Khi giải pt lượng giác có chứa ẩn ở mẫu chúng ta thường đặt điều kiện: x x0 .. Ta thÊy ®iÓm ngän cung..[r]
Trang 1Chuyên đề1: loại nghiệm không thích hợp trong
phương trình lượng giác.
I.Phương pháp loại nghiệm bằng hình học.
1.Phương pháp Khi giải pt lượng giác có chứa ẩn ở mẫu chúng ta thường đặt điều kiện:
x và khi giải phương trình chúng ta tìm được x = Để loại đi nghiệm không
p
m
x 2
0
n
k
2 thích hợp ta làm như sau:
1) Biểu diễn trên 1 đường tròn lượng giác p điểm ngọn của cung và n điểm ngọn của
p
m
x 2
0
cung
n
k
2
2) Lấy nghiệm pt là các điểm ngọn của cung mà không trùng với cung
n
k
2
p
m
x 2
0
2 Các ví dụ
1 cot
) sin (cos
2 2
cot tan
1
x x
x x
Giải
Điều kiện: ( m Z )
0 1 cot
0 2 cot tan
0 2 sin
0 cos
0 sin
x
x x
x x x
1 cot
0 2 sin
x
x
m x
m x
4
2
Khi đó: cotx - 1 = (Cosx - sinx)
1 cot
) sin (cos
2 2
cot tan
1
x x
x
x x
x
2 sin cos cos
= 2cosx(cosx - sinx) = (Cosx - sinx)
x
x Cosx
sin
sin
x x
x x
cos sin 2
) sin (cos
( k Z )
2 cos
2
0 sin cos
x
x x
2
2 cos
1 cot
x
x
2 4
4
k x
k x
Từ điều kiện ta thấy nghiệm x k bị loại, do đó ta sẽ biểu diễn trên đường tròn lượng giác
4 điểm ngọn các cung ; ;
2
m m
4 k
4
Ta thấy điểm ngọn cung 2 trùng nên bị loại
4 k
4
3
4
Vậy nghiệm của pt là: x = 2
4 k
.
.
.
x
y
o
Lop11.com
Trang 2
Bài tập.Giải các phương trình sau
1) Đs: x =
x
x x
2 sin
2 cos 1 2 cot
1 2
2 4
k
2) 2tanx + cotx = 3 + Đs: x =
x
2 sin
4 3) 2cos 0
sin tan
) tan (sin
x x
x
x x
1 2 sin
) 2 (sin
sin 3 ) sin 2 (cos
x
x x x
x x
1 sin cos
2
cos sin 2 cos
x x
x x x
6) 2Sin3x - = 2Cos3x +
x
sin
1
Cosx
1
7) 5( Sinx + ) = Cos2x + 3
x
x x
2 sin 2 1
3 sin 3
cos
II Phương pháp loại nghiệm bằng đại số.
VD2.Giải pt sau: 1
9 cos
5 cot
x
x x
Giải
Điều kiện:
0 9 cos
0 5 sin
x x
Khi đó: 1 sinx sinxcos5x = sin5xcos9x
9 cos
5 cot
x
x x
x
x
9 cos 5
sin
5 cos
(sin14 sin4 ) Sin6x = Sin14x
2
1 ) 4 sin 6
(sin 2
1
x x
x
2 14
6
2 14
6
m x x
m x x
10 20
4
m x
m x
Với x = ta có Sin5x = sin = Sin( + m ) = Sin 0 k m 4k
4
m
4
5m
4
4
4
Cos9x = cos = cos( ) = cos 0 m 2 + 4k
4
9
4
4
4
m k
Từ m 4k , m 2 + 4k ta có m = 1 + 4k hoặc m = 3 + 4k
Vậy nghiệm pt là: x = + k ; x = + k
4
4
Với x ta có Sin5x = Sin( ) 0 k
10 20
2 4
2 4
m
1 + 2m 4k đúng với mọi m, k Z
Cos9x = Cos( ) 0 18m 1 + 20k đúng với mọi m, k Z
10
9 20
9 m
10
9 20
9 m k
Lop11.com
Trang 3Vậy các nghiệm của pt là: x = + k ; x = + k ; x
4
4
10 20
k
) sin 1 )(
sin 2 1 (
cos ) sin 2 1
x x
x x
Giải
Điều kiện: ( k Z )
1 sin
2 1
x
Sinx
2 2
2 6
7
2 6
k x
k x
k x
Khi đó: 3 cosx - 2sinxcosx = (1 + sinx - 2sin2x)
) sin 1 )(
sin 2 1 (
cos ) sin 2 1
x x
x x
Cosx - sin2x = 3(sinx + cos2x) Cosx - 3sinx = sin2x + 3cos2x Cosx - sinx = sin2x + cos2x Cos(x + ) = Cos(2x - )
2
1
2
3
2
1
2
3
6
( m Z)
2 6
2 3
2 6
2 3
m x
x
m x
x
3
2 18
2 2
m x
m x
Ta thấy nghiệm x = + m2 bị loại, ta xét x
2
3
2 18
m
- + k2 1 + 6m 18k đúng m, k Z
3
2 18
m
6
+ k2 6m 11 + 18k đúng m, k Z
3
2 18
m
6
+ k2 6m 5 + 18k đúng m, k Z
3
2 18
2
Vậy nghiệm của pt là: x ( m Z)
3
2 18
m
Bài tập.Giải các pt sau:
1) Cot3xcotx = 1
2) Cos3xtan5x = sin7x Đs: x =k; x =
10 20
3) 16(1 cos4 )
2 cos
tan2
2
x x
x x
4) tan5xtan2x = 1
5) tanx - 3cotx = 4(sinx + 3cosx)
Lop11.com
Trang 4Lop11.com