Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số (GV trần xuân nhàn)

 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì được gọi là đơn điệu trên K... o Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên các khoảng của tập xác

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

§1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa tính đơn điệu:

Cho hàm số y f x( ) xác định trên tập K

 Hàm số y f x( ) đồng biến (tăng) trên K nếu x x1, 2�K, x1x2� f x( )1  f x( )2 .

 Hàm số y f x( ) nghịch biến (giảm) trên K nếu x x1, 2�K, x1x2� f x( )1  f x( )2 .

 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì được gọi là đơn điệu trên K

 Nhận xét: Trong chương trình lớp 10, để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm ( )f x , ta hay

Nếu T  thì hàm ( )0 f x đồng biến trên K (Tức là f x( )1  f x( )2 cùng dấu với x1 ).x2

Nếu T 0 thì hàm ( )f x nghịch biến trên K. (Tức là f x( )1  f x( )2 trái dấu với x1 ).x2

2 Định lí (tính đơn điệu và dấu của đạo hàm):

Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên K

 Nếu ( ) 0f x�  với mọi x K� thì hàm ( )f x đồng biến trên K

 Nếu ( ) 0f x�  với mọi x K� thì hàm ( )f x nghịch biến trên K

 Chú ý:

 Định lí trên được mở rộng với ( ) 0f x� � (hay ( ) 0f x� � ) trong trường hợp ( ) 0f x�  tại

một số hữu hạn điểm; khi đó kết luận hàm số đồng biến (hay nghịch biến) vẫn đúng.

 Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên  a b;

o Bước 2: Tính y� � f x( ) ; cho y� 0 �����T � m nghie� m x x1 , 2 (nếu có)

o Bước 3: Lập bảng biến thiên.

o Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các

khoảng của tập xác định

 Lưu ý:

o Khi lập bảng biến thiên, việc xét đúng dấu cho đạo hàm là bước quyết định, nên học sinh

phải tuyệt đối chính xác

o Ở lớp 10, khi các em xét dấu cho tam thức bậc hai, học sinh đã quen với thuật ngữ “trong trái ngoài cùng” Nghĩa là: Khu vực bên trong hai nghiệm thì biểu thức trái dấu a, khu

vực ngoài hai nghiệm thì biểu thức cùng dấu a Tuy nhiên nếu đạo hàm không có dạng bậc

hai, thì thuật ngữ “trong trái ngoài cùng” sẽ không thể áp dụng Vậy có quy tắc nào chung

cho việc xét dấu mọi bài toán?

 Quy tắc chung để xét dấu đạo hàm:

o Để xét dấu đạo hàm y� trên một khoảng ( ; )  nào đó, ta chọn một giá trị x0�( ; )  rồi

thay vào y� , từ đó suy ra được dấu của y� trên ( ; ) 

o Với quy tắc này, mọi hàm số có đạo hàm phức tạp ta đều có thể được xét dấu chính xác sau khi ta tìm được nghiệm của đạo hàm

Ví dụ 1 Cho hàm số y x 3 3x2  Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?9x 15

Dạng toán 1

Sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của

hàm số

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1 B Hàm số đồng biến trên  9; 5.

C Hàm số đồng biến trên � D Hàm số đồng biến trên 5;�.

Lời giải:

 Tập xác định: D�

 Ta có y�3x26x ; 9

10

3

x y

1

x y

Ví dụ 3 Chọn mệnh đề đúng về hàm số

2 12

x y x







A Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

B Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

C Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

D Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

� �

� �

� � ���Cho� n� A

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Ví dụ 5 Cho hàm số y x  3 2 2x Khẳng định nào sau đây là khẳng đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng ( �; 2) và nghịch biến trên khoảng ( 2; 2).

B Hàm số đồng biến trên khoảng (� và nghịch biến trên khoảng (1;2).;1)

C Hàm số nghịch biến trên khoảng ( �; 2) và đồng biến trên khoảng ( 2; 2).

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (� và đồng biến trên khoảng (1;2) ;1)

x

y  x

với x� 0;

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên  0; . B Hàm số nghịch biến trên  0; .

C Hàm số nghịch biến trên

70;

x x

2 3 5 0

25

 Ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng 1;� ���Cho� n� A

 Cách 2: Giải bất phương trình (cách này thuận lợi hơn trong trắc nghiệm).

 Ta có: f x'  x x2 1 � �0 x1 0�

(do x2 �0, x��)۳ x 1

 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1;�.

Ví dụ 9 Cho hàm số y f x  liên tục trên � và có đạo hàm

      2018 2019

f x�  x x x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại điểm x và đạt cực tiểu tại các điểm 1 x � 2

B Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  1;2

và 2; �.

C Hàm số có ba điểm cực trị.

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 2

Lời giải:

x x

Ví dụ 10 Cho y f x  có đạo hàm f x'       ��x2 5x 6, x Hàm số y 5f x  nghịchbiến trên khoảng nào?

A �;2 và 3;� . B 3;� .

C 2;�. D  2;3

Lời giải:

 Do đó h x�  ���0 x x 3� 0� 0 x 3 ����Cho� n A

Ví dụ 13 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên � và f x�  x x2 1   g x 1 trong

đó g x    ��0, x Hàm số y f 2 x x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng

sau?

A

52;

 Vậy hàm số y f 2 x x đồng biến trên � �� �� � 2;52 . ���Cho� n� A

Bài toán 3: Dựa vào bảng biến thiên có sẵn để kết luận về tính đơn điệu

o Dựa vào bảng xét dấu của g x� 

để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

 Nhắc lại quy tắc về dấu của tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức:

f x g x + - Chưa biết Chưa biết

Ví dụ 14 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình bên Hàm số y 2018.f x  đồng

biến trên khoảng nào dưới đây?

 Vậy hàm số y 2018.f x  đồng biến trên khoảng 1;� ����Cho� n B

Ví dụ 15 Cho hàm số Hàm số có bảng xét dấu như sau:

rút ra thuật toán cho loại toán này.

Bài toán: Xét dấu g x�  k f x �   h x khi đã biết bảng xét dấu của f x� 

, k là hằng số.

o Cho h x  0 để tìm các nghiệm x x1, 2 (nếu có).

o Lập bảng xét dấu với mỗi hàng lần lượt dành cho x k f x h x kf x, �   , , �   h x theo quy

tắc: Tổng hai số dương là một số dương, tổng hai số âm là một số âm, tổng hai số trái dấu thì

chưa xác định được dấu.

Ví dụ 17 Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

A

3

;2

� � �

30;

 Lưu ý: Nếu hàm bậc ba y ax 3bx2  có a chứa tham số thì ta cần xét cx d a0 để kiểm tra

xem hàm số có đơn điệu trên � hay không.

 Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số

ax b y

cx d



�

o Điều kiện đơn điệu:

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định� y� 0, x D� �ad bc 0 ����Gia� i t� m m.

 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định� y� 0, x D� �ad bc 0 ����Gia� i t� m m.

 Lưu ý: Nếu hàm số

ax b y

cx d





 có c chứa tham số thì ta nên xét c0 để kiểm tra xem hàm số có

đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó hay không

 Bài toán 3: Tìm tham số m để hàm số

2

ax bx c y

Ax Bx C y

,

2 ,0

o Điều kiện đơn điệu:

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định۳ �y�0, x D

ax bx c y

dx ex f

 



  thì ta cũng làm theo phương pháp nêu trên

 Một điều khác nhau mà học sinh cần phân biệt giữa bài toán 2, bài toán 3 là: Đối với bài

toán 2, đạo hàm y�chỉ lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0 chứ không được cho y��0, y�� Lý do 0

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

là nếu ta cho y�  thì sẽ có vô số giá trị x thỏa mãn (mà định nghĩa nêu rõ 0 y� tại một 0

số hữu hạn điểm x mà thôi)

Ví dụ 18 Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số 1 3 2  

3

y x mx   m x m 

đồngbiến trên �

 Ta thấy m thỏa mãn đề bài 2 ����Cho� n A

Ví dụ 19 Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số ym1x3m1x22m1x5

thỏa mãn đề bài ����Cho� n D

 Nhận xét: Hai ví dụ trên có sự khác nhau về lời giải bởi một trường hợp thì a luôn khác 0; trường

hợp còn lại thì a chứa tham số m, khi đó ta phải xét thêm a0 để kiểm tra xem đạo hàm có luôn

mang một dấu thỏa mãn đề bài không

Ví dụ 20 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

24

x m y

A 5 B 2 C 3 D 1.

Lời giải:

 Tập xác định: D�\ 4 Đạo hàm:  

2 2

4

.4

m y

 Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn ����Cho� n C

Ví dụ 21 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

91

x m y

91

m y

 ( m là tham số) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của

nó khi các giá trị của m là

A m�1 B m 1. C

52

 Nhận xét: Ý tưởng của cách giải 2 là tận dụng tính chất của hàm số y ax b  Vì đạo hàm của

nó không đổi dấu trên  ;  bất kì nên chỉ cần ( ) 0, ( ) 0y � y  � thì y�0, x� ; 

52

m

52

m�

3.2

một khoảng K cho trước (với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

Mở rộng Bài toán 5: Tìm tham số m để hàm số

trên khoảng K cho trước.

Cách tính nhanh đạo hàm loại này Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai vế phải của (1) và (2).

Đặt t u x   � t� �u x 

(1)

  2  

x y

m y

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Ví dụ 27 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

4

mx y

4

m y

m m

m m m

 Do m �� nên m  Vậy có một giá trị m thỏa mãn đề bài 1 ���Cho� n� C

Ví dụ 28 (Đề Minh họa lần 1, 2017, BGD) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

tan

x y

 Tính đạo hàm nhanh bằng phương pháp sau:

Đạo hàm của hàm số đã cho

là tích hai vế phải của (1) và (2).

1tan

m y

x y

Đạo hàm của hàm số đã cho

là tích hai vế phải của (1) và (2).

Đặt tsin 2x� t�2cos 2x (1)

 2

1.2cos 2sin 2

m�

thỏa mãn đề bài

C

���Cho� n�

 Bài toán 6: Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn,… đơn điệu trên tập K cho trước (với

K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

 Phương pháp:

 Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm y� �=f x( )

 Bước 2: Điều kiện đơn điệu:

 Hàm số đồng biến trên K ۳"�y� 0, x K

 Hàm số nghịch biến trên K ۣ"�y� 0, x K

 Bước 3:

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Cách 1:  Biến đổi theo dạng m�g x( )," �x K (hoặc m�g x( )," �x K ).

 Lập bảng biến thiên của hàm số g x( ) với mọi x K�

 Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số m.

Cách 2:  Tìm nghiệm (đẹp) của phương trình y�=0 (x phụ thuộc m).

 Áp dụng điều kiện nghiệm cho tam thức bậc hai (bảng xét dấu đạo hàm)

Bài toán mở rộng: Tìm tham số m để hàm số y=ax3 +bx2 +cx d+ đơn điệu trên một

khoảng có độ dài p.

 Phương pháp:

o Bước 1: Đạo hàm y�=3ax2+2bx c+

o Bước 2:

 Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài p� y� có hai nghiệm

phân biệt x x1, 2 thỏa mãn

0

y y

a

p a

- Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài p� y� có hai nghiệm

phân biệt x x1, 2 thỏa mãn

0

y y

a

p a

 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  1;5

khi và chỉ khi y��0,  �x  1;5

 Do đó giá trị m thỏa mãn yêu cầu của bài toán là m� 2 ���Cho� n�C

Ví dụ 32 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

A

14

;15

�  ���

142;

m�

hoặc

3 5

.2

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

 Nhận xét: Trong cả ba ví dụ trên, ta đều cô lập được m về một vế khi xét dấu đạo hàm Vì vậy mà

việc còn lại chỉ là khảo sát hàm số thuộc vế còn lại để đưa ra kết luận về điều kiện của m Tuy

nhiên, trong quá trình giải toán hàm số, các em học sinh cũng sẽ gặp nhiều bài toán mà khi xét dấu

đạo hàm thì không thể cô lập được m, khi đó, ta dùng cách 2 trong mục phương pháp để xử lý.

 Để hàm số đồng biến trên khoảng 2;� thì m�1 2 m 1.

Mặt khác m nguyên và thuộc1000;1000 nên m�999; 998; 0; ;999  �

Số các

giá trị m là: 999  999 1 1 999 ���Cho� n� B

Mẹo nhỏ: Để tìm nghiệm đẹp trong phương trình bậc hai, bậc ba có chứa tham số, ta nhập vào máytính chức năng giải phương trình bậc hai, bậc ba với việc thay m100 Nghiệm tìm được ta sẽ

liên hệ với 100 để đưa về dạng x phụ thuộc m.

Chẳng hạn, trong bài này, ta giải: x22m1x m m   1 0.

Nhập vào máy chức năng giải phương trình bậc hai với 1, 2.100 1 ,{ 100 100 1{ {

 Nếu m là số nguyên thuộc  a b;

 �      � �� (xem mục Mẹo nhỏ ở phần trên).

 Vì m   , m2 m  �� nên ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau:

Ví dụ 36 Cho hàm số y= +(x m)3- 7(x m+ )2- (với m là tham số) Có bao nhiêu giá trị nguyên5

của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2;1)- .

m

x =

m m

- Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên

âm của m để hàm số đã cho đồng biến trên 2;� ?

Bình luận:

 Hàm số có đạo hàm y�= +x2 2(m+1)x m+ 2- 3m

Ta có:y�� " � +�0, x (2; ) ( )

 Với bất phương trình (*), ta không thể cô lập m về một vế, cũng không thể tìm được nghiệm đẹp

trong phương trình g x( )=0 Thật may mắn rằng hệ số a không phụ thuộc m , vì vậy ta vẫn sử dụng được bảng xét dấu tạm thời, kết hợp định lí Vi-ét để xử lý dạng toán này

Trường hợp 2: Đạo hàm đổi dấu hai lần trên tập xác định, tức là

m

>-

 Kết hợp cả hai trường hợp trên ta có được m�� Mặt khác m nguyên âm nên có vô số

giá trị m thỏa mãn đề bài ���Cho� n� D

Ví dụ 38 Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số y x 3 (m1)x24x có độ dài khoảng7nghịch biến đúng bằng

4.3

A

5.3

m m

m m

m m

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Ví dụ 39 Cho hàm số y  x3 3x2(m1)x2m  Với m thuộc khoảng nào sau đây thì hàm3

số đã cho đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1?

A m�( 2; � ) B m� �( ; 2) C

5

; 4

m ��� ���

� � D

5

; 4

31

a

m

m a

m 

thỏa mãn đề bài ���Cho� n�C

 Bài toán 7: Bài toán tham số đối với những dạng hàm số khác.

 Phương pháp:

 Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm y�=f x�( )

 Bước 2: Điều kiện đơn điệu:

 Hàm số đồng biến trên K ۳"�y� 0, x K

 Hàm số nghịch biến trên K ۣ"�y� 0, x K

 Bước 3:

 Biến đổi theo dạng m�g x( )," �x K (hoặc m�g x( )," �x K )

 Lập bảng biến thiên của hàm số g x( ) với mọi x K�

 Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số m.

Ví dụ 40 Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số

 Xét hàm số   3

2

32

� � Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn ���Cho� n� A

Ví dụ 41 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 2   1

m thì     25   2  5 

2 2

  

���Cho� n� C

Ví dụ 43 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m�2018; 2018

1

 Vậy  * ۣ m 1, mà m nguyên thuộc 2018; 2018 suy ra m�2018; 2017; ; 1  

Do đó có tất cả:   1  2018 1 2018 giá trị m thỏa mãn ���Cho� n� A

Ví dụ 44 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y(m23)sinxtanx nghịch

Đặt tsinx� t�cosx (1)

2 2 2

2 1

.cos1

1 00

a

m m

u u u

u u

�

.

Ví dụ 47 (Chuyên Đại học Vinh – Lần 2 năm 2020) Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của

tham số m sao cho hàm số

nghịch biến trên khoảng  �; 1?

 Hàm số g x  nghịch biến trên khoảng  �; 1 ۣ g x�  0,   x 1   , (dấu " " xảy

ra tại hữu hạn điểm)

Kết hợp với m thuộc đoạn 2019;2019 và m nguyên nên m�9;10;11; ;2019

 Vậy có 2019 9 1 2011   số nguyên m thỏa mãn đề bài ���Cho� n� C

Ví dụ 49 Cho hàm số f x  có đạo hàm trên � là f x�   x 1 x3 Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;20 để hàm số y f x 2 3x m

đồng biến trênkhoảng  0;2

 Xét hàm u x  x2   �3x 1, x  0; 2 Ta có: u x�  2x   �3 0, x  0;2 .

Suy ra u x   u 0  1 Do đó  2 ۣ m 1

 Hợp nghiệm vừa tìm được, ta có:

113

m m

 Bước 1: Tính đạo hàm ( )f x� và chứng minh đạo hàm chỉ mang một dấu (âm hoặc dương).

 Bước 2: Vận dụng tính chất đơn điệu:

 Nếu hàm ( )f x đồng biến trên  a b;

 Bước 1: Nhận diện hàm đặc trưng để đưa phương trình về dạng ( )f u  f v( ) với ,u v D�

 Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng ( )f t đơn điệu trên D ( ( ) f t� luôn âm hoặc luôn dương

trên D ).

 Bước 3: Giải phương trình:

( ) ( ) ( )

 Bước 2: Tính đạo hàm ( )f x� và chứng minh đạo hàm chỉ mang một dấu (tức là hàm ( )f x

đơn điệu trên miền xác định)

 Bước 3: Chứng minh hàm số ( )g x là hàm hằng hoặc đơn điệu (ngược lại hàm ( ) f x ) Từ đó

khẳng định phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x x 0

Ví dụ 50 Cho hàm y f x  số có f x�  0, x �� Tìm tất cả các giá trị thực của x để