Ở dạng toán này học sinh thường mắc sai lầm khi thực hiện phép bình phương hai vế để khử căn nhưng không có điều kiện chặt chẽ hoặc lúng túng trong việc tìm đường lối đặt ẩn phụ cho nên [r]
Trang 1ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
A TÊN ĐỀ TÀI
“CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN ”
I Phần mở đầu
1 Lý do tài
2 "# $ nghiên % &' tài
3 )* + nghiên % &' tài
4 - /# nghiên % &' tài
5 vi nghiên % và 1
6 Các 56 pháp nghiên %
II Phần nội dung
36 1 6 pháp 7 8 9 6 6
36 2 6 pháp : ; 5#
36 3 6 pháp : ; 5# ' / -36 4 6 pháp 4 giá
III Kết quả thực hiện
IV Kiến nghị và đề nghị
Trang 2I PHẦN MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài.
trình toán 59 thông Khi :5 các bài toán C này sinh lung túng, G sai >@ : không I 1 + các 71 J Các tài > - tham HJ / 8 / toán này có ? dung trình bày > ' L DL sâu DG nên sinh
tính ? 4 &' toán này, tôi Q sâu nghiên % các 56 pháp J 56 trình và 7 56 trình %' =
2 Mục đích nghiên cứu của đề tài.
"# tiêu mà tài @ 5J + là giúp sinh - * + các 56 pháp dùng khi J 56 trình và 7 56 trình %' =F G /S và L
- thành các 71 J &' T 56 pháp U toán này sinh .G sai >@ khi L - phép bình 56 hai /8 W HN = không có
H - : X : lúng túng trong / - tìm >* : ; 5# cho nên tài @ -
* @ & cho sinh các phép 7 8 9 6 6 W HN =F các - :
; 5# và các 71 J cho T toán # W
3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài.
) tài Y5 trung nghiên % các 56 pháp J 56 trình và 7 56 trình %' = )K là các 56 pháp 7 8 9 6 6F 56 pháp : ; 5#F 56 pháp : ; 5# ' / -F 56 pháp 4 giá
4 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài.
) tài Z 4 6[
+ 36 1: - * các phép 7 8 9 6 6 khi J 56 trình và 7 56 trình %' =
Trang 3+ 36 2: - * các - : ; 5# khi J 56 trình và 7 56 trình %' =
+ 36 3: - * các - : ; 5# ' / - khi J 56 trình và 7 56 trình %' =
+ 36 4: Trình bày 56 pháp 4 giá khi J 56 trình %' =
5 Phạm vi và giới hạn của đề tài.
+ vi H 8 % mà tài nghiên % là các 56 pháp J 56 trình
và 7 56 trình %' = ? dung H 8 % phù +5 /1 * + sinh >15
10 Ban L nhiên
+ _ 1 &' tài: trong = 2008-2009
6 Các phương pháp nghiên cứu.
+ 6 pháp nghiên % lý >Y[ phân tích, nghiên % các tài > - tham HJ
có liên quan
*
* Dùng ; 5# W J toán &' Thái Hoè
* W Y5 10 = thi OLYMPIC 30 tháng 4
+ 6 pháp L [ tác J Q rút ra + các 71 J 9 quát cho T
toán thông qua trao 9 F phân tích, 9 +5 T các bài J trên >15 10A3, các bài
J 7Z i sinh j >15 10, >15 11 = 2008-2009
Trang 4II PHẦN NỘI DUNG
Trong các phép 7 8 9 56 trình, 4 chú ý là các phép 7 8 9 không làm thay 9 Y5 - &' 56 trình Ta các phép 7 8 9 K là các phép 7 8
9 6 6 Sau M là ? D* phép 7 8 9 6 6 dùng W J các
56 trình và 7 56 trình %' =.
*
) ( ) (
0 ) ( )
( )
(
x g x f
x f x
g x f
*
) ( ) (
0 ) ( )
( ) (
2
x g x f
x g x
g x f
*
) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) (
0 ) (
0 ) (
0 ) ( )
( ) ( ) (
x h x g x f x
g x f
x h
x g
x f x
h x g x f
*
) ( ) (
0 ) (
0 ) ( )
( ) (
2
x g x f
x f
x g x
g x f
*
) ( ) (
0 ) (
0 ) (
0 ) ( )
( ) (
2
x g x f
x g
x f
x g x
g x f
*
) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) (
0 ) (
0 ) (
0 ) ( )
( ) ( ) (
x h x g x f x
g x f
x h
x g
x f x
h x g x f
Trang 5 Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1 _ J các 56 trình:
Hướng dẫn:
a) Ta 7 8 9 [
0 12 x 14 x 2
2 3 x 3 x 2 x 9 x 12 x
2 3 x ) 1
b) Ta 7 8 9 [
x 2 x 2 4 x 2
1 x x 1 x 1 4 x ) 2 (
2
0 x 7 x 2
2
1 x 2 1 1
x x 1 x 2
2 1 x
2
:
Ví dụ 2 _ J các 56 trình:
a) 3 x 9 5 x ( 3 )
x 3
6
b) ( 4 )
3 x
5 3 x 3 x
16
x 2
Hướng dẫn:
0 54 x 6 x 4 5
9 x 27 x 24 x 5 x 9 5
9 x ) 3 (
2 2
b) Ta có
2
5 x
8 x 4
8 x
) x 8 ( 16 x
8 x 4
8 x x 8 16 x
4 x ) 4 (
2 2
5
x
OY 7 56 trình có -
2 5
x
Trang 6Ví dụ 3 _ J các 56 trình :
a) ( x 1 ) 16 x 17 x2 15 x 23 ( 5 )
b) ( x 3 ) x 2 4 x 2 9 ( 6 )
Hướng dẫn:
a) ) :
16
17
x
Ta có ( 5 ) ( x 1 ) 16 x 17 ( x 1 )( x 23 ) (*) TH1 : 8 x 1 thì 56 trình (*) J mãn
TH2: 8 thì (*)
1 x 16
17 x
23 x 17 x
4 x
529 x 368 x
64 17 x 16 8
23 x
2
b) ) [ x ( ; 2 ] [ 2 ; )
TH1 8 thì
3 x 2
2 x
3 x 4 x ) 6
6
13 x 3
3 x 9 x x 4 x
2 x 3
3 x
2 2
6
13
x
3 x 2
2 x TH2 8 x =3 thì 7 56 trình (6) J mãn
TH3 8 x 3thì (6) 8 +5 ta >
6
13 x 3 x 4
x 2
8 >Y[ ^ 56 trình có -.[ :
6
13
Ví dụ 4 _ J các 56 trình :
a) x 21 ( 7 )
) x 2 9 3 (
x 2
2
2
b) 9(x + 1)2 (3x + 7)(1 - 3x + 4 )2 ( 8 )
Trang 7Hướng dẫn:
9
2
Ta nhân J N và t &' /8 trái /1 2ta +
) x 2 9 3
2
7 x 4 x 9 21 x 2
) x 2 9 3 ( ) 7 (
2
So sánh /1 H - ta + và
2
7 x 9
2
0
x
b) ) :
3
4
x
Ta nhân J hai /8 &' 56 trình /1 7 W % 2 ta +
) 4 x 1
(*) )
1 x ( 9 ).
7 x ( ) 4 x 1 ( ) 1 x ( 9 ) 8
TH1 8 x 1 thì 7 56 trình (*) J mãn
1 x 3
4 x
1 x 2 4 x
So sánh H - ta + x 1
3
4
8 >Y : ^ 56 trình có - x 1
3
4
Ví dụ 5 _ J các 56 trình :
a) x 14 x 49 x 14 x 49 14 ( 9 )
b) ( 10 )
2
3 x 1 x 2 x 1 x 2
Hướng dẫn:
a) Ta 7 8 9 ( 9 ) ( 14 x 49 7 )2 ( 14 x 49 7 )2 14
7 x 2 7
7 49 x 14 7
14 7 49 x 14 7 49 x 14
2
3 x 1 1 x 1 1 x ) 10
TH1 8 x 1 1 x 2 thì (*) x 1m> l TH2 8 x 1 1 1 x 2 thì (*) 4 x 1 x 3 x 2 10 x 25 0
x 5m J mãn)
Trang 8Ví dụ 6 _ J các 56 trình :
a) 1 ( 11 )
x 1
x x
b) 3 ( 12 )
x
x 4 1
Hướng dẫn:
1 x
1 2 5 x 1 2 5
TH1 8 1 x 5 2 1 thì 7 56 trình (11) J mãn
TH2 8 5 2 1 x 1 thì (11) 51 2 x x 2 1 x x 2 25
5 x
5 x
So sánh /1 H - ta +[ 5 2 1 x 5
8 >Y[ 7 56 trình có - 5 2 1 x 5 1 x 5 2 1
III Bài tập áp dụng
Giải các phương trình và bất phương trình sau
1) x2 8x 15 x2 2x 15 4x2 18x 18
2) x ( x 1 ) x ( x 2 ) 2 x2
: 3) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1
4)
2
5 x 1 x 2 2 x 1 x 2
5) x 1 x 2 x 3
6) x2 6x 5 8 2x
7) 2 4 3 2
x
x x
8)
1 2
1 5 3 2
1
2 x x
x
9)
x x
x
3
6 3
5 9
) 1 1
2
x
Trang 9Chương 2 Phương pháp đặt ẩn phụ
Một số gợi ý đặt ẩn phụ
Có W xem / - dùng các ; 5# W J 56 trình, 7 56 trình là ? trong các >* & 8 Ta ' ra ? D* + ý giúp sinh phát - và : ; 5#
* 8 56 trình %' f (x) và f (x) thì có W : t f (x), H - *
W là t 0 Khi K 2
) (x t
* 8 PT %' f (x); g (x) và f(x) g(x) k, (k const) thì có W : t f (x),
H - * W là t 0 Khi K
t
k x
g( )
* 8 PT %' f(x) g(x), f(x) g(x) trong K f(x) g(x) k, (k const) thì có
W : t f(x) g(x) Khi K
2 )
( f(x)
2
k t x
* 8 PT %' 2 2 thì có W :
x
2 2
( , sin
|
t
: t |a| cost, ( 0 t)
* 8 PT %' 2 2 thì có W :
a
2 2
( , sin
|
|
t
a
2 , 0
( , cos
|
t
a
t
* 8 PT %' 2 2 thì có W :
x
2 2
( , tan
|
t
: t |a| cott, ( 0 t)
)B khi chúng ta L - phép : ; 5# không hoàn toàn % là trong 56 trình 1 còn ' xen J ; x >t ; 1
Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1 _ J [ ( x 1 )( x 4 ) 5 x 2 x 28 ( 1 )
( x 5 )( x 2 ) 3 x ( x 3 ) 0 ( 2 )
Hướng dẫn:
a) ) [ x R
Ta có ( 1 ) x 2 5 x 28 24 5 x 2 x 28 0
Trang 10): t x 2 x 28 ( t 0 )
8 t 3 0 24 t 5
t 2
So sánh H - ta + 0 t 8 x 2 x 28 64 9 x 4 b) 6 L ta : t x 2 x ( t 0 ) Ta + 7 56 trình
2 t
5 t 0 10 t 3
t 2
So sánh H - ta + t 2 x 2 x 4 x 1 x 4
x 2
1 x 2 x 2
3 x
x 2
1 x 2 x 2
5 x
Hướng dẫn:
a) ) [ x 0
x
1 x 2 x 2
1 x
x 2
1 x 2 x 2
1 x 3
2
x 2
1 x
0 9 t 3 t
2 2
2
3 t
3 t
So sánh H - ta >
2
63 8 x 8 x
1 x 3 x 2
1 x 3
b) ) [ x 0
x
1 x 2 x 2
1 x
x 2
1 x 2 x 2
1 x 5
2
x 2
1 x
0 2 t 5 t
2 2
2
1 t 2 t
Trang 11So sánh H - ta >
2
2 2 3 x 2
2 2 3 x 2 x 2
1 x 2
OY 7 56 trình có -
2
2 2 3 x 2
2 2 3
Ví dụ 3 _ J : x 2 x 7 x 2 5 x 2 1 ( 5 )
2 x2 x 10 2 x2 5 x 2 1 ( 6 )
Hướng dẫn:
3
2 x 1
x ): t x 2 x 2 t 0 Ta có 56 trình
m J mãn ) 2
t 1 t 5 t 1 t 5
t 2 2 O1
3
1 x 2 x 2 2 x x 2
2
1 x 2
x ): t x 2 x 2 t 0 Ta có 56 trình
1 t 3 7
0 7 t 4 t 3 1 t 4 t 4 8 t
1 t 2 8 t 1 t 2 8 t
2 2
2
2 2
So sánh H - t 0 ta +
4
17 5 x 2
1 2 x 4
17 5 1 2 x 5 x 2 0 1 t
Ví dụ 4 _ J [ x 2 x 1 4 x 9 2 x 2 x 2 ( 7 )
) 8 ( x 14 181 42 x 7 x 49 2 6 x 7 7 x
Hướng dẫn:
a) Ta có ( 7 ) x 2 x 1 ( x 2 x 1 ) 2 6
): t x 2 x 1 ( t 0 ) Ta có 56 trình
2 t
3 t 6 t
t 2
So sánh H - ta + t 3 x 2 x 1 3
Trang 12
2
21 7 x 0 7 x 7 x
2
3 x 1
x 3 2 x x
1 x
9 2 x x 2 1 x 2 x
1 x
2 2
2
b) Ta có ( 8 ) x 7 7 x 6 ( 7 x 7 7 x 6 ) 2 182 0
): t 7 x 7 x 6 ( t 0 ) Ta có 56 trình
13 t 14 0
182 t
t 2
So sánh H - t 0 ta + 0 t 13 0 7 x 7 7 x 6 13
6 x 7
6 x 1176 7056
42 x 7
12 x 7 6
x 7 84 42 x 7 x 49 7
6 x
169 42 x 7 x 49 2 6 x 7 7 x 7 7
6 x
2
2
Ví dụ 5 _ J : x x 2 1 x x 2 1 2 ( 9 )
1 1 x 2 x ( 1 2 1 x 2 ) ( 10 )
Hướng dẫn:
0 1 x x
0 1 x x
2
2
t
1 1 x x 1 x x
2
1 t
2 t 2 t t 1
8
17 x 4 1 x x 2
8
17 x 4
1 1 x x 2
1
OY 56 trình vô -.
Trang 13b) ) [ 0 x 1
Bình 56 hai /8 ta + 56 trình 6 6
2 2 2
2
) x 1 2 1 ( x x 1
): t 1 x 2 0 t 1 Ta + 56 trình
2
3 t
0 t 0 t 3 t 4
) 1 t 4 t 4 )(
t 1 ( 1 ) t 2 1 )(
t 1 ( t 1
3
2 2
2
So sánh H - ta + t 0 :
2
3
t O1 t 0 x 1m J mãn)
2
1 x 4
1 x 4
3 t 2
3
Ví dụ 6_ J [ ( 4 x 1 ) x 2 1 x 2 2 x 1 ( 11 )
) 12 ( 3 3 x
1 x ) 3 x ( 4 ) 1 x )(
3 x
Hướng dẫn:
a) ): t 4 x 2 1 ( t 1 ) x 2 t 2 1
Ta có (11) ( 4 x 1 ) t 2 ( t 2 1 ) 2 x 1 2 t 2 ( x 1 ) t 2 x 1 0
1 x 2 t 2
1 t
So sánh H - thì 7I >
2
1
t
0 x
1 x 1 x 4 x 1 x
1 1 x 1
x 2 1 x 1
x 2
OY 56 trình vô -.
b) ) [ x 1 x 3
3 x
1 x ) 3 x (
Ta có 56 trình: t 2 4 t 3 t 1 t 3
1 ) 1 x )(
3 x (
0 3 x 1 3 x
1 x ) 3 x ( 1
9 ) 1 x )(
3 x (
0 3 x 3 3 x
1 x ) 3 x ( 3
Nhận xét: Ta DN # 56 pháp : ; 5# không hoàn toàn trong câu a.
Trang 14Ví dụ 9 _ J [ ( x 3 1 ) ( x 2 1 ) x x 1 0 ( 13 )
4 0 ( 14 )
1 x
2 x 1 x
2 x 2 1 x
2 x
6
Hướng dẫn:
a) ) [ x 1
): 2 3 2 Ta có 56 trình:
x x t 1 x x
2 t
1 t 0 2 t 3
t 2
O1
0 x 0 1 x x
0 x 1
0 x
1 x x
0 x 1
0 x 1 1 x x 1 t
2 3 2
3
0 4 x x
0 x 1 4
x x
0 x 1 2
1 x x 2
OY 7 56 trình có - x 1
1 x
2 x
0 ) 4 t 3 t )(
1 t (
0 4 t t 2 t
2
2 3
1
t
t 0 t 2 3 t 4 0
1 x
2 x 0 1 1 x
2 x 1
III Bài tập áp dụng
Giải các phương trình và bất phương trình sau
1) x2 3x 3 x2 3x 6 3 2) 2
(x 4)(x 1)-3 x 5x 2 6 3) (x 5 )( 2 x) 3 x2 3x 4) 2x + x + x + 7 + 2 x + 7x 2 35 5) x + 5 + -x - 3 < 1 + (x + 5)(-x - 3) 6) x - 1 + x + 3 + 2 (x - 1)(x + 3) > 4 - 2x
2
1 1
2
4
4
x x
x
9) 4 x + 2 < 2x+ 1 +2 10)
2x
2x x+ >3 5
x -4
+1>
x x+1
- 2 >3 x+1 x
Trang 15Chương 3 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ
Một số gợi ý đặt ẩn phụ
Xét / : nào KF cách : ; 5# ' / - có /{ + > /1 cái ta
làm: W bài toán ;F 56 trình thành bài toán ít ;F ít 56 trình 6 Tuy nhiên do tính 5% 5 &' bài toán ta I | -} / D* >+
+ cái 6 7J K là W T bài toán khó J thành bài toán J 6 Ta
' ra cho sinh ? D* + ý : ; 5# ' / - sau:
* m a f(x) n b f(x) c
Ta có W :
n m
) x ( b v
) x ( a u
* ba baf(x) f2 (x)
Ta có W :
) x ( v
) x ( af b u
* ba3 baf(x) f3(x)
Ta có W :
) (
) (
3
x f v
x af b u
* 8 56 trình %' ( x )+ g ( x ) trong K ( x ) g ( x ) const
Ta có W :
) x ( g v
) x ( u
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1 _ J [ x 4 x ( 1 ) /1
2
3
x 3 2 3 3 x 2 ( 2 )
Hướng dẫn:
2
3 x ) 1
): Ta có
1 u 2 3
Trang 16
2 2 2
2
) 1 u ( 2 3 v
1 v 2 3 u
1 v
; 1 u
) 1 u ( 2
3 v
2 ) 1 v ( 2 1 u
1 v
; 1 u
0 5 ) v u ( 2
v u
TH1 O1
4
17 3 v x 4
17 1 1 v 2 ) 1 v ( ) 1 v ( 2 v
Do x 1 nên ta >
4
17 3
x TH2 O1 2 ( u v ) 5 0 2 ( u 1 ) 2 ( v 1 ) 1 0 (vô - do u 1 ; v 1) b) ): Ta có -
v 2 x
u x
3
2 v u
1 v u v
u
0 2 u u
0 ) 3 v uv u )(
v u (
0 2 v u
0 2 u v
0 2 v u 2 u v
v 2 u
3
2 2
3
3 3 3
3
OY 56 trình (2) có hai - là : x 1 x 2
Ví dụ 2 _ J [ x 3 6 x ( x 3 )( 6 x ) 3 ( 3 )
1 x x 34
x 34 ) 1 x ( 1 x ) x 34 (
3 3
3 3
Hướng dẫn:
a) ): Ta có -
x 6 v
3 x u
9 v u
3 uv v u
0 v
; 0 u
2 2
_ J - * n% ta +
6 x
3 x
0 v
3 u
3 v 0 u
... nghiên cứu đề tài.) tài Y5 trung nghiên % 56 pháp J 56 trình 7 56 trình %'' = )K 56 pháp 7 8 9 6 6F 56 pháp : ; 5#F 56 pháp :...
2 Mục đích nghiên cứu đề tài.
"# tiêu mà tài @ 5J + giúp sinh - * + 56 pháp dùng J 56 trình 7 56 trình %'' =F G /S... -F 56 pháp 4 giá
4 Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài.
) tài Z 6[
+ 36 1: - * phép 7 8 9 6 6 J 56 trình 7 56 trình %''