động cơ bước điện nguyễn đức sinh thư viện tư liệu giáo dục

Như với các đường cong trong C 2 , hai đa thức thuần nhất không có thừa số bội P (x, y, z) và Q(x, y, z) định nghĩa cùng một đường cong xạ ảnh trong P 2 khi và chỉ khi đa thức này bằng đ[r]

Mục lục

2.1 Đường cong phức trong C2 2

2.2 Không gian xạ ảnh phức 6

2.3 Đường cong xạ ảnh phức trong P2 12

2.4 Đường cong afin và xạ ảnh 14

3 Các tính chất đại số 22 3.1 Định lý Bézout 22

3.2 Điểm uốn và các đường cong bậc ba 39

[chapter] [chapter] [chapter] [chapter] [chapter] [chapter] [chapter] [chapter] [chapter] [chapter] [chapter]

Chương 2

Nền tảng

Chương này bao gồm các định nghĩa cơ bản và vật liệu cần thiết để nghiên cứuđường cong đại số phức Trước tiên chúng ta sẽ định nghĩa đường cong đại số phứctrong C2, sau đó thêm "các điểm ở vô cùng" để được đường cong xạ ảnh phức

Giả sử P (x, y) là một đa thức hai biến, khác hằng số, với các hệ số phức Ta nói

P (x, y) không có thành phần bội nếu không tồn tại khai triển

P (x, y) = (Q(x, y))2R(x, y),

trong đó Q(x, y), R(x, y) là các đa thức và Q(x, y) khác hằng số.

Định nghĩa 2.1 Giả sử P (x, y) là một đa thức hai biến, khác hằng số, với các hệ

số phức và không có thành phần bội Khi đó đường cong đại số phức trong C2 định

CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG 2.1 ĐƯỜNG CONG PHỨC TRONGC2

Hệ quả 2.2 Nếu P (x, y) và Q(x, y) không có thành phần bội thì chúng định nghĩa

cùng một đường cong đại số phức trong C2 nếu và chỉ nếu mỗi đa thức bằng tích của

đa thức kia với một vô hướng, tức là

P (x, y) = λQ(x, y) với λ ∈ C \ {0} nào đó.

Chứng minh Đây là hệ quả hiển nhiên của Định lý Hilbert về không điểm.

Nhận xét 2.3 Một cách tổng quát để định nghĩa một đường cong đại số phức trong

C2 như là một lớp tương đương các đa thức hai biến khác hằng số, ở đây hai đa thứctương đương với nhau nếu và chỉ nếu mỗi đa thức bằng tích của đa thức kia với một

vô hướng Một đa thức có thành phần bội thì đường cong được hiểu gắn thêm bội; ví

dụ (y − x2)3 định nghĩa cùng đường cong như y − x2 nhưng với bội ba Mặc dù hầuhết trong cuốn sách này thì Định nghĩa 2.1 là đủ, nhưng thỉnh thoảng (ví dụ trong

§3.2) chúng ta sẽ cần xét đến đường cong định nghĩa bởi đa thức với thành phần

Ví dụ 2.5 Đường cong định nghĩa bởi x2 + y2 = 1 không có kì dị Còn đường cong

định nghĩa bởi y2 = x3 có một điểm kì dị (0, 0).

Định nghĩa 2.6 Một đường cong định nghĩa bởi một phương trình tuyến tính

2.1 ĐƯỜNG CONG PHỨC TRONGC2 CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG

Định nghĩa 2.7 Một đa thức n biến khác không P (x1, , x n ) được gọi là đa thức

Bổ đề 2.8 Giả sử P (x, y) là một đa thức khác không thuần nhất bậc d hai biến với

hệ số phức thì nó có phân tích thành tích các đa thức tuyến tính

Vì vậy ta có điều phải chứng minh

Do P (x, y) là một đa thức nên nó có một khai triển Taylor hữu hạn

CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG 2.1 ĐƯỜNG CONG PHỨC TRONGC2

Định nghĩa 2.9 Giả sử đường cong C định nghĩa bởi P (x, y) Khi đó số bội tại một

điểm (a, b) ∈ C là số nguyên dương bé nhất m sao cho

∂ m P

∂x i ∂y j (a, b) 6= 0 với i ≥ 0, j ≥ 0 sao cho i + j = m Khi đó đa thức

với (α, β) ∈ C2 \ {(0, 0)} Các đường thẳng được định nghĩa bởi các đa thức tuyến

tính này được gọi là các tiếp tuyến của C tại (a, b) Điểm (a, b) không phải là điểm kì

dị nếu và chỉ nếu số bội của nó m = 1; trong trường hợp đó C chỉ có một tiếp tuyến tại điểm (a, b) được định nghĩa bởi

∂P

∂x (a, b)(x − a) +

∂P

∂y (a, b)(y − b) = 0.

Điểm (a, b) ∈ C được gọi là điểm bội 2 (tương ứng, bội ba, v.v.) nếu số bội của nó là

2 (tương ứng 3, v.v.) Một điểm kì dị (a, b) được gọi là bình thường nếu đa thức (2.1) không có thành phần bội, tức là C có m tiếp tuyến phân biệt tại (a, b).

Ví dụ 2.10 Các đươngf cong bậc 3 định nghĩa bởi

y2 = x3+ x2và

y2 = x3đều có điểm bội hai tại gốc tọa độ; đường đầu tiên có điểm bội hai thông thường,nhưng đường thứ hai thì không (xem hình vẽ 2.1) Đường cong định nghĩa bởi

2.2 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG

Hình 2.1: Đường cong y2 = x3+ x2 và y2 = x3

Hình 2.2: Đường cong (x4+ y4)2 = x2y2 và (x4+ y4− x2− y2)2 = 9x2y2

Định nghĩa 2.11 Một đường cong C định nghĩa bởi đa thức P (x, y) được gọi là bất

khả qui nếu P là bất khả qui, tức là P (x, y) chỉ có các nhân tử là hằng số và vô

hướng nhân với nó

Nếu các nhân tử của P (x, y) là

P1(x, y), , P k (x, y)

thì các đường cong định nghĩa bởi

P1(x, y), , P k (x, y) được gọi là các thành phần (bất khả qui) của C

2.2 Không gian xạ ảnh phức

Một đường cong C trong C2 không bao giờ compắc (xem bài tập 2.7) Nhắc lại một

số tính chất quan trọng của các điều kiện tôpô của tính compắc (xem chẳng hạnChương 5 của [Sutherland 75])

CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG 2.2 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC

Tính chất 2.12 (i) Một tập con của R n hay Cn là compắc khi và chỉ khi nó đóng và

(iv) Một tập con đóng của một không gian compắc là compắc

(v) Một tập con compắc của một không gian Hausdorff là đóng

(vi) Một hợp hữu hạn của các không gian compắc là compắc

Với rất nhiều lí do sẽ hữu ích nếu compắc hóa các đường cong đại số phức trong

C2 bằng cách thêm vào "các điểm tại vô cùng" Lấy ví dụ, giả sử chúng ta muốn xétcác giao điểm của hai đường cong,

y2 = x2− 1, y = cx

trong đó c là một số phức Nếu c 6= ±1 các đường cong này cắt nhau tại hai điểm Khi c = ±1 chúng không cắt nhau, nhưng lại tiệm cận nhau khi x và y tiến ra vô

cùng (xem hình vẽ 2.3) Chúng ta muốn thêm các điểm tại vô cùng của C2 sao cho

các đường cong y2 = x2+ 1 và y = cx cắt nhau "tại vô cùng" khi c = ±1 Một cách

tương tự, các đường thẳng song song sẽ "gặp nhau tại vô cùng"

–2 –1 0 1

Để thực hiện điều này chi tiết chúng ta sử dụng khái niệm không gian xạ ảnh

Ý tưởng là đồng nhất mỗi điểm (x, y) ∈ C2 với một không gian con tuyến tính phứcmột chiều của C3 sinh bởi (x, y, 1) Mỗi không gian con tuyến tính một chiều của C3

2.2 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG

không nằm trong mặt phẳng {(x, y, z) ∈ C3 : z = 0} đều chứa duy nhất một điểm

có dạng (x, y, 1) Còn các không gian con một chiều của {(x, y, z) ∈ C3 : z = 0} có

thể xem như là "các điểm tại vô cùng"

Định nghĩa 2.13 Tập hợp các không gian con một chiều phức của không gian

vectơ Cn được gọi là không gian xạ ảnh n-chiều P n Khi n = 1 ta có đường thẳng xạ

ảnh phức P1 và khi n = 2 ta có mặt phẳng xạ ảnh phức n = 2.

Nhận xét 2.14 Nếu V là một không gian vectơ trên trường K bất kỳ thì không gian

xạ ảnh tương ứng P (V ) là tập hợp tất cả các không gian con một chiều của V Ở đây chúng ta chỉ làm việc với K = C và V = C n+1 và cho đơn giản viết Pn thay choP(Cn+1)

Một không gian con một chiều U của C n+1 được sinh bởi một vectơ khác không

u ∈ U Do đó ta có thể đồng nhất P nvới tập tất cả các lớp tương đương của Cn+1 \{0},

trong đó quan hệ tương đương a ∼ b khi và chỉ khi tồn tại một giá trị λ ∈ C \ {0} sao cho a = λb.

Định nghĩa 2.15 Một vectơ bất kỳ

(x0, , x n)trong Cn+1 đại diện cho một phần tử x của P n ; ta gọi (x0, , x n) là tọa độ thuần nhất

khi và chỉ khi có một λ ∈ C \ {0} sao cho x j = λy j với mọi j.

Bây giờ chúng ta sẽ trang bị để Pn trở thành một không gian tôpô (chúng ta sẽchỉ ra rằng không như Cnnó là không gian compăc) Xét ánh xạ Π : Cn+1 \ {0} → P n

xác định bởi

Π(x0, , x n ) = [x0, , x n]

và trang bị cho Pn tôpô thương cảm sinh từ tôpô thông thường trên C n+1 \ {0} (xem

[Sutherland 75] trang 68) Đó là, một tập con A của P n là tập mở khi và chỉ khi

Π−1 (A) là tập con mở của C n+1 \ {0}.

Nhận xét 2.16 Chú ý rằng

(i) một tập con B của P n là tập đóng khi và chỉ khi Π−1 (A) là tập con đóng của

Cn+1 \ {0};

CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG 2.2 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC

(ii) Π : Cn+1 \ {0} → P nlà ánh xạ liên tục;

(iii) nếu X là một không gian tôpô bất kỳ thì ánh xạ f : P n → X liên tục khi và

chỉ khi

f ◦ Π : C n+1 \ {0} → X

liên tục; tổng quát hơn nếu A là một tập con bất kỳ của P n thì ánh xạ f : A → X

liên tục khi và chỉ khi

{[x0, , x n ] ∈ P n : x n = 0}.

2.2 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG

Rõ ràng có thể đồng nhất nó với Pn−1 Như vậy chúng ta có thể xây dựng không gian

xạ ảnh Pnbằng qui nạp P0 là một điểm P1 có thể xem như là C cùng với một điểm

∞ (tức là một bản sao của P0) và như thế có thể đồng nhất với mặt cầu Riemann

Tức là S 2n+1 là một mặt cầu 2n + 1 chiều Hơn nữa nó là một tập con đóng, bị chặn

của Cn+1, vì vậy theo định lý Heine-Borel 2.12(i) nó là tập compăc Hạn chế của ánh

xạ Π : S 2n+1 → P n như định nghĩa ở trên là ánh xạ liên tục, vì vậy ảnh của nó làảnh của một tập compăc qua một ánh xạ liên tục, là tập compăc do 2.12(ii)

Bây giờ nếu [x0, , x n ] ∈ P nthì

[x0, , x n ] ∈ Π(S 2n+1 ).

Vậy Π : S 2n+1 → P nlà toàn ánh, dẫn đến điều phải chứng minh

CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG 2.2 KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC

Định nghĩa 2.19 Một phép biến đổi xạ ảnh của P nlà một song ánh

f : P n → P n

sao cho với đẳng cấu tuyến tính α : C n+1 → C n+1nào đó, ta có

f [x0, , x n ] = [y0, , y n]trong đó

Định nghĩa 2.21 Một siêu phẳng trong Pn là ảnh của V \ {0} qua ánh xạ Π :

Cn+1 \ {0}, trong đó V là không gian con n chiều của C n+1

Bổ đề 2.22 Cho n + 2 điểm phân biệt p0, , p n và q của P n , trong đó không có n + 1 điểm nào nằm trên cùng một siêu phẳng, chứng minh có duy nhất một phép biến đổi xạ ảnh biến p i thành [0, , 0, 1, 0, , 0] trong đó 1 ở vị trí thứ i, và biến q thành

[1, , 1].

Chứng minh Giả sử u0, , u n và v là các phần tử của C n+1 \ {0} mà ảnh của chúng

qua ánh xạ Π là p0, , p n và q Khi đó u0, , u nlà một cơ sở của Cn+1, nên tồn tại duy

nhất một phép biến đổi tuyến tính α của C n+1 biến u0, , u n thành cơ sở chính tắc

(1, 0, , 0), , (0, , 0, 1) Mặt khác điều kiện cho p0, , p n và q dẫn tới

α(v) = (λ1, , λ n)

với λ1, , λ n là các số phức khác không Vì vậy hợp thành của α với phép biến đổi

tuyến tính xác định bởi ma trận đường chéo

2.3 ĐƯỜNG CONG XẠ ẢNH PHỨC TRONGP2 CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG

định nghĩa một phép biến đổi xạ ảnh biến p i thành

[0, , 0, 1

λ i

, 0, , 0] = [0, , 0, 1, 0, , 0]

và q thành [1, , 1] Dễ dàng kiểm tra sự duy nhất.

Mệnh đề 2.23 Không gian xạ ảnh P n là không gian Hausdorff.

Chứng minh Chúng ta cần chứng minh rằng nếu p và q là hai điểm phân biệt của

Pnthì sẽ có các lân lận mở của chúng trong Pnrời nhau

Chúng ta phải chỉ ra rằng có một đồng phôi φ0 : U0 → C n trong đó U0 là một tập

mở của Pn Nếu p và q nằm trong U0 thì φ0(p) và φ0(q) có các lân cận mở V và W rời

nhau trong Cn (do Cn là Hausdorff) và φ −1

p thành [1, 0, , 0] và q thành [1, 1, , 1] Như chúng ta đã chứng minh [1, 0, , 0] và

[1, 1, , 1] có các lân cận mở rời nhau φ −1 (V ) và φ −1 (W ) trong P n Do f liên tục (theo

Bổ đề 2.20) và là một song ánh, nên các tập con f −1 (φ −1 (V )) và f −1 (φ −1 (W )) là các lân cận mở rời nhau của p và q trong P n, đó là điều cần chứng minh

Nhắc lại ở trong §2.2 ta có mặt phẳng xạ ảnh P2 là không gian con một chiều phứccủa C3 Kí hiệu [x, y, z] là không gian con sinh bởi (x, y, z) ∈ C3\ {0}, như thế

CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG 2.3 ĐƯỜNG CONG XẠ ẢNH PHỨC TRONGP2

Định nghĩa 2.24 Giả sử P (x, y, z) là đa thức thuần nhất khác hằng số của ba biến

x, y, z với các hệ số phức Giả sử P (x, y, z) không có thừa số bội Khi đó đường cong

Nhận xét 2.25 Như với các đường cong trong C2, hai đa thức thuần nhất không có

thừa số bội P (x, y, z) và Q(x, y, z) định nghĩa cùng một đường cong xạ ảnh trong P2khi và chỉ khi đa thức này bằng đa thức kia nhân với một vô hướng, và một đa thứcthuần nhất với các thừa số bội có thể xem như một đường cong có những thànhphần bội

Định nghĩa 2.26 Bậc của một đường cong xạ ảnh C trong P2 định nghĩa bởi đa

thức thuần nhất P (x, y, z) là bậc d của P (x, y, z) Đường cong C được gọi là bất khả qui nếu P (x, y, z) bất khả qui, tức là P (x, y, z) có các đa thức thừa số khác hằng số

và khác vô hướng nhân với chính nó Một đường cong xạ ảnh D định nghĩa bởi một

đa thức thuần nhất Q(x, y, z) được gọi là một thành phần của C nếu Q(x, y, z) chia hết P (x, y, z).

Định nghĩa 2.27 Điểm [a, b, c] của đường cong xạ ảnh C trong P2 định nghĩa bởi

một đa thức thuần nhất P (x, y, z) được gọi là điểm kì dị nếu

Ví dụ 2.28 Đường cong xạ ảnh trong P2 cho bởi x2+ y2 = z2 là đường cong trơn

Đường cong định nghĩa bởi y2z = x3 có một điểm kì dị [0, 0, 1].

Định nghĩa 2.29 Một đường cong xạ ảnh định nghĩa bởi một phương trình tuyến

tính

αx + βy + γz = 0,

trong đó α, β, γ đều khác không, được gọi là một đường thẳng (xạ ảnh).

Đường tiếp tuyến của một đường cong C trong P2 định nghĩa bởi một đa thức

thuần nhất P (x, y, z) tại một điểm không kì dị [a, b, c] ∈ C là đường thẳng

2.4 ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG

Như là một kế thừa, là tập con của P2 đường cong xạ ảnh, C trong P2 được trang

bị tôpô (xem [Sutherland 75] tr.51)

Bổ đề 2.30 Một đường cong xạ ảnh

C = {[x, y, z] ∈ P2 : P (x, y, z) = 0}

trong P2 là compăc và Hausdorff.

Chứng minh Để chứng minh C là compăc, theo các Mệnh đề 2.12(iv) và 2.18 là đủ

nếu chứng minh được C là tập con đóng của P2 Do 2.16(i) điều này xảy ra khi vàchỉ khi

Π−1 (C) = {(x, y, z) ∈ C3\ {0} : P (x, y, z) = 0}

là một tập con đóng của C3\ {0} Điều này đúng do các đa thức là liên tục.

Một tập con của một không gian Hausdorff là Hausdorff do đó kết quả được suy

ra từ Mệnh đề 2.23

2.4 Đường cong afin và xạ ảnh

Đường cong đại số phức

C = {(x, y) ∈ C2 : Q(x, y) = 0}

trong C2 thường được gọi là đường cong afin để phân biệt nó với đường cong xạ ảnh

˜

C = {[x, y, z] ∈ P2 : P (x, y, z) = 0}.

Mặc dù khác nhau, nhưng các đường cong afin và xạ ảnh có quan hệ gắn bó Từ

đường cong afin C chúng ta có thể thu được đường cong xạ ảnh ˜ C bởi thêm "các

CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG 2.4 ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH

Nói cách khác P2 là hợp rời của một bản sao của C2 và một bản sao của P1 mà đượcxem như "tại vô cùng"

Giả sử P (x, y, z) là một đa thức thuần nhất bậc d khác hằng số Ta có đồng nhất

U với C2 như mô tả vừa rồi, phần giao giữa U và đường cong xạ ảnh ˜ C định nghĩa

bởi P là đường cong afin C trong C2 định nghĩa bởi đa thức không thuần nhất haibiến

P (x, y, 1).

Đa thức này có bậc bằng d nên z không phải là ước của P (x, y, z), có nghĩa là ˜ C

không chứa đường thẳng z = 0.

Ngược lại nếu Q(x, y) là một đa thức không thuần nhất bậc d với hai biến x và y,

Các đường thẳng định nghĩa bởi

α i x + β i y = 0

tiệm cận với đường cong trong C2 định nghĩa bởi Q Những đường thẳng này tương ứng với các điểm [−β i , α i] trong P1; khi lấy P1 là đường thẳng z = 0 trong P2 thìnhững điểm này chính là các điểm của ˜C \ C.

Bằng cách này thu được một song ánh giữa các đường cong afin C trong C2 vàđường cong xạ ảnh ˜C trong P2 không chứa đường thẳng tại vô cùng z = 0.

Nếu ˜C là đường cong trơn thì C cũng vậy, nhưng điều ngược lại không đúng: ˜ C

có thể có các điểm kì dị ở vô cùng thậm chí trong trường hợp C trơn Chính xác hơn

ta có kết quả sau đây

2.4 ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG

Bổ đề 2.31 Giả sử [a, b, c] là một điểm của đường cong xạ ảnh

˜

C = {[x, y, z] ∈ P2 : P (x, y, z) = 0}.

Nếu c 6= 0 thì [a, b, c] là một điểm trơn của ˜ C khi và chỉ khi ¡a

c , b c

¢

là một điểm trơn của đường cong afin

¢

trong C2.

Để chứng minh trước hết ta cần kết quả sau:

Bổ đề 2.32 (Quan hệ Euler) Nếu R(x, y, z) là một đa thức thuần nhất bậc m thì

Do P (x, y, z) và các đạo hàm riêng của nó là các đa thức thuần nhất và c 6= 0 nên

điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi

tức là khi và chỉ khi [a, b, c] là một điểm kì dị của ˜ C.

Giao của C2, đồng nhất với U, và tiếp tuyến xạ ảnh

CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG 2.4 ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH

Bổ đề 2.32 Quan hệ Euler thu được bằng cách lấy đạo hàm của đẳng thức

R(λx, λy, λz) = λ m R(x, y, z)

ứng với λ, rồi lấy λ = 1.

Nhận xét 2.33 Tương tự các định nghĩa về bội và tiếp tuyến tại điểm kì dị của các

đường cong afin như trong §2.1, ta có thể định nghĩa cho các đường cong xạ ảnh

tương ứng với các đường cong afin cộng thêm "các điểm ở vô cùng" (xem bài tập2.8)

BÀI TẬP

2.1 Chứng minh tập con tất cả các điểm trong C2 có dạng

(t2, t3+ 1), t ∈ C

là một đường cong đại số phức

2.2 Tìm các điểm kì dị và các tiếp tuyến tại các điểm kì dị của mỗi đường congtrong C2 dưới đây:

2.4 Giả sử (a, b) là điểm kì dị của đường cong afin C trong C2 định nghĩa bởi đa

thức P (x, y) Chứng tỏ rằng (a, b) là điểm kì dị thường nếu và chỉ nếu

tại điểm (a, b).

2.5 Giả sử C là đường cong afin định nghĩa bởi đa thức P (x, y) bậc d Chứng minh rằng nếu (a, b) là điểm bội d của C thì đa thức P (x, y) là tích của d thừa số tuyến tính, hay C là hợp của d đường thẳng qua (a, b).

2.4 ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG

2.6 (a) Chứng minh rằng hợp hữu hạn của các đường cong afin trong C2 là mộtđường cong afin

(b) Chứng minh rằng hợp hữu hạn của các đường cong xạ ảnh trong mặt phẳng

0, là số nguyên m nhỏ nhất sao cho

∂ m P

∂x i y j z k (a, b, c) 6= 0 với i, j, k sao cho i + j + k = m Hãy tìm các điểm kì dị và bội của chúng trong

các đường cong sau đây:

với α ∈ C nào đó Chứng minh rằng α2− α + 1 = 0 Chứng tỏ một đường cong

xạ ảnh bậc 3 đi qua chín điểm này khi và chỉ khi nó định nghĩa bởi một đathức có dạng

x3+ y3+ z3+ 3λxyz

CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG 2.4 ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH

với λ ∈ C ∪ ∞ nào đó, và nó có kì dị khi

λ ∈ {∞, −1, α, ¯ α},

trong mỗi trường hợp nó là hợp của ba đường thẳng trong P2

2.11 Chứng minh rằng đường thẳng phức trong P2 đi qua hai điểm [0, 1, 1] và [t, 0, 1] cắt đường cong xạ ảnh C định nghĩa bởi

x2+ y2 = z2

tại hai điểm [0, 1, 1] và [2t, t2 − 1, t2 + 1] Chứng tỏ rằng có một song ánh từ

đường thẳng xạ ảnh định nghĩa bởi y = 0 đến C như sau

trong đó λ và µ là các số nguyên lẻ, nguyên tố cùng nhau, và ν ∈ Z.

2.12 Giả sử C là một đường cong xạ ảnh bậc hai không có kì dị trong P2 định nghĩa

bởi một đa thức có các hệ số hữu tỷ Dùng các bước sau để thu được một thuật toán kiểm tra C có các điểm hữu tỷ hay không, tức là khi nào C có một điểm

có các tọa độ thuần nhất hữu tỷ (tương đương với có các tọa độ thuần nhấtnguyên)

2.4 ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG

(a) Sử dụng lý thuyết chéo hóa dạng toàn phương để bằng một phép biến đổi

xạ ảnh, định nghĩa bởi một ma trận với các hệ số hữu tỷ, đưa C về đường

cong định nghĩa bởi

ax2+ by2 = z2

với a, b ∈ Q \ {0}.

(b) Chứng minh rằng nhờ thêm một phép biến đổi chéo hóa chúng ta có thể

giả thiết thêm a và b là các số nguyên không có thừa số chính phương, tức

là chúng là tích của các số nguyên tố phân biệt Chứng tỏ rằng chúng ta

có thể giả thiết |a| ≥ |b|.

(c) Chứng minh rằng nếu C có một điểm hữu tỷ thì b là một số chính phương mod p với mọi số nguyên tố p chia hết a Suy dẫn từ định lý thặng dư Trung Hoa rằng b là một số chính phương mod a, vì vậy tồn tại các số nguyên m, a1 sao cho |m| < |a|/2 và

m2 = b + aa1.

(d) Chứng minh rằng nếu m2 = b + aa1 và

ax2+ by2 = z2thì

a1(z2− by2)2+ b(my − z)2x2 = (mz − by)2x2.

Suy ra rằng C có một điểm hữu tỷ khi và chỉ khi cũng đúng đối với đường

cong định nghĩa bởi

a1x2+ by2 = z2.

(e) Chứng minh rằng nếu |a| > 1 thì |a1| < |a|, như vậy ta quy về vấn đề

tương tự với |a| + |b| bé hơn Suy ra rằng có thể lặp lại điều này đến khi b không còn là một số chính phương mod a hoặc đến khi

|a| = |b| = 1,

khi đó đường cong có một điểm hữu tỷ khi và chỉ khi trong a và b có ít

nhất một số dương

2.13 Giả sử C là một đường cong xạ ảnh bậc hai không có kì dị trong P2 định nghĩa

bởi một đa thức với các hệ số hữu tỷ và C có một điểm hữu tỷ p (xem bài tập 2.12) Chứng minh rằng có một song ánh từ tập các điểm hữu tỷ của C đến

tập các điểm hữu tỷ của đường thẳng xạ ảnh xác định bởi phép chiếu nổi (xem

bài tập 2.11) [Nếu L là một đường thẳng bất kỳ trong P2 định nghĩa bởi một

đa thức tuyến tính với các hệ số hữu tỷ và L không đi qua p, thì phép chiếu nổi từ p xuống L cho tương ứng mỗi điểm q ∈ C, giao điểm duy nhất của L với đường thẳng đi qua p và q nếu p 6= q, hoặc với tiếp tuyến của C tại p nếu p = q].

CHƯƠNG 2 NỀN TẢNG 2.4 ĐƯỜNG CONG AFIN VÀ XẠ ẢNH

2.14 Giả sử p là một số nguyên tố lẻ bất kỳ Nếu λ ∈ Z ta có thể rút gọn thành λ mod p và có thể rút gọn mod p cho đường cong xạ ảnh bậc ba C định nghĩa bởi

y2z = x(x − z)(x − λz)

thành tập con của mặt phẳng xạ ảnh P((Fp)3) trên trường hữu hạn Fp = Z/pZ định nghĩa bởi phương trình tương ứng Chứng minh rằng với mỗi x ∈ F p,phương trình

[Gợi ý: chú ý nhóm nhân của một trường hữu hạn bất kỳ là một nhóm xyclic]

Suy ra rằng số điểm của C rút gọn mod p là

1 + p + (−1) (p−1)/2

(p−1)/2X

r=0

µp−12

r

¶

λ r

Chương 3

Các tính chất đại số

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất đại số của các đường

cong đại số phức Trong §3.1 chúng ta sẽ khảo sát xem hai đường thẳng xạ ảnh

trong P2 giao với nhau như thế nào Trong §3.2 chúng ta sẽ nghiên cứu "các điểm

uốn" của một đường cong xạ ảnh phức và chứng tỏ mọi đường cong xạ ảnh trơn bậc

ba sau một phép biến đổi xạ ảnh đưa được về dạng

dị của cả C lẫn D và các tiếp tuyến của C và D tại các điểm đó là phân biệt Các kết

quả này là các trường hợp của định lý mang tên nhà toán học Bézout người Pháp

ở thế kỷ XVIII.1 Để có thể chứng minh kết quả tổng quát hơn về số các giao điểm

của C và D trước hết chúng ta đưa ra khái niệm số giao I p (C, D) ò C và D tại điểm

p Qui ước số giao bằng vô cùng nếu p nằm trên một thành phần chung của C và

D, ngoài ra số giao là một số nguyên không âm, nó bằng không khi p không thuộc

C ∩ D Chúng ta sẽ chứng minh I p (C, D) = 1 khi và chỉ khi p không phải là điểm

kì dị của cả C lẫn D và các tiếp tuyến chung của C và D tại p phân biệt Định lý

Bézout mạnh nhất được phát biểu như sau:

1 Lý do tại sao định lý này được mang tên Bézout cũng không thật sự rõ ràng, vì thật ra Bézout

đã đưa ra chứng minh nhưng sai và cũng không phải là chứng minh đầu tiên.

CHƯƠNG 3 CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ 3.1 ĐỊNH LÝ BÉZOUT

Định lý 3.1 (Định lý Bézout) Giả sử C và D là hai đường cong xạ ảnh trong P2 có bậc bằng n và m Nếu C và D không có thành phần chung thì chúng có chính xác

nm điểm giao tính cả bội; tức là

với b0, , b m ∈ C, b m 6= 0, là các đa thức bậc n và m với biến x Khi đó kết thức R P,Q

của P và Q là định thức của ma trận (m + n) × (m + n) dưới đây

a i (y, z) và b j (y, z) cho a i và b j với 0 ≤ i ≤ n và 0 ≤ j ≤ m Chú ý R P,Q (y, z) là đa thức với biến y và z, khi cho y = b và z = c nó nhận giá trị bằng kết thức của hai đa thức

P (x, b, c) và Q(x, b, c) theo x, với giả thiết a n (b, c) và b m (b, c) khác không.

Các bổ đề sau đây chứng tỏ kết thức hữu ích cho việc nghiên cứu giao của cácđường cong xạ ảnh trong P2, tuy nhiên chứng minh của chúng hoãn lại ở cuối phầnnày

3.1 ĐỊNH LÝ BÉZOUT CHƯƠNG 3 CÁC TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ

Bổ đề 3.3 Giả sử P (x) và Q(x) là các đa thức biến x Khi đó P (x) và Q(x) có nhân

tử chung khác hằng số khi và chỉ khi

Bổ đề 3.7 Giả sử P (x, y, z) và Q(x, y, z) là các đa thức thuần nhất bậc n và m với

biến x, y, z Khi đó kết thức R P,Q (y, z) là một đa thức thuần nhất bậc nm với biến y

và z.

Sử dụng các bổ đề trên, ta có thể chứng minh được kết quả sau:

Định lý 3.8 Hai đường cong xạ ảnh C và D bất kỳ trong P2 giao nhau ít nhất tại một điểm.