Giáo án môn Hình học 11 - Chương VIII: Phương trình lượng giác không mẫu mực

Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi Vĩnh Viễn.[r]

CHƯƠNG VIII PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM

⎧

⎨ + =

Bài 156 Giải phương trình:

4 cos x+3tg x−4 3 cos x+2 3tgx + =4 0 (*)

Ta có:

⎧

=

⎪⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

π

⎧ = ± + π ∈

⎪⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

π

3 cos x

2 1 tgx

3

6 1 tgx

3

6

=

Bài 157 Giải phương trình:

( )

2

8 cos 4x.cos 2x+ 1 cos 3x− + =1 0 *

Ta có: ( )* ⇔ 4 cos 4x 1 cos 4x( + )+ +1 1 cos 3x− = 0

2

2

4 cos 4x 4 cos 4x 1 1 cos 3x 0

2 cos 4x 1 1 cos 3x 0

cos 4x cos 4x

cos 3x 1 3x k2 , k

=

⎪⎪

1 cos 4x

2 k2

3

⎧ = −

⎪⎪

⎪⎩

π

1 cos 4x

2

2

3

(ta nhận k = ±1 và loại k = 0 )

Bài 158 Giải phương trình:

2

3sin 4x

Ta có: cos 3x.sin 3x3 +sin 3x.cos x3

3 cos x sin x 3 sin x cos x 3 sin x cos x cos x sin x

sin 2x cos 2x sin 4x

2

( )

2

2

1

4

≠

≠

≠

⎧

⎪⎪

⎪

⎪⎩

2

2

1

2

≠

≠

⎧

≠

sin 4x 0 sin 4x 0

1

2 sin x 0 (VN) sin 3x 1

≠

⎧

⎪⎪

⎪

sin 4x 0

1 sin x

2

3 sin x 4 sin x ±1

⎧

⎪

⎪⎩

≠

⎧

⎪

⎪⎩

sin 4x 0

1 sin x

2 sin 4x 0

5

5

Trường hợp 2 Phương pháp đối lập

⎧

⎨ =

Bài 159 Giải phương trình: sin x cos x4 − 4 = sin x + cos x (*)

Ta có: (*) ⇔sin x cos x2 − 2 = sin x + cos x

≤

⎧⎪

⎪⎩

≤

⎪

⎩

π

2

2

cos 2x sin x cos x cos 2x 0

cos 2x 1 2 sin x cos x

sin 2x 0 (cos 2x 1 ) sin 2x 2 sin 2x

cos 2x 1

x k , k 2

Cách khác

Ta có sin4 x cos x− 4 ≤ sin x4 ≤ sin x ≤ sin x + cos x

⎪⎩ 4

cos x 0

sin x sin x

π

= + π ∈

x k , k 2

⇔

Bài 160: Giải phương trình: ( )2

cos 2x −cos 4x = +6 2 sin 3x (*)

Ta có: (*) ⇔ 4 sin 3x.sin x2 2 = +6 2 sin 3x

• Do:sin 3x2 ≤1 và sin x2 ≤1

nên 4 sin 3x sin x2 2 ≤ 4

• Do sin 3x ≥ −1 nên 6 2+ sin 3x ≥ 4

Vậy 4 sin 3x sin x2 2 ≤ ≤ +4 6 2 sin 3x

Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi

⎧ =

⎧

= −

⎩

⎩

2

2 2

sin 3x 1

π

⎪

⎩

2

2

Bài 161 Giải phương trình:

cos x sin x

2 cos 2x (*)

+ Điều kiện: sin x≥ ∧0 cos x≥ 0

Ta có: (*)

(cos x sin x 1 sin x cos x)( ) 2 cos x sin x( 2 2 ) ( sin x cos x)

⎡

⎢

⇔

⎢⎣

tgx 1 x k , k

4

Xét (2)

Ta có: khi sin x≥0 thì sin x ≥ sin x ≥sin x2

Tương tự cos x ≥ cos x ≥cos x2

Suy ra vế phải của (2) thì ≥2

Mà vế trái của (2): 1 1sin 2x 3

Do đó (2) vô nghiệm

x k , k

Bài 162: Giải phương trình: 3 cos x− − cos x 1+ =2 (*)

Ta có: (*) 3 cos x⇔ − = +2 cos x 1+

Ta có: −2 cos x 1( + ) ≤ ∀ 0 x

Do đó dấu = của (*) xảy ra ⇔ cos x= − 1

⇔ x = π +k2π , k∈

Bài 163: Giải phương trình:

cos 3x+ 2 cos 3x− =2 1 sin 2x (*)+

Do bất đẳng thức Bunhiacốpski:

nên: 1 cos 3x 1 2 cos 3x+ − 2 ≤ 2 cos 3x2 +(2 cos 3x− 2 ) =2

Dấu = xảy ra ⇔cos 3x = 2 cos 3x− 2

cos 3x 0 cos 3x 2 cos 3x cos 3x 0

cos 3x 1 cos 3x 1

≥

⎧

⎩

≥

⎧

= ±

Mặt khác: 2 1 sin 2x( + 2 )≥ 2

Vậy: cos 3x+ 2 cos 3x− 2 ≤ ≤2 2 1 sin 2x( + 2 )

dấu = của (*) chỉ xảy ra khi:

=

⎧

⎪

⎪⎩

k

2

g )

Bài 164: Giải phương trình: tg x2 cotg x2 2 sin5 x (*)

4

π

Điều kiện: sin 2x≠ 0

• Do bất đẳng thức Cauchy: tg x2 +cotg x2 ≥ 2

dấu = xảy ra khi tgx= cotgx

4

π

⎛ + ⎞≤

4

π

⎛ + ⎞ ≤

4

π

⎛ + ⎞=

Do đó: tg x2 cotg x2 2 2 sin5 x

4

π

Dấu = của (*) xảy ra

4

=

⎧

⎪

⎩

⎧ =

⎪

⎪⎩

π

2

4

4

Trường hợp 3:

=

+ = ⇔ ⎨⎧ ==

⎩

sin u 1

sin v 1

− = ⇔ ⎨⎧ == −

⎩

sin u 1

+ = − ⇔ ⎨⎧ = −= −

⎩

Tương tự cho các trường hợp sau

sin u±cos v = ±2 ; cos u±cos v = ±2

Bài 165: Giải phương trình: cos 2x cos3x 2 0 *( )

4

4

3x

Do cos 2x 1 và cos 1

4

nên dấu = của (*) chỉ xảy ra

= π ∈

⎧

=

π

∈

x k , k cos 2x 1

x 8m , m 8h

3x

3 4

để k nguyên ta chọn h 3m m ( thì k 8m )

Cách khác

Bài 166: Giải phương trình:

( )

cos 2x cos 4x+ +cos 6x= cos x.cos 2x.cos 3x+2 *

( )

2

4 cos 3x.cos 2x.cos x 1

Vậy: cos 3x.cos 2x.cos x 1(cos 2x 6 cos 4x cos 6x 1)

4

Do đó:

* cos 2x cos 4x cos 6x cos2x cos 4x cos6x

cos 2x cos 4x cos 6x

+

⇔ 2x = k2 , kπ ∈ ⇔ x = πk , k∈

( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa)

Bài 167: Giải phương trình:

( )

cos 2x− 3 sin 2x− 3 sin x−cos x 4+ =0 *

Ta có:

⎞

⎟⎟

⎠

2 sin 2x sin x

⎞

⎟

⎠

π

⎩

π

⎧ = + π ∈

⎪

π

⎪ = + π ∈

⎪⎩

∈

6

3

3

Cách khác

( *)

⎧ ⎛ π⎞

π

⎪ = + π ∈

⎪⎩

3

3

Bài 168: Giải phương trình: 4 cos x 2 cos 2x cos 4x− − =1 *( )

Ta có:( )* ⇔ 4 cos x−2 2 cos x 1( 2 − ) (− 1 2 sin 2x− 2 )=1

2

2

cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x 1 0

cos x 0 hay 1 cos x cos 2x 0 ( * *)

1 cos x 0 hay 1 cos 3x cos x 0

2 cos x 0 cos 3x cos x 2

=

⎧

⎩

=

⎧

⎩

π

3

cos x 1 cos x 0

4 cos x 3 cos x 1 cos x 0 cos x 1

2

Cách khác

( * *) cos x 0 hay cos x cos 2x 1

−

2

)

⇔ x = π + π ∨ =k x k2 , kπ ∈

2

Bài 169: Giải phương trình:

( )

1

sin x cos 2x cos 3x

Điều kiện: sin 2x cos 2x cos 3x≠ 0

Lúc đó:

( )* ⇔ sin 2x + sin 3x + 1 0

cos 2x cos 3x sin x.cos 2x.cos 3x =

+ =

=

sin 2x sin x cos 3x sin 3x sin x.cos 2x 1 0 sin x sin 2x cos 3x sin 3x cos 2x 1 0

( )

=

= −

2

1

2

=

Do đó: (*) vô nghiệm

Cách khác

hay

x

⇔ ∈∅

Bài 170: Giải phương trình: cos 3x.cos 2x cos x2 − 2 =0 *( )

Ta có: ( )* ⇔ 1(1 cos 6x cos 2x+ ) − 1(1 cos 2x+ ) 0

=

⎧

⎩

⇔ ⎨

=

⎩

⇔ ⎨

=

⎩

π

2

2

cos 6x cos 2x 1 1

2

k

2 Cách khác

⇔ cos 6x cos 2x =1

hay

= π ∈ = π + π ∈

hay

π

= k ∈

x , k

2

Cách khác

⇔

π

⇔ x= k , k∈

2

Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ

y = ax là hàm giảm khi 0< a <1

Do đó ta có

π π

π π

2

∀

∀

Bài 171: Giải phương trình: 1 x2 cos x( )

2

Ta có: ( )* 1 x2 cos

2

Xét

2

x

2

Ta có: y '= −x sin x

và y ''= −1 cos x ≥ ∀ ∈0 x R

Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R

Vậy ∀ ∈x (0,∞): x > 0 nên y ' x( )> y ' 0( ) = 0

Do đó:

Vậy :

2

x

2

Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0

Do đó ( )* ⇔ = • x 0

Bài 172: Giải phương trình

sin 4 x+ sin 6 x= sin 8 x+ sin 10

x (*)

Ta có

2 2

và dấu =xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1hay sinx = 0 và dấu =xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1 hay sinx = 0

⎪

⎨

≥

⎪⎩

⇔sin2x = 1 sinx = 0 ∨

⇔x = ± π +k2π ∨ x = k2π, k∈

Cách khác

(*)⇔ sin 4 x = hay + sin 2 x= sin 4 x + sin 6 x

BÀI TẬP

Giải các phương trình sau

π

4 1

4

sin x

2

=

)=

π

sin x

2

Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)