i ∆ABC b t kỳ ta có :
4
9 sin
sin sin2 A+ 2 B+ 2C≤
L i gi i :
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v$i :
0 sin
4
1 2
cos cos
0 4
1 cos
cos cos
0 4
1 2 cos 2
cos 2
1 cos
4
9 2
2 cos 1 2
2 cos 1 cos 1
2 2
2 2 2
≥
− +
−
⇔
≥ +
−
−
⇔
≥ + +
+
⇔
≤
− +
− +
−
C B C
B A
C B A A
C B
A
C B
A
⇒ ñpcm
ð ng th c x=y ra khi và ch0 khi ∆ABCñ@u
Trang 4Tr ư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
Ví d 2.1.4
Cho α β γ ≠ π +kπ (k∈Z)
2 ,
, làba góc th>a sin2α+sin2β +sin2γ =1 CMR :
2
tan tan tan 2 1 3
tan tan tan
tan tan
tan
−
≤
L i gi i :
Ta có :
γ β α α
γ γ
β β
α
γ β
α
γ β
α
γ β
α
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
tan tan tan 2 1 tan tan tan
tan tan
tan
2 tan 1
1 tan
1
1 tan
1
1
2 cos cos
cos
1 sin sin
sin
−
= +
+
⇔
= +
+ +
+ +
⇔
= +
+
⇔
= +
+
Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v$i :
tan tan tan
tan tan
tan 3
tan tan tan
tan tan
tan
2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
≥
− +
− +
−
⇔
+ +
≤
β α α
γ α
γ γ
β γ
β β
α
α γ γ
β β
α α
γ γ
β β
α
⇒ ñpcm
β α α
γ
α γ γ
β
γ β β
α
tan tan
tan tan
tan tan
tan
tan tan tan
tan
tan tan tan
tan
=
=
⇔
=
=
=
Ví d 2.1.5
CMR trong ∆ABC b t kỳ ta có :
+ +
≥ +
+
2
tan 2
tan 2 tan 3 2
cot 2
cot 2
L i gi i :
Ta có :
2
cot 2
cot 2
cot 2
cot 2
cot 2
ð t
2 cot
; 2 cot
; 2
= + +
>
xyz z y x
z y
Khi ñób t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v$i :
Trang 5( ) ( )
3 3
1 1 1 3
2 2
2 2
≥
− +
− +
−
⇔
+ +
≥ + +
⇔
+ +
≥ + +
⇔
+ +
≥ + +
x z z y y x
zx yz xy z
y x
xyz
zx yz xy z
y x
z y x z y x
⇒ ñpcm
ð ng th c x=y ra ⇔cotA=cotB=cotC
⇔ A=B=C
⇔∆ABC ñ@u
Ví d 2.1.6
CMR :
x x
2 sin
3
1 sin
3
1
+
≤
−
+ +
L i gi i :
Vì −1≤sinx≤1và cosx≥−1 nên :
3+sinx>0;3−sinx>0 và 2+cos>0
Khi ñób t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v$i :
0 4 cos 6 cos 2
cos 1 2 18 cos 6 12
sin 9 2 cos 2 6
2
2 2
≥
−
−
⇔
≥ +
−
⇔
−
−
≤ +
⇔
−
≤ +
x x
x x
x x
x x
do cosx≤1 nên b t ñ ng th c cuAi cùng luôn ñúng ⇒ ñpcm
Ví d 2.1.7
CMR
2
; 3
π β α
π
<
≤
−
−
≤
−
1 1 cos
1 1
cos cos
2
β α
β α
L i gi i :
TC
2
1 cos
; cos 0 2
;
Trang 6Tr ư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
do ñó
≤
<
≤ +
<
4
1 cos cos 0
1 cos cos
0
β α
β α
ð t a=cosα +cosβ ;b=cosαcosβ
B t ñ ng th c ñã cho tr? thành :
( ) ( )
0 4 4
1 2
1 2
1 2
2
2 3
2 2 2
≤
−
−
⇔
≤ +
−
−
⇔
+
−
≤
−
⇔
+
−
≤
−
⇔
+
−
≤
−
b a a
b ab a
a
b a a b a
b
b a a
a b
b a a
a
B t ñ ng th c cuAi cùng ñúng vì a≤1 và 2 −4 =(cos −cos )2 ≥0⇒
β α
b
Ví d 2.1.8
Cho các góc nh%n a và b th>a sin2a+sin2b<1 CMR :
2a+ 2b< 2(a+b)
sin sin
sin
L i gi i :
2 sin
−
nên tC ñi@u ki n sin2a+sin2b<1 suy ra :
2 0
; 2
π π
<
+
<
−
b
M t khác ta có:
sin2(a+b)=sin2acos2b+sin2bcos2a+2sinasinbcosacosb
nên thay cos2b=1−sin2b vào thìb t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v$i :
b a b
a
b a b a b
a
+
<
⇔
<
⇔
<
cos 0
cos cos sin
sin
cos cos sin sin 2 sin sin
(ñ ý 2sinasinb>0 nên cóth chia hai v4cho 2sinasinb)
B t ñ ng th c sau cùng hi n nhiên ñúng do < + < ⇒
2
b
Trang 7Ví d 2.1.9
Cho ∆ABC không vuông CMR :
C B
2
tan tan tan
tan tan
tan 9 tan tan
tan 5 tan
tan
tan
L i gi i :
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v$i :
(2 cos cos ) sin ( ) 0
0 1 cos
cos 4 cos 4
0 1 cos 4 cos
cos 2
0 1 cos 4 2 cos 2 cos 2
4
3 cos 2
2 cos 1 2
2 cos 1
4
3 cos cos
cos
cos cos cos
1 cos
cos
1 cos
cos
1 cos
cos
1 cos
cos
cos
4
cos cos cos
1 8
3 cos
1 cos
1 cos
1 4 1 cos
1 1 cos
1 1
cos
1
4
tan 1 tan 1 tan 1 8 tan tan
tan 4 tan tan
tan
4
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
≥
− +
−
−
⇔
≥ +
−
−
⇔
≥ + +
− +
⇔
≥ + +
+
⇔
≥ +
+ + +
⇔
≥ +
+
⇔
≤
+ +
−
⇔
≤
−
− +
+
−
−
−
−
⇔
+ +
+
≤
− +
+
−
B A B
A C
B A C C
C B
A B A
C B
A
C B
A
C B
A
C B A A
C C
B B
A C
B A
C B A C
B A
C B
A
C B
A C
B A
C B
A
⇒ ñpcm
Ví d sau ñây, theo ý ki n chA quan cAa tác gi,, thì l-i gi,i cAa nó x ng ñáng là b7c
th &y v* bi n ñ i lư ng giác Nh!ng bi n ñ i th7t s lBt léo k t h p cùng b t ñ"ng th c
m t cách h p lý ñúng chE ñã mang ñ n cho chúng ta m t bài toán th7t s ñGc sBc !!!
Ví d 2.1.10
Cho n a ñư-ng tròn bán kính R , C là m t ñi m tùy ý trên n a ñư-ng tròn Trong hai hình qu t n i ti p hai ñư-ng tròn, g%i M và N là hai ti p ñi m cAa hai ñư-ng tròn v/i ñư-ng kính cAa n a ñư-ng tròn ñã cho CMR : MN ≥ R2 ( 2−1)
L i gi i :
G+i O1, O2 là tâm c:a hai ñưGng tròn ð t ∠CON =2α (như v'y
2
α <
< )
và OO1 =R1 ; OO2 = R2
Ta có :
α π
α
−
=
∠
=
∠
2
1
2
OM
O
ON
O
Trang 8Tr ư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
N
O1
O2 C
V'y :
2
R ON MO
−
= +
= Trong ∆ vuông O1MO có:
α
α α
α
α α
π
cos 1
cos cos
cos 1
cos 2
sin
1 1
1 1
1
+
=
⇒
= +
−
=
−
=
R R R
R
R R O
O R
Tương t6:
( )
α
α α
α
sin 1
sin sin
2 2
+
=
⇒
−
=
R
Do ñó:
1 cos sin
2
2
cos 2
sin 2 cos
1
2 cos 2 2
cos 2 sin
2
cos 2
sin 2 cos 2
cos 1 sin 1
1 cos sin
sin 1
cos cos
1
sin
sin
cos sin
1
sin cos
sin cos 1
cos
2 2
+ +
=
+
=
+
+
=
+ +
+ +
=
+
+ +
=
⋅ + +
⋅ +
=
α α
α α
α
α α
α
α α
α
α α
α α
α
α α
α
α
α α
α α
α α α
R R
R
R
R R
R R
MN
+
≥
⇒
≤
−
≤
1 2
2 2
4 2
cos
α α
ð ng th c x=y ra ⇔ = ⇔OC ⊥MN
4
π
Các bư/c ñ&u cơ s: mà tác gi, mu#n nhBc ñ n : ñây là ph&n 1.2 Các ñ ng th c, b t
ñ ng th c trong tam giác Ta s1 ñưa các b t ñ"ng th c c&n ch ng minh v* các b t ñ"ng
th c c ơ b,n bBng cách bi n ñ i và s d ng các ñ"ng th c cơ b,n Ngoài ra, khi tham gia các kỳ thi, tác gi, khuyên b n ñ%c nên ch ng minh các ñ"ng th c, b t ñ"ng th c cơ b,n
s d ng như m t b ñ* cho bài toán
Trang 9C
B1
B
A1 A
Ví d 2.2.1
Cho ∆ABC ðư-ng phân giác trong các góc A,B,C c Bt ñư-ng tròn ngo i ti p ∆ABC
l &n lư t t i A1,B1,C1 CMR :
SABC ≤ SA1B1C1
L i gi i :
G+i R là bán kính ñưGng tròn ngo i ti4p ∆ABC thì nó cũng là bán kính ñưGng tròn ngo i ti4p ∆A1B1C1
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v$i :
( )1 sin
sin sin 2 sin sin
sin
C B A R C B
A
Do
2
; 2
;
1
B A C A C B C B
=
+
=
+
( )
( )2 2
cos 2
cos 2
cos 2
cos 2
cos 2
cos 2
sin 2
sin
2
sin
8
2
sin 2
sin 2 sin sin
sin
sin
1
C B A C
B A C B A
B A A C C B C
B A
≤
⇔
+ +
+
≤
⇔
2
cos 2
cos
2
cosA B C > nên :
8
1 2
sin 2
sin 2 sin
ð ng th c x=y ra ⇔∆ABC ñ@u
Ví d 2.2.2
CMR trong m%i tam giác ta ñ*u có :
2
sin 2
sin 2 sin 4 4
7 sin sin sin
sin sin
L i gi i :
Ta có :
2
sin 2
sin 2 sin 4 1 cos cos
B t ñ ng th c ñãcho tương ñương v$i :
4
3 sin sin sin
sin sin
mà:
Trang 10Tr ư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
B A B
A C
A C A
C B
C B C
B A
cos cos sin
sin cos
cos cos sin
sin cos
cos cos sin
sin cos
−
=
−
=
−
=
nên :
4
3 cos cos cos
cos cos
cos
Th't v'y hi n nhiên ta có:
3
1 cos cos cos
cos cos
M t khác ta có:
2
3 cos cos
cosA+ B+ C ≤ ⇒( )3 ñúng ⇒( )2 ñúng ⇒ ñpcm
ð ng th c x=y ra khi và ch0khi ABC∆ ñ@u
Ví d 2.2.3
Cho ∆ABC b t kỳ CMR :
cos cos 4 cos 2 1
1 cos
cos 4 cos 2 1
1 cos
cos 4 cos
2
1
1
≥ +
+
+ +
+
+ +
L i gi i :
ð t v4 trái b t ñ ng th c c n ch ng minh là T
Theo AM – GM ta có :
T[3+2(cosA+cosB+cosC)+4(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA) ]≥9 ( )1
mà :
2
3 cos cos
cosA+ B+ C≤
4
3 3
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos
2
≤ +
+
≤ +
B A
⇒3+2(cosA+cosB+cosC)+4(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)≤9 ( )2
TC ( ) ( )1, 2 suy ra T ≥ 1⇒ñpcm
Ví d 2.2.4
CMR v /i m%i ∆ABC b t kỳ, ta có :
3
c b
L i gi i :
B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v$i :
Trang 112( ) 4 3 2 2 2 ( )1
c b a S ca
bc
Ta có :
S
c b a C
S
b a c B
S
a c b A
4 cot
4 cot
4 cot
2 2 2
2 2 2
2 2 2
− +
=
− +
=
− +
=
Khi ñó :
3 2
tan 2
tan 2 tan
3 cot
sin
1 cot
sin
1 cot
sin 1
cot cot
cot 4 3 4 sin
1 sin
1 sin
1 4 1
≥ +
+
⇔
≥
− +
− +
−
⇔
+ +
+
≥
+ +
⇔
C B
A
C C
B B
A A
C B
A S S C
B A
S
⇒ ñpcm
ð ng th c x=y ra khi và ch0 khi ∆ABC ñ@u
Ví d 2.2.5
CMR trong m%i tam giác, ta có :
R
r A
C C
B B
A
4 8
5 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
L i gi i :
Áp d<ng công th c :
2
sin 2
sin 2 sin
r= , ta ñưa b t ñ ng th c ñã cho v@ d ng
tương ñương sau :
8
5 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
Ta có:
2
sin 2
sin 2 sin 4 1 cos cos
Do ñó:
8
5 1 cos cos
cos 4
1 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin
Theo AM – GM, ta có:
2
sin 2 sin 2 2 cos 2 cos
2 cos 2 cos 2
sin 2 sin 2 2 cos 2 cos
2 cos
2
cos
B A A
B
B
A B
A A
B
B
A
≥
+
⇒
≥
Trang 12Tr ư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác
Chương 2 Các phương pháp ch ng minh
+
≤
⇒
2 tan sin 2 tan sin 2
1 2
sin 2 sin
Tương t6 ta có :
+
≤
+
≤
2 tan sin 2 tan sin 2
1 2
sin 2 sin
2
2 tan sin 2 tan sin 2
1 2
sin 2 sin
2
C A
A C A
C
B C
C B C
B
TC ñósuy ra :
+ +
+ +
+
≤
≤
+ +
B A
C A
C
B C
B A
A C C
B B
A
sin sin
2 tan sin
sin 2 tan sin
sin 2
tan 2 1
2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin
2
sin
2
+ +
≥ +
+
⇒
2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2 sin 2 cos cos
Khi ñó:
4
1 cos cos
cos 4
1 1 cos cos
cos 4
1 cos cos
cos
2
1
1 cos cos
cos 4
1 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin
2
sin
= +
+
=
− +
+
− +
+
≤
≤
− +
+
− +
+
C B
A C
B A
C B
A
C B
A A
C C
B B
A
mà
2
3 cos cos
cosA+ B+ C≤
8
5 1 cos cos
cos 4
1 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
⇒( )2 ñúng⇒ ñpcm
Ví d 2.2.6
Cho ∆ABC b t kỳ CMR :
2
tan 2
tan 2 tan cot
cot cot
2 2 2 3
2 2 2
C B A
c b a C
B A
c b a
≤
+ +
+ +
L i gi i :
Ta có :
C B
A
c b a
4 cot cot
cot
2 2 2
= +
+
+ + nên b t ñ ng th c ñã cho tương ñương v$i :
Trang 13( )1
2
tan 2
tan 2 tan 64
2 2 2 3
C B A
c b a
M t khác ta cũng có :
2 sin 4
cos 2 2 cos
2
2 2
2 2
2 2
A bc a
A bc bc a
A bc c
b a
≥
⇒
−
≥
⇒
− +
=
bc A S
A
A bc A
a
4 sin 2 2 tan 2 sin 4
2 tan
2 2
=
=
≥
Tương t6ta cũng có:
S
C
c S
B
b
4 2 tan
; 4 2 tan
2 2
≥
≥
⇒( )1 ñúng ⇒ ñpcm
Ví d 2.2.7
CMR trong m%i tam giác ta có :
(1+b+c−bc)cosA+(1+c+a−ca)cosB+(1+a+b−ab)cosC ≤3
L i gi i :
Ta có v4 trái c:a b t ñ ng th c c n ch ng minh bJng :
(cosA+ cosB+ cosC) (+[b+c)cosA+(c+a)cosB+(a+b)cosC] (− abcosC+bccosA+cacosB)
ð t :
B ca A bc C ab
R
C b a B a c A c b
Q
C B
A
P
cos cos
cos
cos cos
cos
cos cos
cos
+ +
=
+ + +
+ +
=
+ +
=
DKth y
2
3
≤
P
M t khác ta có:
bcosC+ccosB=2R(sinBcosC+sinCcosB)=2Rsin(B+C)=2RsinA=a
Tương t6:
c b a Q
c A b B
a
b C a A
c
+ +
=
⇒
= +
= +
cos cos
cos cos
Vàta l i có: