Lưu ý khi nâng cấp RAM cho máy tính

[r]

Chuyên đề dấu hiệu chia hết cho 2 và 5

A Lí thuyết:

I./ Kiến thức cơ bản:

Đặt : A = abcd

a) A
2 ⇔d ∈{0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8}

b) A
5 ⇔d ∈ ∈{0 ; 5}

II./ Kiến thức mở rộng

a) A
2; A
5 ⇔d = 0

c) A
4 ⇔ cd
4

d) A
25 ⇔ cd
25

e) A
8⇔ bcd
8

g) A
125⇔ bcd
125

B Bài tập

Bài 1 Trong các số sau, số nào chia hết cho 2, cho 4, cho 5, cho 8 , cho 125

5341; 1010; 1984; 1076; 2782; 3452; 6375; 7800

Giải +) Các số chia hết cho 2 là: 1010; 1984; 1076; 2782; 3452; 7800

+) Các số chia hết cho 4 là : 1984; 1076; 3452; 7800

+) Các số chia hết cho 5 là: 1010; 7800; 6375.;

+) Các số chia hết cho 8 là: 1984; 7800

+) Các số chia hết cho 125 là: 6375

Bài 2 Thay số x, y bằng các chữ số thích hợp để:

a) 375x chia hết cho 5; cho 25; cho 125

b) 12xy4 chia hết cho 2; 4

Giải a) 375x
5⇔x ∈ {0 ; 5}

375x
25 ⇔ 5x
25 ⇔x = 0

375x
125 ⇔ 375x ⇔ 75x
125 ⇔x = 0

b)

+) 12xy4
2⇔với mọi x, y là các chữ số

+) 12xy4
4⇔ y4
4 ⇔y ∈ {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8}

Vậy với mọi chữ số x và y ∈ {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8} thì 12xy4
4

Bài 3 Với cùng cả 4 chữ số 2; 5; 6; 7, viết tất cả các số :

a) Chia hết cho 4 b) Chia hết cho 8

c) Chia hết cho 25 d) Chia hết cho 125

Giải Với cùng cả 4 chữ số 2; 5; 6; 7

a) Các số chia hết cho 4 có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4 nên các số phải tìm là : 6752; 7652; 2756; 7256; 5672; 6572; 2576; 5276

b) Các số chia hết cho 8 có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 nên các số phải tìm là

6752; 2576 c) Các số chia hết cho 25 có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 25 nên các số phải tìm

là : 7625

Bài 4 Dùng 4 chữ số 0; 1; 2; 5 có tạo thành bao nhiêu số có 4 chữ số , mỗi chữ

số đã cho chỉ lấy một lần sao cho

a) Các số đó chia hết cho 2

b) Các số đó chia hết cho 5

c) Các số đó chia hết cho 2 và chia hết cho 5

Giải a) Các số đ−ợc tạo thành có chữ số tận cùng bằng 0 là :

1520; 1250; 2150; 2510; 5120; 5210.(sáu số)

Các số này chia hết cho 2

Các số đ−ợc tạo thành có chữ số tận cùng bằng 2 là :

5102; 5012; 1502; 1052 (4 số)

Các số này cũng chia hết cho 2

Vậy các số tạo thành thoả mãn đề bài chia hết cho 2 có 10 số

b) Các số đ−ợc tạo thành có chữ số tận cùng bằng 0 là :

1520; 1250; 2150; 2510; 5120; 5210.(sáu số)

Các số đ−ợc tạo thành có chữ số tận cùng bằng 5 là :

1205; 2015; 2105; 1025 (4 số)

Vậy các số tạo thành thoả mãn đề bài chia hết cho 5 có 10 số

c) Các số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 0

Vậy có 6 số thoả mãn đề bài vừa chia hết cho 2 , vừa chia hết cho 5

Bài 5.Từ 1đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2, cóbao nhiêu sốchia hết cho 5

Giải

* Từ 1 đến 100 có các số chia chia hết cho 2 là : 2; 4; ….98; 100

Từ 1 đến 100 có số các số chia chia hết cho 2 là: (100 - 2) : 2 + 1 = 50 (số)

* Từ 1 đến 100 có các số chia chia hết cho 5 là : 5; 10; ….95; 100

Từ 1 đến 100 có số các số chia chia hết cho 2 là: (100 - 5) : 5 + 1 = 20 (số)

Bài 6 Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5

và

a) 136 < n< 182 b) 1995 < n < 2001

Giải a) Ta có 136 < n < 182 => n ∈{137 ; 138 ;  ; 180 ; 181}

Các số tự nhiên vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 có tận cùng là 0

Do đó: Tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5

và 136 < n< 182 là: n ∈{140 ; 150 ; 160 ; 170 ,}

b) Ta có 1995 < n < 2001 => n ∈{1996 ; 1997 ;  ; 1999 ; 2000}

Các số tự nhiên vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 có tận cùng là 0

Do đó: Tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5

và 136 < n< 182 là: n ∈{2000}

Bài 7 Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích :

a) (5n + 7)(4n +6) chia hết cho 2

b) (8n + 1)(6n +5) không chia hết cho 2

c) (n + 3)(n +6) chia hết cho 2

Giải

a) Ta có : (5n + 7)(4n +6) = (5n + 7) 2 (2n +3)

Vì 2
2 ⇒(5n + 7) 2 (2n +3) ⇒ (5n + 7)(4n +6)
2

b) Ta có : (8n + 7)(6n +5)

Vì ⇒8n + 7; 6n +5 là số lẻ nên (8n + 7)(6n +5) là số lẻ, do đó :k
2

(8n + 7)(6n +5) k
2

c) * Nếu n = 2k (k∈N) thì:

(n + 3)(n +6) = (2k +3)(2k + 6) = (2k +3).2.(k+3) = 2(k + 3)(2k + 3)

Vì 2
2 ⇒2(k + 3)(2k + 3) ⇒(n + 3)(n +6)
2

* Nếu n = 2k + 1 (k∈N) thì:

(n + 3)(n +6) = (2k + 1 +3)(2k + 1 + 6)
2 = (2k + 4)(2k + 7) = 2(k + 2)(2k + 7) Vì 2
2 ⇒2(k + 2)(2k + 7)
2⇒(n + 3)(n +6)
2

Vậy ⇒(n + 3)(n +6)
2

Bài 8 Chứng minh rằng:

a) 94260 - 35137 chia hết cho 5

b) 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5

c) 5n - 1
4 (n ∈N)

d) 92n - 1
2 và 5 (n ∈N)

e) n2 + n + 1 không chia hết 4 và không chia hết cho 5

g) n2 + n + 6 không chia hết cho 5

Giải a) 94260 - 35137 = 9424 15 - 35137 = (  6 ) − (  1 ) = (  5 )

Vì (  5 )
5 ⇒ 94260 - 35137
5

b) 995 - 984 + 973 - 962 = (  9 ) − (  6 ) + (  3 ) − (  6 ) = (  0 )

Vì (  0 )
2 và 5 nên 99 5 - 984 + 973 - 962
2 và 5

c) 5n - 1
4 (n ∈N)

- Với n = 0 thì 5n - 1 = 50 - 1 = 1- 1 = 0 Vì 0
4 nên 5 n - 1
4

- Với n = 1 thì 5n - 1 = 51 - 1 = 5- 1 = 4 Vì 4
4 nên 5 n - 1
4

- Với n > 1 thì 5n - 1 = (  5 )- 1 = ( 4 ) Vì ( 4 )
4 nên 5n - 1
4

Vậy 5n - 1
4 (n ∈N)

d) 92n - 1
2 và 5 (n ∈N)

Ta có : 92n - 1 = (92)n - 1 = ( 1 ) - 1 = 0

vì 0
2 và 5 nên 92n - 1
2 và 5 (n ∈N)

e) n2 + n + 1 không chia hết 4 và không chia hết cho 5

Ta có : n2 + n + 1 = n(n + 1) + 1

- Vì n(n+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên n(n+1)
2 tức n(n + 1) là một số chẵn => n(n + 1) + 1 là một số lẻ

=> n(n + 1) + 1 k
4

=> n2 + n + 1 k
4

- Vì n(n+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 và 9 nên n(n + 1) + 1 không có tận cùng là 5, 0

=> n(n + 1) + 1 k
5

=> n2 + n + 1 k
5

g) n2 + n + 6 k
5

Ta có : n2 + n + 6 = n( n + 1) + 6

Vì n(n + 1) là 2 số tự nhiên liên tiếp nên có tận cùng có thể là 0; 2; 6 nên :

n( n + 1) + 6 có tận cùng là 6; 8; 2 không chia hết cho 5 nên n2 + n + 6 k
5

Bài 9 Không làm tính hãy cho biết các số sau đây có chia hết cho 2 không?

a) A = 20022001 - 20012000

b) B = 20012002 + 19992000

c) C = 1 + 33 + 34 + 35

Giải a) A = 20022001 - 20012000 = 2002 20022000 - 20012000 = 2.2001.20022000 - 20012000

Tích các số lẻ là một số lẻ nên 20012000 là một số lẻ Do đó:

20012000 không chia hết cho 2

⇒2.2001.20022000 - 20012000 K
2

2.2001.20022000
2

b) Tích các số lẻ là một số lẻ nên 20012002 , 19992000 là các số lẻ Do đó:

B = 20012002 + 19992000 là số chẵn => B
2

c) 1 , 33 , 34 , 35 là các số lẻ nên tổng C = 1 + 33 + 34 + 35 là một số chẵn Do đó: C

2

Bài 10 Chứng minh B = 20002001 - 20012002 không chia hết cho 5

Giải

B = 20002001 - 20012002 = 2000 20002000 - 20012002

vì 2000
5 => 2000 20002000
5

⇒ 2000 20002000 - 20012002K
5

2001 K
5 ⇒20012002 K
5

⇒ B K
5

Bài 11 Gọi A là tổng tất cả các số chẵn không v−ợt quá 2002, B là tổng tất cả các số lẻ không v−ợt quá 2002 Hỏi hiệu A - B có chia hết cho 2 không, có chia hết cho 5 không

Giải

A là tổng tất cả các số chẵn không v−ợt quá 2002 là:

A = 2 + 4 + 6+ …+ 1998 + 2000 + 2002

Tổng A có tất cả: (2002 - 2) : 2 + 1 = 1001 số

B là tổng tất cả các số lẻ không v−ợt quá 2002

B = 1 + 3 + 5 + …+ 1997 + 1999 + 2001

Tổng B có tất cả: (2001 - 1) : 2 + 1 = 1001 số

A - B = (2+4+6+ …+ 1998 + 2000 + 2002) - (1 + 3 + 5 + …+ 1997 + 1999 + 2001)

= (2 -1 ) + (4 - 3) + (6 - 5) + …+ (2002 - 2001)

=    

1 so 1001

1 1

1

1 + + + … + = 1001

Vì 1001 K
2 và 5 nên A - B K
2 và 5

Bài 12 Có hai số tự nhiên nào mà tổng bằng 3456 và số lớn gấp 4 lần số nhỏ không

Giải

Số lớn gấp 4 lần số nhỏ thì tổng của chúng bằng 5 lần số nhỏ , nên tổng của chúng chia hết cho 5

Mà 3456 không chia hết cho 5 nên không có hai số tự nhiên nào mà tổng bằng

3456 và số lớn gấp 4 lần số nhỏ không

Bài 13 Cho a, b ∈ N Hỏi ab(a + b) có tận cùng bằng 9 không?

Giải

- Nếu a hoặc b là một số chẵn thì ab(a + b) là một số chẵn thì ab(a + b)
2

nên ab(a + b) k
9

- Nếu a và b là một số lẻ thì ab(a + b) là một số chẵn => ab(a + b)
2

nên ab(a + b) k
9

Vậy với a, b ∈ N thì ab(a + b k
9

Bài 14 Cho A = 13! - 11!

a) A có chia hết cho 2 hay không?

b) A có chia hết cho 5 hay không?

c) A có chia hết cho 155 hay không?

Giải

Ta có A = 13! - 11! = 1 2…12.13 - 1 2 10 11 = ( 0 ) − ( 0 ) = ( 0 )

a) Vì ( 0 )
2 nên A
2

b) Vì ( 0 )
5 nên A
5

c) Ta có A = 13! - 11! = 1 2…11.12.13- 11! = 11! 12 13 - 11!

= 11! (12 13 -1) = 11! (156 - 1) = 155

Vì 155
5 nên A
5

Bài 15 Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154 có chia hết cho 2, cho 5 không?

Giải

Gọi A là tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154 Ta có:

A = 1 + 2 + … + 154

=

2

154 ).

154 1

( +

= 155 77 +) Vì 155 k
2 ⇒ 155 77 k
2 ⇒ Ak
2

+) 155
5 ⇒ 155 77
5 ⇒A
5

Bài 16 Cho A = 119 + 118 + 117 + … + 11 + 1 Chứng minh A
5

Giải

Ta có A = 119 + 118 + 117 + … + 11 + 1 = ( ) ( ) ( )( )

1 tan 10

1 + 1 +

… + 1 + 1 + 1

la cung co so

= ( 0 )

Vì ( 0 )
5 nên A
5

Bài 17 Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 2 nh−ng không chia hết cho 5

Giải Các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 là: 0; 1; 2 … 999

Các số chia hết cho 2 nh−ng không chia hết cho 5 có tận cùng là 2; 4; 6; 8

Mỗi một chục số có 4 số nh− vậy

Từ 0 đến 999 có 100 chục số

Do đó có tất cả : 4 100 = 400 số

Vậy trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 có 400 số chia hết cho 2 nh−ng không chia hết cho 5

Bài 18 Tìm các số tự nhiên chia cho 4 thì d− 1; còn chia cho 25 thì d− 3

Giải

- Các số chia hết cho 25 có tận cùng là 00; 25; 50; 75; nên các số chia cho 25 d− 3

có tận cùng là 03; 28; 53 ; 78

- Các số chia hết cho 4 có 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 nên số chia hết cho 4 d− 1 có 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 d− 1 Trong các số 00; 25; 50; 75 có số 75 chia cho 4 d− 1

Vậy số tự nhiên có tận cùng là 53 chia cho 4 thì d− 1; còn chia cho 25 thì d− 3 Bài 19 Tìm các số tự nhiên chia cho 8 d− 3 , chia cho 125 thì d− 12

Giải

- Các số chia hết cho 125 có tận cùng là 000; 125; 250; 375; 500; 625; 750; 875; nên các số chia cho 125 d− 12 có tận cùng là 012; 137; 262; 387; 512; 637; 762; 887;

- Các số chia hết cho 8 có 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 nên số chia hết cho 8 d− 3 có 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 d− 3 Trong các số 012; 137; 262; 387; 512; 637; 762; 887có số 387 chia cho 8 d− 3

Vậy số tự nhiên có tận cùng là 387 chia cho 8 thì d− 3; còn chia cho 125 thì d− 12

Bài 20 Có phép trừ hai số tự nhiên nào mà số trừ gấp 3 lần hiệu và số bị trừ bằng 1030 hay không?

Giải

NX : SBT - ST = H => SBT = ST + H

Số trừ gấp 3 lần hiệu thì số bị trừ gấp 4 lần hiệu do đó SBT chia hết cho 4 mà 1030 không chia hết cho 4 nên nên không có phép trừ hai số tự nhiên nào mà số trừ gấp

3 lần hiệu và số bị trừ bằng 1030

Bài 21 Chứng minh rằng một số tự nhiên đ−ợc viết toàn bằng chữ số 4 thì không chia hết cho 8

Giải

NhËn xÐt : 44 k
8; 444 k
8

Gi¶i sö A ®−îc ghi bëi n ch÷ sè 4 (n >3)

Ta cã : A = 

4

4444

44

so chu n

= 44…4000 + 444 = 44…4 1000 + 440 = 44…4 125 8 + 444

V× 8
8 ⇒44…4 125 8
8 mµ 444 k
8 ⇒44…4 125 8 + 44
8 ⇒ A
8

VËy mét sè tù nhiªn ®−îc viÕt toµn b»ng ch÷ sè 4 th× kh«ng chia hÕt cho 8

Bµi 22

bài tập về dấu hiệu chia hết cho 2 và 5

Bài 1 Trong các số sau, số nào chia hết cho 2, cho 4, cho 5, cho 8 , cho 125

5341; 1010; 1984; 1076; 2782; 3452; 6375; 7800

Bài 2 Thay số x, y bằng các chữ số thích hợp để:

a) 375x chia hết cho 5; cho 25; cho 125

Bài 3 Với cùng cả 4 chữ số 2; 5; 6; 7, viết tất cả các số :

a) Chia hết cho 4 b) Chia hết cho 8

c) Chia hết cho 25 d) Chia hết cho 125

Bài 4 Dùng 4 chữ số 0; 1; 2; 5 có tạo thành bao nhiêu số có 4 chữ số , mỗi chữ

số đã cho chỉ lấy một lần sao cho

a) Các số đó chia hết cho 2

b) Các số đó chia hết cho 5

c) Các số đó chia hết cho 2 và chia hết cho 5

Bài 5.Từ 1đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2, cóbao nhiêu sốchia hết cho 5 Bài 6 Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5

và

a) 136 < n< 182 b) 1995 < n < 2001

Bài 7 Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích :

a) (5n + 7)(4n +6) chia hết cho 2

b) (8n + 1)(6n +5) không chia hết cho 2

c) (n + 3)(n +6) chia hết cho 2

Bài 8 Chứng minh rằng:

a) 94260 - 35137 chia hết cho 5

b) 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5

c) 5n - 1
4 (n ∈N)

d) 92n - 1
2 và 5 (n ∈N)

e) n2 + n + 1 không chia hết 4 và không chia hết cho 5

g) n2 + n + 6 không chia hết cho 5

Bài 9 Không làm tính hãy cho biết các số sau đây có chia hết cho 2 không?

a) A = 20022001 - 20012000

b) B = 20012002 + 19992000

c) C = 1 + 33 + 34 + 35

Bài 10 Chứng minh B = 20002001 - 20012002 không chia hết cho 5

Bài 11 Gọi A là tổng tất cả các số chẵn không v−ợt quá 2002, B là tổng tất cả các số lẻ không v−ợt quá 2002 Hỏi hiệu A - B có chia hết cho 2 không, có chia hết cho 5 không

Bài 12 Có hai số tự nhiên nào mà tổng bằng 3456 và số lớn gấp 4 lần số nhỏ không

Bài 13 Cho a, b ∈ N Hỏi ab(a + b) có tận cùng bằng 9 không?

Bài 14 Cho A = 13! - 11!

a) A có chia hết cho 2 hay không?

b) A có chia hết cho 5 hay không?

c) A có chia hết cho 155 hay không?

Bài 15 Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154 có chia hết cho 2, cho 5 không? Bài 16 Cho A = 119 + 118 + 117 + … + 11 + 1 Chứng minh A
5

Bài 17 Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 2 nh−ng không chia hết cho 5

Bài 18 Tìm các số tự nhiên chia cho 4 thì d− 1; còn chia cho 25 thì d− 3

Bài 19 Tìm các số tự nhiên chia cho 8 d− 3 , chia cho 125 thì d− 12

Bài 20 Có phép trừ hai số tự nhiên nào mà số trừ gấp 3 lần hiệu và số bị trừ bằng 1030 hay không?

Bài 21 Chứng minh rằng một số tự nhiên đ−ợc viết toàn bằng chữ số 4 thì không chia hết cho 8

Bài 21