Veà kó naêng: - Áp dụng được định lí côsin, định lí sin, công thức về độ dài đường trung tuyến, các công thức tính diện tích để giải 1 số bài toán có liên quan đến tam giác.. - Biết giải[r]
Trang 1Tuần 20 + 21:
Tiết 25 2 6 : Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Số tiết: 02
I Mục tiêu:
1 Về kiến thức:
- Hiểu định lí côsin, định lí sin, công thức về độ dài đường trung tuyến trong 1 tam giác
- Biết được một số công thức tính diện tích tam giác
- Biết 1 số trường hợp giải tam giác
2 Về kĩ năng:
- Áp dụng được định lí côsin, định lí sin, công thức về độ dài đường trung tuyến, các công thức tính diện tích để giải 1 số bài toán có liên quan đến tam giác
- Biết giải tam giác trong 1 số trường hợp đơn giản Biết vận dụng kiến thức giải tam giác vào các bài toán có nội dung thực tiễn Kết hợp với việc sử dụng máy tính bỏ túi khi giải toán
3 Về tư duy, thái độ:
-Biết quy lạ về quen;cẩn thận, chính xác;
- Biết được toán học có ứng dụng trong thực tiễn
II Chuẩn bị phương tiện dạy học:
1 Thực tiễn: Đã được học các hệ thức lượng trong tam giác vuông, tích vô hướng của 2 vt,
2 Phương tiện:
+ GV: Chuẩn bị các bảng phụ kết quả mỗi hoạt động, thước, compa, máy tính bỏ túi, SGK
+ HS: Xem bài trước ở nhà, SGK, thước, compa, máy tính bỏ túi
III Gợi ý về PPDH: Cơ bản dùng PP gợi mở, vấn đáp thông qua các HĐ điều khiển tư duy
IV Tiến trình bài học và các hoạt động:
1 Ổn định lớp:
2 Kiểm tra bài cũ:
* Tiết 23: Tích vô hướng của 2 vectơ, bình phương vô hướng của 1 vectơ, qt trừ, khai triển (a br- r )2 ?
* Tiết 24: Viết nội dụng định lí Côsin, công thức tính độ dài đường trung tuyến ?
Cho tam giác ABC có BC = 8, AB = 3, AC = 7 Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = 5 Tính độ dài đoạn thẳng AD (= 19)
* Tiết 25: Viết các công thức tính diện tích tam giác ?
Cho tam giác MNP có MN = 6, MP = 8, NP = 7 Tính diện tích tam giác MNP, bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác MNP
3 Bài mới:
Tiết 23
HĐ1: Ôn lại các hệ thức lượng trong tam
giác vuông
Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
* a2 = b2 + c2 (định lý Pitago)
* b2 = a.b'
* c2 = a.c'
* h2 = b'.c'
* a.h = b.c
* 12 12 12
b
* sinB = cosC = , sinC = cosB = b
a
c
a
* tanB = cotC = , cotB = tanC = b
c
c
b
* HĐ1SGK: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH =
h và có BC = a, CA = b, AB =
c Gọi BH = c', CH = b' hãy điền vào các ô trống trong các hệ thức sau đây để được các hệ thức lượng trong tam giác vuông
* Dán bảng phụ kết quả
* Hs phát biểu: điền vào các
vị trí có màu đỏ như cột nd
* Hs ghi nhận
Trang 21 Định lý Côsin
HĐ2: Bài toán dẫn vào định lý côsin (cm)
a Bài toán: Trong tam giác ABC cho biết
hai cạnh AB, AC và góc A, hãy tính cạnh
BC
Giải:
Ta có BC2 =BCuuur2= BCuuur2 =(AC ABuuur- uuur)2
= ACuuur2+ABuuur2- 2AB.ACuuur uuur
= ACuuur2+ABuuur2- 2 AC AB uuur uuur cosA
BC2 = AC2 + AB2 - 2AC.AB.cosA
Þ
Vậy BC = AC + AB - 2AC.AB.cosA2 2
* Gv viết đề bài toán
* Để tính cạnh BC ta thực hiện như thế nào ? ( ttự các bài tập đã sửa ở tiết TC)
* Tìm hiểu đề
* Trả lời: Áp dụng + Bình phương vô hướng của
1 vt + Qt trừ + Khai triển hđt + Định nghĩa tích vô hướng của 2 vt
* Hs áp dụng như cột nd
HĐ3: Giới thiệu định lý côsin và hệ quả
b Định lý Côsin
Trong ABC bất kỳ với BC = a, CA = b, D
AB = c, ta có:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
Hệ quả:
cosA = b2 c2 2
c
a
2b
-cosB = a2 c2 2
c
b
2a
-cosC = b2 a2 2
b
c
2a
-* Thay BC = a, CA = b, AB = c,
BC2 = ? Ttự cho b2, c2 ?
* HĐ2SGK: Hãy phát biểu định
lý Côsin bằng lời ?
* HĐ3SGK: Khi tam giác ABC là tam giác vuông định lý Côsin trở thành định lý quen thuộc nào ?
* Từ định lý côsin tìm cosA, cosB, cosC ?
* a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
* Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia, trừ hai lần tích của chúng và cosin của góc xen giữa hai cạnh đó
* A = 900 cosA = 0Þ
aÞ 2 = b2 + c2 Đl côsin trở thành đl Pitago
* Hs trả lời phần hệ quả
HĐ4: Giới thiệu áp dụng định lý côsin vào
cm công thức độ dài đường trung tuyến của
tam giác và ví dụ
c Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến
của tam giác và ví dụ
Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA
= b và AB = c Gọi ma, mb và mc là độ dài
các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ đỉnh A,
B và C của tam giác Ta có:
ma = 2(b2 c )2 2
4
a
-mb = 2(a2 c )2 2
4
b
-mc2 = 2(b2 a )2 2
4
c
-Ví dụ: (HĐ4SGK)
* Gv vẽ hình
* Gọi M là trung điểm của cạnh
BC Tính AM = ma ?
* Ttự cho mb , mc2 ?
* HĐ4SGK: Cho tam giác ABC có a = 7 cm, b = 8 cm, c = 6 cm hãy tính độ dài đường trung tuyến ma của tam giác ABC
* Gọi hs lên bảng
* Gv nhận xét
* Quan sát hình vẽ và nghe câu hỏi
* Aùp dụng định lý côsin vào tam giác AMB ta có:
ma = c2 + cosB
2
a 2ca
ỉ ư÷
ç ÷
-ç ÷ ç
è ø
= c2 + a2 - ac.cosB
4
= c2 + a2 - ac
4
2ac
-= 2(b2 c ) a2 2
4
-* Hs phát biểu
* Hs lên bảng
ma = 2(b2 c ) a2 2
4
= 2(64 36) 49
4
= 200 49 151
-= Vậy ma = 151
2
Lop10.com
Trang 3HĐ5: Vận dụng định lý côsin vào giải tam
giác và ứng dụng vào vật lý ï
d Ví dụ:
* VD1:Cho tam giác ABC có cạnh AC = 10
cm, BC = 16 cmvà =110Cµ 0 Tính cạnh AB
và các góc A, B của tam giác đó
Giải:
Đặt BC = a, CA = b, AB = c
+ Theo định lý côsin ta có
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
=162 +102 -2.16.10.cos1100
256 +100 -320.(-0,342) »
465,44»
Vậy c 21,6 cm»
+ Theo hệ quả của định lý côsin ta có
cosA = b2 c2 2
c
a
2b
» 102 (21,6)2 162
2.10.21,6
0,7188»
Vậy A »µ 440 2'
+ Mà µB 180= 0- (A C) 25 58'µ+ µ » 0
* VD2: Hai lực và cho trước cùng tác fur1 fur2
dụng lên một vật và tạo thành góc nhọn ( ,fur1
) = Hãy lập công thức tính cường độ
2
fur a
của hợp lực sr
Giải:
* Đặt AB =uuur ,fur1 AD =uuur và vẽ hbh ABCDfur2
Khi đó AC AB ADuuur= uuur+ uuur (qt hbh)
= + = fur1 fur2 sr
Vậy sr = ACuuur = fur1+fur2
* Theo định lý côsin đối với tam giác ABC
ta có:
AC2 = AB2 + BC2 - 2AB.AC.cosB
hay sr2 = fur12+ fur22- 2 f fur ur1 2 cos(1800 - )a
= fur12+ fur22+2 f fur ur1 2 cos (ct bù)a
* Cho vd
* Gv vẽ hình
* Tính AB theo ct nào ?
* Tính A theo ct nào ?
* Tính B theo ct nào ?
* Gọi hs lên bảng
* Hd cách tìm cos1100 bằng máy tính
* Hd cách tìm A bằng máy tính
* Cho vd
* Gv vẽ hình vẽ diễn giải
* ACuuur = ?
* AC2 = ? Þ sr2 = ?
* Hs tìm hiểu đề
* Quan sát hình vẽ
* Theo đl côsin
* Theo hq của đl côsin
* A + B + C = 1800 hoặc hq
đl côsin
* Hs lên bảng giải như cột nd
* Hs thực hành
* Hs thực hành
* Hs tìm hiểu đề
* Hs quan sát , nghe, hiểu
= AB ADuuur+ uuur (qt hbh )
* Hs lần lượt trả lời như cột nd
Trang 4Vậy = sr fur12+ fur2 2+ 2 f f cosur ur1 2 a
Tiết 24
2 Định lý sin
HĐ1: Giới thiệu và cm định lý sin
a Định lý sin
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA
= b, AB = c và R là bán kính đường tròn
ngoại tiếp, ta có:
sin A= sin B sin C= =
CM
Ta cm hệ thức a 2R Xét 2 TH
sin A=
* Góc A nhọn, ta vẽ đường kính BD của
đường tròn ngoại tiếp ABC D
BCD vuông tại C , ta có
Þ D
BC = BD.sinD hay a = 2R.sinD
Mặt khác: BAC BDC· = · (2 góc nội tiếp
cùng chắn cung »BC
Vậy: a = 2R.sinA hay a 2R (1)
sin A=
* Góc A tù, ta vẽ đường kính BD của đường
tròn tâm O ngoại tiếp ABC D
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O
Þ
Þ µD 180= 0- Aµ
sinD = sin(1800 - A) = sinA
Þ
Mặt khác: BCD vuông tại C D
BC = BD.sinD
Þ
hay a = 2R.sinA
Vậy: a = 2R.sinA hay a 2R (2)
sin A=
Từ (1) và (2) suy ra: a 2R
sin A= Các đẳng thức b 2R, c 2R
sin B= sin C= được cm tương tự
Vậy đl sin được cm
* HĐ5 sgk: Cho ABC vuông D tại A nội tiếp đường tròn bk R và có BC= a, CA = b, AB = c
sin A= sin B sin C= =
* Giới thiệu đl sin
* Gợi ý hs cm
* Gv dán bảng phụ hình vẽ
* BCD là tam giác gì ? BC = D
?
* So sánh góc A và D ?
Tứ giác ABCD ntn đtr ?
So sánh sinD và sinA ?
* Tìm hiểu đề, quan sát hình và cm
0
sin A= sin 90 =
b sin B
a
c sin C
a
Vậy
sin A= sin B sin C= =
* Tam giác vuông
* Bằng nhau
Nội tiếp đtr O Bằng nhau
HĐ2:RL kỹ vận dụng đl sin
b Ví dụ:
VD1: (HĐ6)
VD2: Cho tam giác ABC có
và cạnh b = 210 cm Tính
B 20 , C 31= =
* HĐ6 sgk: Cho tam giác đều
ABC có cạnh bằng a Hãy tính
bk đtr ngt tam giác đó
* Ta có: Tam giác ABC đều
A B C 60
Theo đl sin:
Lop10.com
Trang 5, các cạnh còn lại và bk R của đường tròn
µ
A
ngoại tiếp tam giác đó
Giải
* Ta có = 180Aµ 0 - (B Cµ+ µ)
= 1800 - (200 + 310) = 1290
* Theo đl sin, ta có: a b
sin A= sin B
0 0
bsin A 210.sin129
a
sin B sin 20
210.0,7771 477,2 (cm)
0,342
* Tương tự
c = b.sin C 210.sin310 0
sin B = sin 20
210.0,515 316,2 (cm)
0,342
2sin A » 2.sin129
477,2 307,04 (cm)
2.0,7771
* Cho vd2 và vẽ hình + Tổng 3 góc trong tam giác là bao nhiêu ?
+ Ta tính a, c, R theo ct nào ? + Tính sin1290, sin200, sin310 ?
sin A
R
2
=
+ Bằng 1800
+ Theo đl sin, hs ll phát biểu sin1290 0,7771; »
sin200» 0,342 sin310 0,515»
HĐ3: Giới thiệu và cm các ct tính dt tam
giác
3 Công thức tính diện tích tam giác
* Ta kí hiệu ha, hb, hc là các đường cao của
tam giác ABC ll vẽ từ đỉnh A, B, C và S là
diện tích tam giác đó
* Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a,
AC = b, AB = c Gọi R và r ll là bk đường
tròn ngt, nt tam giác và p = a b c là nửa
2
chu vi của tam giác
* Diện tích S của tam giác ABC đựơc tính
theo một trong các công thức sau:
1) S = a.h1 a = b.hb = c.hc
2
1 2
1 2 2) S = absinC = bcsinA = acsinB1
2
1 2
1 2 3) S = abc
4R
4) S = pr
5) S = p(p a)(p b)(p c)- - - (ct Hêrông)
Cm ct (2)
Ta biết S = a.h1 a
2
Với ha = AH = AC.sinC = b.sinC ( kể cả Cµ
nhọn, tù hay vuông)
Do đó: S = absinC.1
2
Các ct S = bcsinA, S= casinB được cm 1
2
1 2
* HĐ7 sgk: Hãy viết các công
thức tính dt tam giác theo 1 cạnh và dường cao tương ứng
* GV dán bảng phụ công thức và diễn giải các yếu tố trong ct
* GV vẽ các th của góc C
Tính ha, S ?Þ
* HĐ8 sgk: Dựa vào ct (2) và đl
sin , hãy cm ct (3)
* S = a.h1 a = b.hb = c.hc
2
1 2
1 2
* Quan sát, nghe, hiểu
* Quan sát
Hs ll trả lời như cột nd
* S = absinC = ab1 2
1 2 c 2R
Trang 6ttự
* HĐ9 sgk: Cm ct (4)
Gv vẽ hình Hd: Phân tích D ABC thành những tam gíc nhỏ
= abc
4R
SABC = SOAB + SOBC + SOCA
= r.c + r.a + r.b1
2
1 2
1 2 = r(a + b + c)1
2 = pr
HĐ4:RL kỹ năng vận dụng các ct tính dt
tam giác
VD1: Tam giác ABC có các cạnh a = 13 cm,
b = 14 cm, c = 15 cm
a) Tính diện tích tam giác ABC,
b) Tính bk đường tròn nt, ngt tam giác ABC
Giải
a) * Ta có: p = (a + b + c)1
2 = (13 + 14 + 15) = 211
2
* Theo ct Hê - rông:
S = p(p a)(p b)(p c)- -
= 21(21 13)(21 14)(21 15)- -
= 21.8.7.6 84= (m2)
b)* Ta có: S = pr r S 84 4
p 21
* S = abc
4R
(m)
abc 13.14.15
VD2: Tam giác ABC có cạnh a = 2 3,b =
2, = 30Cµ 0 Tính cạnh c, góc A và S
Giải
* Theo đl Côsin ta có:
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
= 12 + 4 - 2.2 3.2 3 = 4
2
c = 2
Þ
Tam giác ABC cân tại A ( vì b = c)
Þ
Þ µB C 30= µ= 0
* A 180µ= 0- (B C)µ+ µ = 1200
* S = acsinB = 21 2 =
2
1
1
* Cho vd
* Để tính S ta tính gì ?
* Gọi hs tính
* Tính r theo ct nào ?
* Tính R theo ct nào ?
* Cho vd
* Nhận xét gì về góc và 2 cạnh mà đề bài cho ?
Tính c theo ct nào ? Þ
* Ta tính góc A theo đl sin được không ?
Hạn chế tìm góc theo đl sin, Þ
trừ khi gt cho góc đó là nhọn hay tù
* Tìm hiểu đề
* Tính p
* Hs tính
* Hs pb như cột nd
* Tìm hiểu đề
* Góc tạo bởi 2 cạnh đó
* Theo đl côsin, hs tính
* Không vì sinA = 3 nên
2 cách tìm A sẽ dài
* Hs tính S
Tiết 25
4 Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo
đạc
HĐ1: RL kỹ năng giải tam giác
a) Giải tam giác * Gv giới thiệu cách giải tam * Nghe, hiểu
Lop10.com
Trang 7* Giải tam giác là tìm một số yếu tố của
tam giác khi cho biết các yếu tố khác
* Muốn giải tam giác ta thường sử dụng các
hệ thức đã được nêu lên trong định lý cosin,
định lý sin và các công thức tính diện tích
tam giác
VD1: Cho tam giác ABC biết a = 17,4m,
= 44030' và = 640 Tính góc và các
µ
cạnh b, c
Giải
* Ta có =180Aµ 0 - ( + )B µµ C
= 1800 -(44030' + 640) = 71030'
* Theo Đl sin ta có a = =
sin A
b sin B
c sin C
b = asin B=
sin A
0 0
17,4.sin 44 30' sin 71 30' 17,4.0,7009 12,9 (m)
0,9483
c = asin C=
sin A
0 0
17,4.sin 64 sin 71 30' 17,4.0,8988 16,5 (m)
0,9483
VD2: Cho tam giác ABC có cạnh a = 49,4
cm, b = 26,4 cm và =47Cµ 020' Tính cạnh c,
và
µ
A Bµ
Giải
* Theo ĐL cosin ta có
c2 = a2 + b2 -2ab.cosC
(49,4)» 2 + (26,4)2 - 2.49,4.26,4.0,6777
1369,66»
Vậy c = 1369,66 37» (cm)
* Ta có
cosA = b2 c2 a2
2bc
697 1370 2440 -0,191
2.26,4.37
là góc tù và 1010
* Do đó = 180Bµ 0-( + ) A µµ C
= 1800 -(1010 + 47020') 31» 040'
VD3: Cho tam giác ABC có cạnh a = 24 cm,
b = 13 cm và c = 15 cm Tính diện tích S của
tam giác và bán kính r của đường tròn nội
tiếp tam giác
Giải
* Nửa chu vi tam giác ABC
p = (a + b + c) = (24 + 13 +15) = 261
2
1 2
* Diện tích tam giác ABC
S = p(p a)(p b)(p c)- -
-giác
* Cho vd
* Cạnh a như thế nào với góc
B, C ?
* 10 = ? phút
* Tổng 3 góc trong tam giác bằng bào nhiêu ?
* Tính b, c theo ct nào ?
sin44030' ?» sin71030' ?»
* Ta tính c theo đl côsin được không ?
sin640 ?»
* Cho vd2
* Nhận xét gì về góc và 2 cạnh mà đề bài cho ?
cos47020' ?»
cosA - 0,191 ?» Þ A »µ
* Cho vd2
* Tính S theo ct nào ?
* Gọi hs tính
* Tìm hiểu đề
* Xen giữa
= 60'
* 1800
* Theo đl sin
Hs nhấn máy tính và trả lời 0,7009
» 0,9483
»
* Được 0,8988
»
* Tìm hiểu đề
* Xen giữa
0,6777
»
Hs nhấn máy tính và trả lời
1010
µ
A »
* Tìm hiểu đề
* S = absinC = bcsinA 1 2
1 2
= acsinB hoặc ct Hê-rông1 2
* Hs tính
Trang 8= 26(26 24)(26 13)(26 15)- -
= 26.2.13.11 26 11= (cm2)
* S = pr r = Þ S 26 11 11 (cm)
p= 26 =
HĐ2: Ứng dụng của giải tam giác vào đo
đạc
b Ứng dụng vào việc đo đạc
Bài toán 1:Đo chiều cao của một cái tháp
mà không thể đến được chân tháp Giả sử
CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là
chân tháp Chọn 2 điểm A, B trên mặt đất
sao cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng Ta đo
khoảng cách AB và các góc CAD,CBD· ·
Chẳng hạn ta đo được AB = 24 m,
CAD= a = 63 CBD· = b= 480
chiều cao h của tháp
Giải
* Áp dụng định lý sin vào tam giác ABD ta
có: AD AB
sinb = sin D
Ta có: a+ DAB 180· = 0
= 630-480=150
µ
-Do đó: AD = ABsin 24sin 480 0
b
24.0,7431 68,91
0,2588
Trong tam giác vuông ACD ta có
h = CD = ADsin 61,4 (cm)a »
* Gv tóm tắt bài toán trên hình vẽ
* Để tính CD ta cần tìm gì ? Bằng cách nào ?
* a,DAB· là 2 góc gì ?
sin480 ?» sin150 ?»
* Tính CD ta xét tam giác nào ?
* Quan sát, nghe, hiểu
* Tính AD theo đl sin
* Bù nhau
0,7431
» 0,2588
»
* Tam giác ACD
Bài toán 2: Tính khoảng cách từ một địa
điểm trên bờ sông đến một gốc cây trên một
cù lao ở giữa sông
Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ
sông Đến gốc cây C trên cù lao giữa sông,
người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ
với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy
điểm C Ta đo khoảng cách AB, góc ·CAB
và ·CBA Chẳng hạn ta đo được AB = 40 m,
= = 450, = = 700
Tính khoảng cách AC ?
Giải
* Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC, ta
có AC AB
sin B sin C=
mà C = 1800 - (a+b)
sinC = sin( )
0 0
AB.sin 40.sin 70
AC
sin( ) sin115
b
+
* Gv tóm tắt bài toán trên hình vẽ
* Ta tính AC theo ct nào và cần tìm gì ?
sin700 ?» sin1150 ?»
* Quan sát, nghe, hiểu
* Theo đl sin, cần tìm góc C
0,9397
» 0,9063
»
Lop10.com
Trang 940.0,9397 41,47 (m)
0,9063
Vậy : AC 41,47 (m)»
4 Củng cố:
- Các hệ thức lượng trong tam giác vuông ?
- Định lí côsin và hq? Công thức độ dài đường trung tuyến ?
- Định lí sin ?
- Các ct tính diện tích tam giác ?
- Giải tam giác ?
- Chú ý cần hiểu các ct trên để có thể áp dụng vào tam giác bất kì
5 Dặn dò:
- Học bài và làm bài tập 1 đến 11 tr 59, 60 sgk
- Đọc bài đọc thêm tr 61 sgk