bộ đề thi thử đại học môn toán

tài liệu cho học sinh ôn thi cũng là tài liệu phục vụ cho giáo viên giảng dạy

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số

Cho hàm số y ~

2 Gọi | là tâm đối xứng của đồ thị hàm số Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số

sao cho tiếp tuyến tại M của đồ thị cắt đường tròn tâm l_ bán kính 3 tại hai

điểm A, B thỏa mãn AB = 2

Câu Đáp án Điểm

"Đô thị hàm số cất trục at} |

hoành tại điểm (-1;0), 6L

cắt trục tung tại điểm (0:2)

Aj Đề thi thử Đại học môn Toán

Artificial Intetigence Co Lid @

Gọi H là hình chiều vuông

1(tt) - | góc của | lên đoạnAB, ta có (

Đề thi thử Đại học môn Toán

Cau Il: (2 diém)

1 Giải phương trình lượng giác (cosx + 1)cos? x = cos” Œ: 3

2 Giải bắt phuong trinh gr" _38.4* 14.2"? 27 >%2*"—3 (xR)

Đề thi thử Đại học môn Toán

©> 2(1- sin? x)(1+ cosx) ~(1~ sinx) =0

©>2(1— sinx)(1+ cosx)(1+ sinx) —(1—sinx) =0

<>(1-sinx)[2(1+ eosx)(1+ sinx)~1]=0

©>(1- sinx)[2(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 1]=0

0,25

Aj Đề thi thử Đại học môn Toán

Xét hàm số f(u) =u? +u,f'(u)= 3u? +1> 0vu

nên f là một hàm số đồng biến trên R Bất phương trình

cuối cùng có thể viết lại thành f(2t ~ 3) > f(Ä/2t” ~3) 025

Do f là hàm số đồng biến nên bắt phương trình này tương

Câu IV: (1 điểm)

Cho hình trụ có chiều cao 5 , hai đường tròn đáy là (O; a), (O', a) Điểm

A thuộc đường tròn (O ; a), điểm B thuộc đường tròn (O', a) sao cho AB = a

Tinh thé tích của khối tứ diện OO'AB theo a

.c-_ Kẻ đường sinh AA và đường kính

AC của (Ơ) A'B? = AB? ~AA* 025

Witt)

0,25

Chú ý: Với hình trụ, ta thường kẻ thêm đường phụ là đường

sinh va các đường kinh của đường tròn đáy để sử dụng quan hệ vuông góc và các đại lượng độ dài

Aj Đề thi thử Đại học môn Toán

K e.hnh 8` |

Phần đề tự chọn:

(Thí sinh chon mét trong hai phan Via, Vila hoặc Vib, Vilb)

Cau Via: (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1 ; 1

trực tâm H(-1 ; 3), tâm đường tròn ngoại tiếp I(3 ; 3) Xác định toạ độ các đỉnh B, C biết rằng x; < x;

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-1 ; 1; -3) đường thẳng

va mat phẳng (P): x + 2y + z~ 3 = 0 Viết phương

1

trình đường thẳng d; đi qua điểm A biết rằng d; cắt đường thẳng d, và tạo

với mặt phẳng (P) một góc 300

Aj Đề thi thử Đại học môn Toán

‘Cau Vila: (1 diém)

Giải hệ phương trình trên tập số thực

x? -16y?-2x-4y +13=0

Iog; (3x + 2y) ~log,; (3x ~2y)” =1

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có

log, (3x + 2y)~log,; (3x ~2y)” =1

@ Với 13 > y ar (không thoả mãn điều kiện) 39

Với x=1=y= 3 (thoả mãn điều kiện) 026

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (4)

Kí hiệu p, r lần lượt là nửa chu vi va bán kính đường tròn nội

tiếp tam giác MF;Fz

ME, + ME, +EF, _2a+2c

2 —_ 2

'Vậy có hai điểm thoả mãn yêu cầu bài toán là

(B):x+2y~z+2010 =0 có véc tơ pháp tuyến là n, =(1,2;~1)

Câu Vilb: (1 điểm)

Giải hệ phương trình trên tập số phức {

Đề thi thử đại học môn Toán

Hướng dẫn giải và biểu điểm

Ñ

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số;

2 Tìm các giá trị của m phương trình: xÊ + (1—log, m)x —log zm~1=0

có hai nghiệm phân biệt,

3 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (0 ; -2) và tiếp xúc với đỏ thị

(D) của hàm số

9 [T2806 limy =—oe va limy = +90

im y=~œ vàlimy=++ nên

Cb say 'đường thang x = ~2 là tiệm cận đứng của đồ thi

|hàm số đã cho (khi x—› (~2)- và khi x — (~2)')

"V

Câu Đáp án Điểm

a(t) Jim[y-Œ-1]= lim ——=0

©

Đề thi thử đại học môn Toán

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (—= ; ~3) và (—1 ; 025

209

nghịch biến trên mỗi khoảng (~3 ; ~2) và (72 ; ~1)

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = y(~3) = ~6 và đạt cực tiểu tại điểm x = ~1 với giá trị cực

log,m >-1=>m >t phương trình có hai nghiệm Va!

1 <0 =› về trái âm, về phải dương —› pt vô nghiêm

1 >0 = về trái dương, về phải âm — pt vô nghiệm

=tz1=24-y=1

Sự

a

Câu Đáp án Điểm

2 # ”cos2x|? _e +1

_ 'cos2xdx = tam a thay(t) vao (1)

Giải phương trình Bian ton{%.+-5)tan| £425) 1

Điện: [zecanxvẫ cam me -ã van

Đề thi thử đại học môn Toán

Bình phương hai vế = x + 4 = y`— 2y +1

1 Viết phương trình ating thẳng nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt

đường thẳng (d) và vuông góc với đường thẳng ở;

2 Xác định phương trình mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng g, bán kính

bang 3 va tiếp xúc mặt phẳng (P)

a+@rbaro) biVĐìobia) ciứct261Đ<

2) Cho hình lập phương ABCD.A'B'CD' có cạnh bằng a Tính khoảng cách

giữa hai đường thẳng AC và A'D

©

Câu 5 (tt)

Câu Đáp án Điểm

Trước hết chứng minh với a, b là các số dương

AG(a; a; 0); A'Ö(0; a; -a)

|Cách2: Gọi MN là đường vuông góc chung của AC và AD|

(M trên AC, N trên AD)

209

=mA€ ,DÑ=nDA_

=-m(AB + AD)+ AD +n(AA'~ AD)

=MN=(1~m-n)AD -mAB + nAA'

N(AB + AD) ; MNDA' =MN.(AA'~ AD)

Ñ(AB +AD)

=-ma? +(1~m~n)a? =(1~2m~n)a? =0

==MNDA' =MN(AA'~ AD)

=na? ~(1~m~n)a? = (m+2n~1)a? =0

1 Tìm tất cả các giá trị của m đẻ hàm số có cực đại, cực tiểu Chứng minh

rằng trung điểm của đoạn thẳng nói các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị

hàm số chạy trên một đường thẳng cố định khi m thay đổi

2 Ký hiệu (C) là đồ thị của hàm số ứng với m = 2 Tim các điểm M thuộc (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai

đường tiệm cận của (C) nhỏ nhát

© Đáp án môn Toán tháng 4

phân biệt khác 1

4 He BY' lar=1~(2-m)>6 $°> ae + 4

Giả sử A(x,, y,), BQ, y;) là các điểm CĐ, CT của đồ thị và

E(xc, y;) là trung điểm của AB

2sin4x— V3 ~2sin2x + 2V3cos2x = 0

© 4sin2x.cos2x ~ 2sin2x + 2/3cos2x - v3 =0

Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol:

Cho hình lập phương ABCD.AB'CD' có độ dài cạnh bằng a Goi K là trung

điểm của cạnh BC và I là tâm của hình vuông CC D'D Tính thể tích của các

khối đa diện do mặt phẳng (AKI) chia ra trên hình lập phương

Gọi F là giao điểm của AK và CD Đường thẳng FI cắt CC”

va DD’ lan lượt tại M và N

Mặt phẳng (AKI) chia hình lập

phương thành hai khối đa diện

là khối chóp cụt tam giác

ADN.KCM và khối đa diện

ANMKBB'A'D'C’ Vi KB = KC nên CF = AB, do đó CF = CD

Trong AFCD, FI và ŒC là các đường trung tuyến nên M là

trọng tâm của tam giác đó

biến trong khoảng (—z ; 0)

Do đó f(x) < f(0) = 0 với mọi x < 0 Vậy phương trình đã

Đáp án môn Toán tháng 4

‘Cau 6 (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): ee Ms =1 và điểm M (1; 1) Viết

phương trình các đường thẳng đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao

cho M là trung điểm của AB

2) Trong không gian Oxyz, cho các điểm S(0; 0; 2), A(0; 0; 0), B(1; 2; 0),

C(0; 2; 0) Gọi E và F lần lượt là hình chiều vuông góc của A lên SB va SC

Chứng minh rằng 5 điểm A, B, C, E, F cùng thuộc một mặt cầu

Viết phương trình mặt cầu đó

Rõ ràng M không là trung điểm của AB

Xét đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc k

Đường thẳng (d) cắt (E) tại hai điểm A, B thỏa mãn MA =

MB khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm xạ, xạ sao cho:

nên năm điểm A, B, C, E, F cùng nằm trên một mặt

cầu đường kính AB

Gọi | là trung điểm của AB thì lộ; 0) là tâm mặt cầu

và bán kim R IA = [6

'Vậy phương trình mặt cầu là:

Theo khai triển nhị thức Niu-Tơn, ta có:

(A+i)" =C2 +iC) +P C2 + +i°CR

=? +iC! -C? iC? + C +108 -C8 -iC7 +

Mặt khác (1 +)" được viết về dạng lượng giác :

to = Ý (san Để chín ~ ý eosĐ NÓ sat

Theo tinh chat của hai số phức bằng Nai áp dụng 3h n=2010, ta suy ra:

šmo — Câu t Co — + (TY Cao +

Đề thi thử ĐH môn Toán

Câu I (2,5 đ)

Cho ham s6 f(x) = x8 + (4m - 1)xÊ + 3mx + 1 — 4m (H„); với m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =

2 Chứng minh rằng hàm số luôn có điểm cực đại, cực tiểu với mọi giá tri

của m Xác định đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của

hàm số,

3 Xác định giá trị của m thoả mãn ƒ(x) <j} vixist

Đề thi thử ĐH môn Toán

4 (tt) | Hàm số đạt cực tiểu tại x =1~ V2 ; yạy 2-42 0,25

Hàm số đạt cuc dai tai x = 1+ V2; yen = 2+4V2

, i 8: S3 limy imy= ime (1-8-2 = tim-x°(1-S-5.4)-

Chia f(x) cho f'(x) ta được :

1 Giải phương trình: 4(2 ~ cos? x~ x2 sinx)(sin" x + cos x) =1

2 Giải phương trình: x? - 26x +41= 8(5 =x)vi -x

4(2~ cos'x J2sinx)(sin*x + eos'x)= 1

= Ta có: 2~cos?x ~ 2sinx =1+ sin x~ J2 sinx

0,25

149

'Và cos°x + sin" x=1 - 2s" 2x> i dấu bằng khi

sin? 2x = 1=> 4(2-cos*x - V2 sinx)(sin* x +c0s"x) > 4

Cau It (tt)

của phương trình thoả mãn {eo , sin? 2x =4

x? -26x + 41=8(5~x)\1~x 025

Điều kiện x<1, đặt y=v1- x = y? =1~x °

Thay vào phương trình (1)

2 Cho hình chóp SABC SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau, M là điểm

bắt kỳ trên một cạnh của đáy ABC Gọi d tổng khoảng cách từ các đỉnh của

A, B, C đến đường thẳng SM Chứng minh d < ,|2(SA? + SB? + SC?)

Tho 1 —_—_ XSinx + cosx

XSinx + cosx (xSinx + cosx)”

—_ (X€Osx + sinx - sinx) _—_ xeosx,

(xsinx + cosx)” (xsinx +cosx)* 0,25

© Đề thi thử ĐH môn Toán

"Trước hết chứng minh mọi số thực

(ax + by) < j(aÊ +bÊ)(x + y°) đấu bằng xây ra khi ay = bx

0,25 Chứng minh bình phương hai vế (ax + by)? < (a° + bẺ)(x? + yÊ)

Khai triển rút gọn (ax ~ by) > 0, dấu bằng xảy ra khi ay =bx

2 | Giả sử M nằm trên cạnh BC ; từ B và C kể đường vuông góc

với SM cắt SM tai H và K, dat BSM =o,

©

Đề thi thử ĐH môn Toán

1 Chứng minh rằng đường thẳng (d) và đường thẳng qua A va B chéo

nhau Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng áy

2 Xác định điểm M trên (d) sao cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ

nhát

[ABu] AC =14+2-6=-3 z 0 => hai đường thẳng (d) và

đường thẳng đi qua A và B chéo nhau

Gọi mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và

đường vuông góc a => vecto pháp tuyến

=|[A84]4]= i ao Ls bak s goo)

và đi qua (4; 6; - 9) => (P): 8x-7y-z+1=0

Đề thi thử ĐH môn Toán

Cách 1: Diện tích tam giác MAB nhỏ nhát: cạnh đáy AB

không đổi đường cao ngắn nhất khi khoảng cách từ M đến đường thẳng chứa A và B là ngắn nhất 025

Cau IV (tt)

Cách

x;=4+2k Gọi điểm M(xu;y,;z,) trên(d)= |y, = 6 + 3k

=> M(0;0;1)

-2

2 Chứng minh rằng nghiệm của phương trình x? = 2xcosơ + 1 = 0 đồng thời

là nghiệm của đa thức P(x) = x'sinø - xsinng + sin(n ~ 1)œ; vớin e N/(1}

và a € R, sing z 0

4

Câu V (tt)

Câu Đáp án Điểm

=>log;(x + y) =2 = log,(4x ~ 2)=2 0/25

3.5 ety | 4°82X=5 >Y=2

Câu V (tt)

Câu Đáp án Điểm

X? ~2xcosz + 1=0 có hãi nghiệm phức

Ta sẽ chứng minh P(x,) =0, P(x,) =0 P(x,) = (Cosa + isina)” sina.—(cosa.+isina)sinna.+sin(n—T)a

= P(X,) = (Cosnas+isinn) sina (cost+isina)sinnec+ sinin—tya._ | 2S

2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = x + 1 cắt đò thi (D) tại hai điểm

thuộc hai nhánh của đỏ thị,

'3) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2

= đường thẳng x = 3~ m là tiệm cận đứng của đồ thị

đường thẳng y = x + 1 cắt đồ thị (D) tại hai điểm thuộc hai

nhánh của đồ thị b 025

và x=3-m nằm giữa hai nghiệm

Câu Đáp án Điểm

Khảo sát sự biến thién và vẽ đò thị của hàm số khi m = 2

Thay m=2= y = = 2; Tap xée dinh: R (1)

5 any’ 3X1) = (3x ạ_ | Phêubiếnthiêny'= “TT “ =- 025

y' không xác định tại x =1 ¡ y' < 0 với mọi x z1

Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng (—>,1) và (1;+ =)

Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị

4

Câu 1 (tt)

Tiệm cận lim Mer im et

Do đồ đường thẳng y =3 là tiệm cận ngang 025

Đồ thị nhận giao điểm hai + a

đường tc làm tâm đối xứng

2) Cho khối tứ diện ABCD, mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng

(ABC) Các cạnh AB = AC =DA = DI Tính các cạnh còn lại của tứ diện ABCD, biét bán kinh hình cầu ngoại tiếp tứ diện là a

Nhận xét: Phương trình có nghiệm duy nhất

Nếu x, là nghiệm pt => i cũng là nghiệm pt 025

Bat x = tant; > sinu = —24@nw/2 y (z0), (0;g) ~ 2 ~tan?u/2+1" * ˆ

Khi đó phương trình 2°"* + mcos(2cotu) +m? ~ 3 =0

We (-z;0)5.(0;z)=>u = ~ là nghiệm duy nhất của hệ

xét trong khoảng (—x ; 0); cũng tương tự như (0 ;x )

=scot u € (—z ; + z), về trái của phương trình thuộc (-1; 1)

Theo giả thiết mặt phẳng (DBC) vuông góc mp(ABC)

AB = AC, gọi H là trung điểm BC

=> AH vuông góc BC = AH vuông góc với mp(BCD)

5 giả thiết AB = AD = AC = HB = HC = HD 025

=> tam giác BCD là tam giác vuông tại D (Đường TT)

= Mọi điểm trên trên AH cách đều B, C, D ¬

=> tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là giao điểm O_ |

của đường trung trực AB với đường cao AH,,

1) Xác định đường hình chiều của đường thẳng d trén mặt phẳng (P)

2) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng

{P) một góc nhỏ nhất

.3) Tính diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh là đường thẳng d, day nằm trên mặt phẳng (P), và có bán kính 32

'Viết phương trình hình chiếu của d trên mặt phẳng (P)

Cách 1: Đường thẳng cần dựng là giao tuyến của mặt

phẳng chứa d và vuông góc với mp(P)

'Véctơ chỉ phương của d: n„ =(2;1; 1)

'Véctơ pháp tuyến của mp(P): u;(1; 2 ;—1)

'Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần dựng:

Đề thi thử Dai học môn Toán

z=2-t 'Viết phương trình đường thẳng qua A và C = A€ = (1,0,1

đi qua A chính là đường thẳng (*)