Cuûng coá: - Nắm vững được công thức tính sin, côsin, tang, côtang của tổng, hiệu hai góc, công thức góc nhân đôi để giải các bài toán như tính giá trị lượng giác của một góc, rút gọn nh[r]
Trang 1Tuần 32:
Tiết 58 + 59 : Công thức lượng giác
Số tiết: 2
I Mục tiêu:
1 Về kiến thức:
- Hiểu công thức tính sin, côsin, tang, côtang của tổng, hiệu hai góc
- Từ các công thức cộng suy ra công thức góc nhân đôi
- Hiểu công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích
2 Về kĩ năng:
- Vận dụng được công thức cộng, công thức góc nhân đôi để giải các bài toán như tính giá trị lượng giác của một góc, rút gọn những biểu thức lượng giác đơn giản và chứng minh một số bất đẳng thức
- Vận dụng được công thức biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành tích vào một số bài toán biến đổi, rút gọn biểu thức
3 Về tư duy, thái độ:Biết quy lạ về quen; cẩn thận, chính xác
II Chuẩn bị phương tiện dạy học:
1 Thực tiễn: Hs đã biết các công thức về: Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt,
2 Phương tiện:
+ GV: Chuẩn bị các bảng phụ kết quả mỗi hoạt động, SGK, thước, compa,
+ HS: Xem bài trước ở nhà, SGK,
III Gợi ý về PPDH: Cơ bản dùng PP gợi mở, vấn đáp thông qua các HĐ điều khiển tư duy.
IV Tiến trình bài học và các hoạt động:
1 Ổn định lớp:
2 Kiểm tra bài cũ:
* Tiết 58: Viết gtlg của các cung có liên quan đặc biệt: cung đối nhau và cung phụ nhau ? Không sử dụng máy tính: tính sin(-9 ), cos(-6900 ) ( Đs: - , )
4
2
3 2
* Tiết 59: Viết công thức cộng và công thức nhân đôi ? Tính sin7 ( Đs: )
12
4 +
3 Bài mới:
Tiết 58:
HĐ1: Giới thiệu công thức cộng:
I Công thức cộng:
cos( a - b) = cosacosb + sinasinb
cos( a + b) = cosacosb – sinasinb
sin( a - b) = sinacosb – cosasinb
sin( a + b) = sinacosb + cosasinb
tan( a - b) = tan a tan b
1 tan atan b+ -tan( a + b) = tan a tan b
1 tan atan b- + Với điều kiện là các biểu thức trên có nghĩa
* Ta cm ct thứ 2
cos( a + b) = cos[a-(-b)]
= cosacos(-b) + sinasin(-b)
= cosacosb – sinasinb
* Ta cm ct thứ 3
sin( a - b) = cos [( -a) +b]
2
* Tính cos( ) ?
12
* Phân tích thành tổng
12
(hiệu) của 2 góc đặc biệt ? Dán bảng phụ công thức Þ
* Ta thừa nhận công thức đầu tiên
* Nêu cách cm 1 đẳng thức ?
+ Ta cm công thức thứ hai:
Áp dụng ct thứ 1
+ Áp dụng ct 2 cung phụ nhau
* = - 12
3
4
* Hs quan sát
* Hs trả lời câu hỏi mà GV đặt ra trong quá trình cm
Trang 2= cos( - a)cosb - sin( -a)sinb
2
2
= sinacosb + cosasinb
* HĐ1SGK: Hãy cm c.thức:
sin( a + b) = sinacosb + cosasinb ?
+ Ta áp ct thứ 3 + Ta có thể áp dụng ct cung phụ và ct thứ 1
* Học sinh trả lời:
sin( a + b) = sin[a - (-b)]
= sinacos(-b) - cosasin(-b)
= sinacosb + cosasinb (đpcm)
HĐ2: Rèn luyện kĩ năng sử dụng công thức
cộng tính các giá trị lượng giác và chứng
minh các đẳng thức lượng giác:
VD1: Tính tan .
12
13
Giải:
Ta có: tan = tan( + )
12
13
12
= tan
12
= tan ( - )
3
4
=
4
tan 3 tan 1
4
tan 3 tan
=
3 1
1 3
VD2: Chứng minh rằng:
=
) sin(
) sin(
b a
b a
b a
b a
tan tan
tan tan
Giải:
Ta có:
=
)
sin(
)
sin(
b
a
b
a
b a b
a
b a b
a
sin cos cos
sin
sin cos cos
sin
=
b a
b a b
a
b a
b a b
a
cos cos
sin cos cos
sin
cos cos
sin cos cos
sin
= (đpcm)
b a
b a
tan tan
tan tan
* Gv đưa vd1
* tan(a+ k2p) = ?
* Phân tích về dạng
12
13
?
k
tan( + ) = ? 12
* Phân tích về tổng, hiệu
12
của hai cung đặc biệt?
* Có dạng ct nào ?
* Gv đưa vd1
* Cách cm 1 đẳng thức ?
= ? ) sin(
) sin(
b a
b a
Chia hai vế cho cosacosb ta được?
* Tính nhanh
A = sin cos + cos sin3
p
6
p
3
p
6
p
* Hs tìm hiểu đề
* = tana
* + 12
= tan 12
* = - 12
3
4
* Ct thứ 5
* Hs tính
* Hs tìm hiểu đề
* Hs phát biểu
* A = sin( + ) = sin =1
3
p
6
p
2
p
HĐ3: Giới thiệu công thức nhân đôi:
II Công thức nhân đôi:
Cho a = b trong công thức cộng ta được công
thức nhân đôi sau:
sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos2a – sin2a
= 2cos2a-1
= 1 – 2sin2 a
a
a
2 tan 1
tan 2
* Thế b = a trong các công thức cộng ta được gì?
* sin2a + cos2a = 1 Tìm cos2a theo cos2a ( sin2a)?
* sin3 = ?p
* sin3a = 3sinacosa ?
* cos3a = cos3a – sin3a ?
* Học sinh trả lời
* sin3 = 2 sinp 3 cos
2
2
p
* Không
* Không
Lop10.com
Trang 3Từ công thức nhân đôi ta suy ra công thức
hạ bậc sau:
cos2a =
2
2 cos
sin2a =
2
2 cos
tan2a =
a
a
2 cos 1
2 cos 1
Từ : cos2a = 2cos2a-1 , cos2a = 1 – 2sin2 a Tìm cos2a, sin2a theo cos2a?
Từ công thức vừa tìm được tìm tan2a?
cos2a =
2
2 cos
sin2a =
2
2 cos
tan2a =
a
a
2 2
cos sin
=
a
a
2 cos 1
2 cos 1
HĐ4: Rèn luyện kĩ năng sử dụng công thức
nhân đôi và công thức hạ bậc tính các giá trị
lượng giác:
VD1: Biết sina + cosa = , tính sin2a.
2 1
Giải:
Ta có:
1 = sin2a + cos2a
= (sina + cosa)2 – 2sinacosa
= ( )2 - sin2a
2
1
sin2a = -1 + = -
4
1 4 3
VD2: Tính cos
8
Giải
8
2 8 2 cos
2 4 cos
= =
2 2
2
1
4
2
2
Vì 0 < < nên cos > 0
8
2
8
8
2
2
2
* Gv đưa vd
* Tìm mối quan hệ của sina + cosa và sin2a?
sin2a + cos2a = ? Tìm sin2a?
* Cung và cung đặc biệt
8
nào để ta có thể sử dụng 1 trong 2 công thức trên?
cos2 =?
8
Vì 0 < <
8
2
nên cos > 0 ?
8
* Hs tìm hiểu đề
* sin2a + cos2a
= (sina + cosa)2 – 2sinacosa = ( )2 - sin2a
2 1 sin2a + cos2a = 1
sin2a = -
4 3
và , ta sử dụng công 8
4
thức hạ bậc
cos2 = 8
2 4 cos
=
4
2
2
cos =
8
2
2
2
Tiết 59:
III Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng
thành tích:
HĐ1: Giới thiệu công thức biến đổi tích
thành tổng:
1 Công thức biến đổi tích thành tổng:
cosacosb = [cos(a - b) + cos(a+b)]
2 1
sinasinb = [cos(a - b) - cos(a+b)]
2
1
sinacosb = [sin(a - b) + sin(a+b)]
2 1
Các công thức trên gọi là công thức biến đổi
tích thành tổng.
* Viết 4 ct cộng đầu tiên ?
HĐ2 SGK: Từ các công thức cộng hãy suy ra các công thức trên.
* Gv hướng dẫn hs cm những công thức trên
cos(a - b) + cos(a+b) = ?
cos(a - b) - cos(a+b) = ? sin(a - b) + sin(a+b) = ?
* Hs lên bảng
* Hs trả lời:
* cos(a - b) + cos(a+b) = cosacosb + sinasinb + cosacosb – sinasinb = 2cosacosb
cosacosb
= [cos(a - b) + cos(a+b)] 2
1
Tương tự:
cos(a - b) - cos(a+b) = 2sinasinb
sinasinb
= [cos(a - b) - cos(a+b)] 2
1 Và : sin(a - b) + sin(a+b)
Trang 4= 2sinacosb sinacosb =
[sin(a - b) + sin(a+b)] 2
1
HĐ2: Rèn luyện kĩ năng sử dụng công thức
biến đổi tích thành tổng tính giá trị biểu thức:
VD: Tính giá trị của các biểu thức:
A = sin cos , B = sin sin
8
8
3
24
13
24
5
Giải:
* Ta có:
A = [sin( - ) + sin( + )]
2
1
8
8
3
8
8
3
= [sin(- ) + sin ]
2
1
4
2
= [-sin + sin ]
2
1
4
2
= [- + 1]
2
1
2
2
= (1 - )
2
1
2
2
* Ta có:
B = [cos( - ) - cos( + )]
2
1
24
13
24
5
24
13
24 5
= [cos - cos ]
2
1
24
8
24
18
= (cos - cos )
2
1
3
4 3
= [cos + cos ]
2
1
3
4
= [ + ]
2
1
2
1
2
2
* Gv cho vd
* Biểu thức A có dạng gì ? Xđ
a và b ?
* Gọi hs thực hiện
và - là 2 cung gì ? 4
4
* Biểu thức B có dạng gì ? Xđ
a và b ?
và là 2 cung gì ? 4
3
4
* Tìm hiểu đề
* Có dạng sinacosb với a = , b =
8
8
3
* Hs giải như cột nd + Áp dụng ct
+ Thu gọn + Cung đối
* Có dạng sinasinb với a = , b =
24
24
p
* Hs giải như cột nd + Áp dụng ct
+ Thu gọn + Cung bù
HĐ3: Giới thiệu công thức biến đổi tổng
thành tích:
1 Công thức biến đổi tổng thành tích:
cosu + cosv = 2cos cos
2
v
u
2
v
u
cosu - cosv = -2sin sin
2
v
u
2
v
u
sinu + sinv = 2sin cos
2
v
u
2
v
u
sinu - sinv = 2cos sin
2
v
u
2
v
u
* VD(HĐ3): Bằng cách đặt
u = a- b, v = a+b, hãy biến đổi: cosu + cosv, sinu + sin v thành tích
* Từ u = a - b, v = a + b tìm a,
b theo u và v?
Thế vào công thức biến đổi tích thành tổng và sd cung đối
* Gv hd cm 2 ct còn lại
* sinacosb = [sin(a - b) -
2 1 sin(a+b)]
* Hs trả lời:
u = a- b, v = a+b
a = , b =
-
2
v
u
2
v
u
* cosacosb = [cos(a - b) +
2 1 cos(a+b)]
2
v
u
2
v
u cosu + cosv
* sinasinb = [cos(a - b)
-2 1 cos(a+b)]
-2sin sin =
2
v
u
2
v
u
cosu - cosv
* Hs cùng GV cm
Lop10.com
Trang 52sin cos =
2
v
u
2
v
u
sinu + sinv
* Áp dụng ct thứ 3 cm ct thứ 4 * sinu - sinv = sinu + sin(-v)
= 2sinu vcos
2
2 +
2
v
u
2
v
u
HĐ4: Rèn luyện kĩ năng sử dụng công thức
biến đổi tổng thành tích tính giá trị biểu thức
và chứng minh hệ thức lượng giác:
VD: Tính A = cos + cos + cos
9
9
5
9
7
Giải:
Ta có: A = (cos7 + cos )+ cos
9
p
9
p
9 5
= 2cos cos - cos
9
9
p
9 4
= 2.cos cos - cos
3
p
9
4
9 4
= 2 cos1 - cos = 0
4
9
4
VD: Cmr trong tam giác ABC ta có:
sinA + sinB + sinC = 4 cos cos cos
2
A
2
B
2
C
Giải:
Ta có: A + B + C =
2 2 2
C B
A
Nên sin = cos , cos = sin
2
B
A
2
C
2
B
A
2
C
Ta có:
sinA + sinB + sinC
2
B
A
2
B
A
2
C
2
C
= 2cos cos + 2 sin cos
2
C
2
B
A
2
C
2
C
= 2cos (cos + sin )
2
C
2
B
A
2
C
2
C
2
B
A
2
B
A
= 4 cos cos cos (đpcm)
2
A
2
B
2
C
* Gom hai số hạng thứ 1 và 3, rồi sử dụng công thức biến tổng thành tích?
* Gọi hs tính
+ , là 2 góc gì ? 9
5
9 4
* Cách cm đẳng thức ?
* Tổng 3 góc trong 1 tam giác là bao nhiêu?
* , là hai góc? Suy 2
B
A
2
C
ra?
* Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi?
* Tìm hiểu đề và nghe hd
* Hs áp dụng ct như cột nd
+ Công thức hai góc bù nhau
* Hs phát biểu
* A + B + C =
* Phụ nhau
2
B
A
2
C
2
B
A
2
C
* Hs áp dụng như cột nd
4 Củng cố:
- Nắm vững được công thức tính sin, côsin, tang, côtang của tổng, hiệu hai góc, công thức góc nhân đôi để giải các bài toán như tính giá trị lượng giác của một góc, rút gọn những biểu thức lượng giác đơn giản và chứng minh một số bất đẳng thức
- Nắm vững được công thức biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành tích vào một số bài toán biến đổi, rút gọn biểu thức
5 Dặn dò: + Làm bài tập 1 đến 8 SGK tr 153 đến 155
+ Làm bài tập SGK tr 159 đến 162
+ Đọc bài đọc thêm tr 158 SGK
+ Ôn tập từ bài: Bất pt và hệ bpt 1 ẩn đến nay