với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2 Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G K” phép toán mệnh đề cho ta : Như vậy để phủ đị[r]
Trang 1phòng GD & ĐT huyện yên thành
trường THCS Mã Thành
Moọt soỏ phửụng phaựp chửựng minh
Baỏt ẹaỳng Thửực THCS
Trang 2Caực phửụng phaựp chửựng minh Baỏt ủaỳng thửực THCS
Bất đẳng thức là một trong những kiến thức trọng yếu của
“lớn”
Tôi nhận thấy rằng, đa số học sinh
viết này Tôi muốn gửi tới toàn thể các em Học Sinh những gì mà Tôi nghĩ là gần gũi với các em nhất, với mong muốn phần nào đó giúp các em nắm vững hơn các kiến thức, rồi từ
đó giải thành thạo giạng Toán này
Phần I : các kiến thức cần nhớ.
1) Đinhnghĩa
0
0
B A B A
B A B A
2) Tính chất
+) A > B B < A
+) A > B và B > C A > C
+) A > B A + C > B + C
+) A > B và C > D A + C > B + D
+) A > B và C > 0 A.C > B.C
+) A > B và C < 0 A.C < B.C
+) 0 < A < B và 0 < C < D 0 < A.C < B.D
+) A > B > 0 An > Bn Với mọi giá trị n
+) A > B An > Bn với n lẻ
+) A B An > Bn với n chẵn
+) m > n > 0 và A > 1 Am > An
+) m > n > 0 và 0 < A < 1 Am < An
+) A < B và A.B > 0
B A
1
1
3) Một số bất đẳng thức cơ bản.
+) A 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0)
+) A A A
+) AB A B (dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+) AB A B (dấu = xảy ra khi A.B < 0)
Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B
Trang 3Ta chứng minh A – B > 0
Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M2 0 luôn đúng với mọi M
Ví dụ 1 Với mọi số thực x, y, z chứng minh rằng :
a) x2
+ y2
+ z2 xy+ yz + zx
b) x2
+ y2
+ z2 2xy – 2xz + 2yz c) x2
+ y2
+ z2
+3 2(x + y + z) Giải:
a) Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx = (2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx)
2 1
2
1 xy 2 yz 2 zx 2
Vì (x – y)2 0 với mọi x ; y Dấu bằng xảy ra khi x = y
(y – z)2 0 với mọi y ; z Dấu bằng xảy ra khi y = z
(z – x)2 0 với mọi z; x Dấu bằng xảy ra khi z = x
Bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi x; y; z R
Vậy x2
+ y2
+ z2
xy + yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
b)Ta xét hiệu: x2 + y2 + z2 – ( 2xy – 2xz + 2yz ) = x2 + y2 + z2– 2xy + 2xz – 2yz
= (x – y + z)2 0 luôn đúng với mọi x; y; z R
Vậy x2+ y2+ z2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x; y; z R Dấu bằng xảy ra khi x = y = z.
c) Ta xét hiệu: x2
+ y2
+ z2
+ 3 – 2( x + y + z ) = x2
– 2x + 1 + y2
– 2y + 1 + z2
– 2z +1 = (x – 1)2
+ (y – 1)2
+(z – 1)2
0
Dấu (=) xảy ra khi x = y = z = 1
Ví dụ 2: Chứng minh rằng :
a) b)
2 2
2
2
3
a
c) Hãy tổng quát bài toán
giải
4
2 4
) (
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
b ab a
b a b
a b
= 2 2 2 2
2 2
2 4
1
b ab a
b
= 0 với mọi a; b
4
1 a b 2
2 2
2
2
a
9
1 3
3
2 2
2 2
2 2 2
a c c b b a c
b a c b a
2 2
2 2
3
a
c)Tổng quát
Trang 4
2 2
1 2 2
2 2
1
n
a a
a n
a a
Tóm lại các bước để chứng minh A B theo định nghĩa
ớc 1: Ta xét hiệu H = A – B
ớc 2: Biến đổi H = (C D) 2 hoặc H =(C D) 2+….+ (E F) 2
& 3: Tìm ĐK để dấu “=” xãy ra
ớc 4: Kết luận A B
Ví dụ: Chứng minh rằng Với mọi số thực m, n, p, q ta đều có
m2
+ n2
+ p2
+ q2
+1 m.(n + p + q + 1)
(Chuyên Nga- Pháp 98-99)
Giải:
Xét hiệu: H = m2 n2 p2 q2 1 m.(n pq 1 )
= m n p q m.nm.pm.qm
4
2
4
4
4
4
2 2
2 2
2 2
2
m
m q
q m
m p
p m
m n
n m m
2 2
2 2
2 2
2 2
q
m p
m n
m
Dấu bằng xảy ra khi:
1 2
2 2 2 2
0 1 2
0 2
0 2
0 2
q p n
m Hay
m
m q
m p
m n
m
q m
p m
n m
Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương.
Lưu ý: Nguyên tắc để chứng minh Bất đẳng thức A B ta phải biến đổi bất đẳng thức
đã cho t đ với một bất đẳng thức đúng hoặc một bất đẳng thức đã được chứng
minh là đúng.
Chú ý: Các hằng đẳng thức sau:
2AB B A
B
ABC2 A2 B2 C2 2AB 2AC 2BC
3
3A B AB B A
B
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực chứng minh rằng:
a) a b ab
4
2 2
b) a2 b2 1 abab
c) a2 b2 c2 d2 e2 a(bcd e)
Giải:
4
2 2 2
2
Trang 5 4a2 b2 4ab 0
( 2ab)2 0 (bất đẳng thức này luôn đúng với mọi số thực a; b) Vậy a b ab Dấu bằng xảy ra khi 2a = b
4
2 2
b) Ta có: a2 b2 1 abab 2 (a2 b2 1 ) 2 (abab)
2a2 2b2 2 2ab 2a 2b 0
(a2 2abb2 ) (a2 2a 1 ) (b2 2b 1 ) 0
(ab) 2 (a 1 ) 2 (b 1 ) 2 0 (Bất đẳng này luôn đúng) Vậy a2 b2 1 abab Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1
c) Ta có: a2 b2 c2 d2 e2 a(bcde)
4 (a2 b2 c2 d2 e2 4 a(bcde)
4a2 4b2 4c2 4d2 4e2 ) 4ab 4ac 4ad 4ae
4a2 4b2 4c2 4d2 4e2 4ab 4ac 4ad 4ae 0
(a2 4ab 4b2 ) (a2 4ac 4c2 ) (a2 4ad 4d2 ) (a2 4ae 4e2 ) 0
(a 2b) 2 (a 2c) 2 (a 2d) 2 (a 2e) 2 0 (Bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy a2 b2 c2 d2 e2 a(bcde)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (a10 b10 ).(a2 b2 ) (a8 b8 ).(a4 b4 )
Giải: Ta có:
12 8 4 4 8 12 12 10 2 2 10 12 4
4 8 8 2 2
10
10
.
.
) ).(
( ) ).(
(a b a b a b a b a a b a b b a a b a b b
a8.b2(a2 b2) a2b8(b2 a2) 0
a2b2(a2 b2)(a6 b6) 0
a2b2(a2 b2)(a2)3 (b2)3 0
a2b2(a2 b2)2a4 a2.b2 b4 0 (*)
Bất đẳng thức (*) luôn đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3: Cho x.y =1 và x > y Chứng minh rằng 2 2
2 2
y x
y x
Giải:
2 2
y x
y x
) (
2 2 2
2 2
y x y
x y
x
y x
x2 y2 2 2 x 2 2 y 0
x2 y2 2 2 2 x 2 2 y 2 0
x2 y2 ( 2 ) 2 2 2 x 2 2 y 2xy 0 (vì x.y =1 nên 2 = 2xy) (xy 2 )2 0 (*)
BĐT (*) luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4:
a) Chứng minh: P(x,y) = 9x2y2 y2 6xy 2y 1 0 ;x yR
b) Chứng minh: a2 b2 c2 a b c (Gợi ý: Bình phương 2 vế)
Trang 6c) Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn điều kiện:
z y x z y x
z y x
1 1 1
1
Chứng minh rằng: Có đúng một trong ba số x, y, z lớn hơn 1
(Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên Lam Sơn – Thanh Hoá năm học 96 - 97)
Giải:
c) Xét (x 1 )(y 1 )(z 1 ) xyz (xy yzzx) x yz 1
z y x xyz z y x
(
z y x z y
z y
1
2 trong 3 số (x – 1), (y – 1), (z – 1) âm, hoặc cả 3 số(x – 1), (y – 1), (z – 1) đều "
Nếu cả 3 số(x – 1), (y – 1), (z – 1) đều thì x, y, z >1 x.y.z > 1 (trái với giả thiết
x.y.z =1) Vì thế, bắt buộc phải xảy ra tr + hợp 2 trong 3 số (x – 1), (y – 1), (z – 1) âm,
tức là có đúng 1 trong ba số x, y, z là số lớn hơn 1 (đpcm)
Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức quen thuộc (Bất đẳng thức phụ)
A Một số bất đẳng thức hay sử dụng.
1) Các bất đẳng thức cơ bản
a) x2 y2 2xy 2xy Dấu “=” xãy ra khi x = y
b) x2 y2 xy Dấu “=” xãy ra khi x = y = 0
c) (x y)2 4xy Dấu “=” xãy ra khi x = y
d) Nếu a.b > 0 thì 2 Dấu “=” xãy ra khi x = y
a
b b a
n
n a a a a n
a a
a a
.
3 2 1 3
2
1 a1,a2,a3, ,a n 0
Dấu “=” xãy ra khi: a1 a2 a3 a n
3) Bất đẳng thức Bunhiacopski
2 2 1 1 2 2
2 2 1 2 2
2 2
2 a a n .x x n a x a x a n x n
4) Bất đẳng thức Trê - b - sép:
C B A
c b a
3
3 3
.A b B c C a b c A B C
C B A
c b a
C B A
c b a
3
3 3
.A b B c C a b c A B C
C B A
c b a
B Các ví dụ
Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
(a + b)(b + c)(c + a) 8abc
Giải:
Cách 1: (Dùng bất đẳng thức phụ: (x y)2 4xy)
Tacó: (ab)2 4ab; (bc)2 4bc; (ca)2 4ca
) 8 ( 4 4 4 ) (
) (
) (ab bc ca ab bc ca abc
Trang 7 (a + b)(b + c)(c + a) 8abc DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c
VÝ dô 2
1) Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = 1 CMR: 1 11 9
c b a
2) Cho x, y, z > 0 vµ x + y + z = 1 CMR: x 2yz 4 ( 1 x)( 1 y)( 1 z)
3) Cho a > 0, b > 0, c > 0 CMR:
2
3
c a c
b c b a
4) Cho x 0,y 0 vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn: 2 x y 1 CMR:
5
1
y
x
VÝ dô 3: Cho a > b > c > 0 vµ a2 b2 c2 1
Chøng minh r»ng:
2
1
3 3
3
c a c
b c b a
Gi¶i:
b a
c a c
b c b a
c b
¸p dông B§T Trª- b-sÐp ta cã:
b a
c a c
b c b
a b
a
c a c
b c b
a c b a b a
c c a c
b b c
b
a
a
9
1 3
3 3
.
2
(V× a2 b2 c2 1 theo gi¶ thiÕt)
2
1 2
3 3
1
3 3
3
c a c
b c b a
2
3
c a c
b c b a
2
1
3 3
3
c a c
b c b
a
3 1
VÝ dô 4: Cho a, b, c, d > 0 vµ a.b.c.d = 1 Chøng minh r»ng:
2 2 2
2 b c d a bc b cd d ca
a
Gi¶i:
Ta cã: a2 b2 2ab vµ c2 d2 2cd
a2 b2 c2 d2 2ab 2cd 2 (abcd)
ab
ab ab d
c b
x x
MÆt kh¸c ta l¹i cã:
a(bc) b(cd) d(ca) (abcd) (acbd) (bcad)
bc
bc ac
ac ab
ab
Tõ (1) vµ (2) a2 b2 c2 d2 a(bc) b(cd) d(ca) 10
VÝ dô 5: Cho 4 sè a, b, c, d bÊt kú Chøng minh r»ng:
(ac)2 (bd)2 a2 b2 c2 d2
) (
2 )
( ) (ac bd a b acbd c d
Trang 8áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski ta q V a.cb.d a2 b2 c2 d2
(ac) 2 (bd) 2 (a2 b2 ) 2 a2 b2 c2 d2 (c2 d2 )
) (
) ( ) (ac bd a b c d
(ac)2 (bd)2 a2 b2 c2 d2
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 abbcca
Giải:
áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 cặp số (1, 1, 1) và (a, b, c) ta có:
1 1 1 ) (
1 1
1 a b c a b c
3 (a2 b2 c2 ) a2 b2 c2 2 (abbcca)
2 (a2 b2 c2 ) 2 (abbcca)
a2 b2 c2 abbcca(đpcm) Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất bắc cầu
1 Lưu ý: A > B và B > C thì A > C
0 < x < 1 thì x2
< x
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn a > c + d, b > c + d
Chứng minh rằng ab > ad + bc
Giải:
Tacó
0
0
c d b
d c a d c
b
d c
a
(a – c)(b – d) > cd
ab – ad – bc + cd > cd
ab > ad + bc (điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện
3
5
2 2
2 b c
a
Chứng minh rằng:
abc c b a
1 1 1
1
Giải:
Ta có : (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) 0
ac + bc – ab (a 2 + b2 + c2)
2 1
6
5
abc c b a
1 1 1 1
Ví dụ 3. Cho 0 < a, b, c, d < 1
Chứng minh rằng (1 – a).(1 – b).(1 – c).(1 –d) > 1 – a – b – c – d
Giải:
Ta có: (1 – a).(1 – b) = 1 – a – b + ab
Do a > 0, b > 0 nên ab > 0 (1 – a).(1 – b) > 1 – a – b (1)
Mặt khác: Vì c < 1 nên 1 – c > 0
(1 – a).(1 – b).(1 – c) > 1 – a – b – c
(1 – a).(1 – b).(1 – c).(1 –d) > (1 – a – b – c).(1 – d)
= 1 – a – b – c – d + ad + bd + cd (1 – a).(1 – b).(1 – c).(1 –d) > 1 – a – b – c – d (Điều phải chứng minh)
Trang 9Ví dụ 4
a) Cho 0 < a, b, c < 1 Chứng minh rằng: 2a3 2b3 2c3 3 a2bb2cc2a
b) Chứng minh rằng : Nếu a2 b2 c2 d2 1998 thì ac bd 1998
(Chuyên Anh năm học 1998 – 1999)
a) Giải:
Do a 1 a2 1 1 a2 0 và b 1 1 b 0
Từ đó suy ra: ( 1 a2)( 1 b) 0 1 a2 ba2b 0
a2ba2 b (*)
1
; 1
;
0 a b a a bb b
1 a ba b
Hay a3 b3 1 a2b (1)
T tự : b3c3 1 b2c (2)
Và c3a3 1 c2a (3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta có :
2a3 2b3 2c3 3 a2bb2cc2a
b) Giải:
Ta có: (acbd)2 (ad bc)2 a2c2 b2d2 2abcda2d2 b2c2 2abcd
a2(c2 d2) b2(c2 d2)
(a2 b2).(c2 d2)
2
1998
1998 )
( ) (
) (acbd acbd adbc
acbd 1998
2) Bài tập:
a) Cho các số thực: a1; a2; a3; …; a2003 thỏa mãn: a1 + a2 + a3 + … + a2003 =1
2003
1 20032
2 3 2 2 2
a
(Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên Nga Pháp 2003- 2004 Thanh Hóa)
b) Cho a; b; c 0 thỏa mãn: a + b + c = 1
Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 8
c b
a
Phương pháp 5: Dùng tính chất của tỷ số
Kiến thức
1) Cho a, b, c là các số ơng thì
a) Nếu 1 thì
b
a
c b
c a b
a
b) Nếu 1 thì
b
a
c b
c a b
a
d
c b
a
d
c d b
c a b
a
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a a
Trang 10Giải :
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
d c b a
d a c
b a
a c
b a
a
d c b a
a c
b a
a
Từ (1) và (2) ta có:
d c b a
d a c
b a
a d
c b a
a
d c b a
a b d
c b
b d
c b a
b
d c b a
c b a
d c
c d
c b a
c
d c b a
c d b
a d
d d
c b a
d
Cộng vế theo vế của (3); (4); (5); (6) ta có:
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a a
Ví dụ 2: Cho và b, d > 0 Chứng minh rằng
d
c b
a
d
c d b
cd ab b
a
2 2
d
cd b
ab d
c b
a
d
c d
cd d
b
cd ab b
ab b
a
d
c d b
cd ab
b
a
2 2
Ví dụ 3: Cho a; b; c;d là các số nguyên d thỏa mãn : a + b = c + d = 1000
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
d
b c
a
d
b c
a
n
m
b a
n
m
n
b
m
a
b
a
d
b d c
b a c
a
c a
a) Nếu: b 998 thì 998
d
b
999
d
b c a
d c d
b c
999
1
999
d
b c a
Phương pháp 6: Phương pháp làm trội
Lưu ý:
Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đ q tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
u k a k a k1
Trang 11Khi đó: S u1 u2 u3 u n
(a1 a2) (a2 a3) (a3 a4) (a n a n1)
a1 a n1
1
k
k k
a
a u
Khi đó:
1
1 1 4
3 3
2 2
1 3
2
n n
n n
a
a a
a a
a a
a a
a u u u u P
Ví dụ 1: Với mọi số tự nhiên n > 1 chứng minh rằng:
2
1 2
1
3
1 2
1 1
1
n
Giải:
n n n k
1 1 1
Do đó:
2
1 2 2
1
2
1 2
1 2
1 2
1
3
1 2
1 1
n n n
n n n n
n n
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 1 2 ( 1 1 ) (Với n là số
4
1 3
1 2
1
n
nguyên)
Giải :
1
2 2
2 1
k k
k k k
Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
1 2 ( 2 1 )
2
1
3
1
………
4
1 3
1 2
1
n
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 1 2
1
2
n
k k nZ
Giải:
k k
k k k
1 1
1 ) 1 (
1 1
Cho k chạy từ 2 đến n ta có:
2
1 1
2
1
2
Trang 12
3
1 2
1
3
1
2
4
1 3
1
4
1
2
n n
n
1 1
1 1
2
1
1 1 1 1
1
4
1 3
1 3
1 2
1 2
1 1
1
4
1 3
1
2
1
2 2
2
n n
n n
1
2
n
k k nZ
Ví dụ 4: Chứng minh các BĐT sau :
a)
2
1 ) 1 2 )(
1 2 (
1
7 5
1 5 3
1 2 1
n n
3 2 1
1
4 3 2 1
1 3 2 1
1 2 1
1
n
Giải :
1 1 2
1 2
1 ) 1 2 )(
1 2 (
) 1 2 ( ) 1 2 ( 2
1 ) 1 2 )(
1 2 (
1
k k
k k
k k
k k
Cho k chạy từ 1 đến n Sau đó cộng lại ta có
2
1 1 2
2 1 2
1 ) 1 2 )(
1 2 (
1
7 5
1 5 3
1 2 1
n n
n
b) Ta có:
n n
1
4 3
1 3 2
1 2 1
1 1
3 2 1
1
4 3 2 1
1 3 2 1
1 2 1
1 1
1
1
4
1 3
1 3
1 2
1 2
1 1
n n
n
Phương pháp 7: Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Lưu ý: Nếu a; b; c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì : a; b; c > 0
Và bc abc; ac bac; ab cab
Ví dụ1: Cho a; b; c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh rằng:
a) a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
b) abc > (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b)
Giải
a) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có
) (
) (
) (
0
0
0
2 2 2 2
2 2
ca bc ab c
b a b a c c
a c b b
c b a a
b a c
a c b
c b a
b) Ta có: a bc a2 a2 (bc)2 0
b ca b2 b2 (ca)2 0
c ab c2 c2 (ab)2 0
Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên ta ợc:
... hợp số (x – 1), (y – 1), (z – 1) âm,tức có ba số x, y, z số lớn (đpcm)
Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức quen thuộc (Bất đẳng thức phụ)
A Một số bất đẳng thức. ..
đã cho t đ với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng
minh đúng.
Chú ý: Các đẳng thức sau:
2AB...
n m
Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương.
Lưu ý: Nguyên tắc để chứng minh Bất đẳng thức A B ta phải biến đổi bất đẳng thức