Chuyên đề tự chọn lớp 10 Chủ đề 2: Vectơ và các phép toán. (8 tiết)

Biết dùng vectơ như là một phương pháp để giải các dạng toán hình học: Chứng minh hai đường thẳng song song, 3 điểm thẳng hàng, 2 ®iÓm trïng nhau….. chuÈn bÞ cña gi¸o viªn vµ häc sinh.[r]

Trang 1

chủ đề 2 vectơ và các phép toán (8 tiết)

1 Mục tiêu

• Về kiến thức: HS củng cố, khắc sâu các kiến thức cơ bản về vectơ và các phép toán Bổ sung thêm các kiến thức về sự biểu diễn một vectơ theo các vectơ không cùng phương Khái niệm hệ trục tọa độ và tọa độ của vectơ và của điểm Hệ thức Salơ Biểu thức tọa độ của các phép toán

• Về kỹ năng: Biết cách giải một số dạng toán về vectơ Biết dùng vectơ như là một phương pháp

để giải các dạng toán hình học: Chứng minh hai đường thẳng song song, 3 điểm thẳng hàng, 2

điểm trùng nhau…

2 chuẩn bị của giáo viên và học sinh.

GV: Chuẩn bị hệ thống các bài tập hợp lí, phù hợp với năng lực thực tế của học sinh.

HS: Giải quyết trước các bài tập về tập hợp ở SGK ĐS lớp 10, nắm vững các kiến thức về các

phép toán tập hợp

3 dự kiến phương pháp dạy học.

Sử dụng phương pháp vấn đáp – gợi mở có phối hợp hoạt động nhóm và phân bậc hoạt

động các nội dung ghi bảng

4 tiến trình bài học.

Phân phối thời lượng: Tiết 1,2: Phần A – Định nghĩa vectơ, vectơ –không

Tiết 3, 4: Phần B – Tổng và hiệu các vectơ

Tiết 5, 6: Phần C – Tích một vectơ và một số

Tiết 7, 8: Phần D –Hệ tọa độ, tọa độ của vectơ và của điểm

Ngày 13/10/2006 – Tiết PPCT: 04,05

Hoạt động 1

A Định nghĩa vectơ, vectơ không.

1) Kiến thức cơ bản:

• Vectơ là đoạn thẳng có hướng

• Hai vectơ gọi là cùng phương nếu chúng cùng giá hoặc có giá song song

• Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

• Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài

• Vectơ có điểm đều và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ không 0

2) Các dạng toán thường gặp.

Dạng 1 Cách xác định một vectơ, hướng của vectơ, độ dài vectơ

Phương pháp Để xác định một vectơ chúng ta dựa vào phương, hướng và độ dài của vectơ đó

Chúng ta có thể dựa vào tính chất hình học của các hình

Bài số 1 Cho 3 điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng.

a) Khi nào thì hai vectơ AB và AC cùng hướng

b) Khi nào thì hai vectơ AB và AC ngược hướng

c) Khi nào ta có AB = BC

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

H1: AB và AC cùng hướng khi nào? Vẽ

hình biểu diễn?

H2: AB và AC ngược hướng khi nào? Vẽ

• Gợi ý trả lời H1:

và cùng hướng khi và chỉ khi A nằm AB



AC

ngoài đoạn BC

Trang 2

hình biểu diễn?

H3: Khi nào ta cóAB = BC?

• Gợi ý trả lời H2: AB và AC ngược hướng khi và chỉ khi A nằm giữa B và C

• Gợi ý trả lời H3: AB = BC khi và chỉ khi B

là trung điểm của AC

Bài số 2 Cho ABCD là hình thoi có O là tâm đối xứng.

a) Tìm các vectơ khác và cùng phương với 0 AB

b) Tìm các vectơ khác và cùng hướng với 0 AO

H1: Các vectơ khác và cùng phương với 0 AB

H2: Các vectơ khác và cùng hướng với 0 AO

• Gợi ý trả lời H1: BA,CD, DC  

• Gợi ý trả lời H2: OC, AC 

Dạng 2 Chứng minh hai vectơ bằng nhau.

Phương pháp: Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng cùng hướng và có cùng

độ dài

Bài số 3 Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD I là

giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của CN và DM

Chứng minh: AM NC, DK NI 

H1: Để chứng minh AM NC ta cần chứng

minh điều gì?

H2: Hãy chứng minh điều đó?

H3: Tương tự, chứng minh DK NI

• Gợi ý trả lời H1: Ta chứng minh AMCN là hình bình hành

Do MC//AN và MC = AN nên AMCN là hình bình hành Suy ra AM NC

Ta có: BM = ND và BM // ND nên BMDN là hình bình hành, suy ra DK NI

Bài số 4 Cho hình thoi ABCD cạnh a và góc AA 60 0

a) Chứng minh AB DC, AD BC 

b) Tính độ dài các vectơ AC, BD  theo a

H1: Hướng của các vectơ AB và CD?

H2: So sánh độ dài của các vectơ AB và CD

?

H3: Vậy có điều gì?

H4: Tính độ dài đoạn BD, AC?

• Gợi ý trả lời H1: Ta có AB//CD đồng thời B và

C nằm cùng phía đối với đường thẳng AD nên

và cùng hướng

AB



CD

• Gợi ý trả lời H2: Chúng có độ dài bằng nhau

• Gợi ý trả lời H3: Vậy AB =CD

• Gợi ý trả lời H4: Ta có ABD đều nên BD=a

Đường chéo AC của hình thoi có độ dài bằng hai lần độ dài đườg cao của tam giác đều cạnh a

B

A

D

C O

B

A

C

D

M

N

B A

D

C O

Trang 3

H5: Vậy ta kết luận được? nên AC a 3 .

• Gợi ý trả lời H5: AC a 3; BD a

Dạng 3 Véctơ và tính chất đặc biệt của nó.0

Phương pháp: Để chứng minh AB 0 chúng ta lưu ý: AB 0  A B; AB 0   AB 0

Bài số 5 Cho hai vectơ và không cùng phương và đều khác Từ điểm O bất kì dựng a b 0

Từ A dựng Tiếp đó từ O dựng rồi từ C dựng Chứng minh

OA a

 

AB b OC b CD a

BD 0

 

H1: So sánh OA và CD?

H2: Vậy tứ giác AOCD là hình gì?

H3: So sánh AD và OC

H4: Mà theo cách dựng ta có điều gì?

Có OA avà CD a OA=CD

• Gợi ý trả lời H2: AOCD là hình bình hành

Do AOCD là hình bình hành nên

= AD



OC b

• Gợi ý trả lời H4: Theo cách dựng ta lại có



AB b

 

AB AD   B D BD 0

Bài số 6 Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD

Chứng minh rằng MN QP

HD: So sánh về phương, hướng, độ dài của

và ?

MN



QP

AC nên MN//QP M và Q cùng nằm trên nửa

mp bờ BD không chứa N, P nên ta có: MN và cùng hướng

QP



Lại có MN = QP (vì cùng bẳng nửa độ dài AC) Suy ra MN QP

Bài tập ra thêm về nhà:

Số 1 Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng nếu AB DC thì AD BC

Số 2 Cho hình bình hành ABCD Dựng AM BA, MN DA, NP DC, PQ BC    Chứng minh

AQ 0

 

Rút kinh nghiệm và bổ sung

Ngày 20/10/2006 – Tiết PPCT: 06,07

O

C D

P

D Q

A M

Trang 4

B Tổng – Hiệu các vectơ.

1) Kiến thức cơ bản.

• Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có: AB BC AC  

• Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì: AB AD AC  

• Quy tắc trừ: Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có: AB AC CB  

• Công thức trung điểm:

Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA IB 0  

• Công thức trọng tâm tam giác:

Điểm G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi GA GB GC 0    

• Tính chất:

 

a) a b b a

c) a 0 0 a a

  

   

  

   

Dạng 1 Tính tổng, hiệu các vectơ.

Phương pháp: Dùng định nghĩa tổng, hiệu các vectơ, các tính chất và quy tắc ba điểm, quy tắc

hình bình hành, quy tắc trừ; công thức trung điểm, công thức trọng tâm

Bài số 1 Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD

Tính các tổng sau: NC     MC; AM CD; AD NC 

B

A

C

D N

H1: So sánh NC và AM?

H2: Vậy ta có NC MC=?

H3: Từ NC=AM, tính AM CD  ?

H4: Tính AD NC  ?

Do AN//MC và AN = MC nên AMCN là hình bình hành Do đó NC=AM

• Gợi ý trả lời H2: NC MC AM MC AC  

AM CD NC CD ND   

    

Do NC=AM nên ta có AD NC AM AD   

 AD NC  = AE với E là đỉnh của hình bình hành ADEM

Bài số 2 Cho ABC Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC Tìm các

hiệu: AM AN; MN NC; MN PN; BP CP          

A

Trang 5

H1: Vận dụng quy tắc trừ, tìm AM AN  ?

H2: So sánh NCvà MP?

H3: Từ NCMP Tính MN NC  ?

H4: Tính MN PN  ?

H5: Tính BP CP  ?

AM AN NM 

  

• Gợi ý trả lời H2: NCMP

MN NC MN MP PN   

    

MN PN MN NP MP   

    

• Gợi ý trả lời H5: BP CP BP PC BC    

Dạng 2 Các bài toán liên quan đến a b  và a b 

Phương pháp:

Trước hết tính a b AB,a b CD      sau đó tính độ dài các đoạn thẳng AB và CD

Bài số 3 Tam giác ABC vuông tại B có AB = 3cm, BC=4cm Hãy tính độ dài của AB AC 

A

D

I

3cm

H1: Xác định vectơ tổng?

H2: Tính AD?

Dựng hình bình hành ABDC, có tâm đối xứng

là I Ta có: AB AC AD  

Có AD = 2AI, AI AB2 BI2  13 Vậy AB AC   AD  13

Bài số 4 Chứng minh rằng với mọi vectơ a, b  ta có: a b   a b

Khi nào ta có a b   a b ? Khi nào a b   a b và khi nào thì a b   b  a ?

a b 

a



b

b



a

B

A

H1: Xác định vectơ tổng a b  ?

H2: So sánh a b  và a  b khi O, A, B

không thẳng hàng

Vẽ OA a, AB b  thì ta có: OB a b  

Khi O, A, B không thẳng hàng ta có:

Trang 6

H3: a b  =a  b khi nào?

H4: Khi nào ta có: a b   a b

H5: Khi nào thì a b   b a

a b  OB OA AB   a  b

 OB = OA+AB

a b   a  b

 và cùng hướng a b

 OB =OA–AB

a b   a b  và ngược hướng và >a b a b

OB=AB– OA

a b  b a

 và ngược hướng và <a b a b

Dạng 3 Chứng minh các đẳng thức vectơ.

Phương pháp:

– Biến đổi một vế thành vế kia

– Biến đổi cả 2 vế của đẳng thức bằng cùng một biểu thức trung gian

– Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đúng

– Từ một đẳng thức đúng suy ra đẳng thức cần chứng minh

Bài số 5 Cho 5 điểm A, B, C, D, E Chứng minh rằng:

AC DE DC CE CB AB    

     

H1: Sử dụng phương pháp nào?

H2: Hãy thực hiện phép biến đổi đó.

H3: Có cách khác không?

Biến đổi một vế thành vế kia

Có DE DC CE   nên:

AC DE DC CE CB AC CE CE CB

AC CB AB

        

  

Có thể biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương

đương với một đẳng thức đúng

Bài số 6 Cho ABC Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC Chứng

minh rằng với điểm O bất kì ta có: OA OB OC OM ON OP       

A

H1: Sử dụng phương pháp nào?

H2: Hãy thực hiện phép biến đổi đó.

Biến đổi một vế thành vế kia

OA OB OC OM MA OP PB ON NC

OM ON OP MA PB NC

OM ON OP MA NM AN

OM ON OP

        

     

     

  

Trang 7

H3: Có cách khác không?

H4: Hãy thực hiện phép biến đổi đó

Có thể biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương

đương với một đẳng thức đúng

• Gợi ý trả lời H4: Ta có

OA OB OC OM ON OP    

     

OA OM OB OP OC ON 0

MA PB NC 0

MA NM AN 0

      

   

   

Đây là đẳng thức đúng (theo quy tắc 3 điểm)

 đpcm

Bài số 7 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:

CE BD AF CD BF AE CF BE

H1: Hãy chứng minh

?

AD BE CF AE BF CD    

     

H2: Chứng minh

AE BF CD AF BD CE    

     

AE BF CD ED DF FE

AE BF CD

        

     

  

AF BD CE FD DE EF

AF BD CE

        

     

  

Bài tập ra thêm về nhà:

1) Cho 4 điểm A, B, C, D CMR ABCDADCB

2) Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi GAGBGC0

3) Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm G Gọi G1, G2, và G3 là trọng tâm các tam giác BCA1, ABC1, ACB1

CMR GG1  GG2  GG3  0

Rút kinh nghiệm và bổ sung

Trang 8

Ngày 29/10/2006 – Tiết PPCT: 10,11

C Tích của một vectơ với một số.

1) Kiến thức cơ bản.

• Tích của vectơ với số k là một vectơ, kí hiệu là a ka, cùng hướng với nếu k>0 và ngược a

hướng với nếu a<0 và có độ dài bằng a k a

Quy ước: 0.a 0;k0 0 

• Tính chất:

, ta có:

h, k a, b

  A  

1) k a b   ka kb  2) (h k)a ha ka     3) h ka  (hk)a 4) 1.a a;( 1)a   a

• áp dụng:

– Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng  tồn tại số k: AB kAC 

– I là trung điểm của AB  Với mọi điểm M bất kì ta có MA MB 2MI   

– G là trọng tâm ABC  Với mọi điểm Obất kì ta có: MA MB MC 3MG     

• Cho và a b không cùng phương Khi đó với bất kì luôn tìm được cặp số thực p, q duy nhất x sao cho:

x pa qb   

Dạng 1 Chứng minh đẳng thức vectơ trong đó có chứa tích của một vectơ với một số

Phương pháp: Sử dụng các tính chất của phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số, sử dụng

khái niệm hai vectơ bằng nhau, đối nhau, cùng phương, cùng hướng…

Bài số 1 Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng AB  AC AD 2AC  

A

B

D

C

H1: áp dụng qui tắc hình bình hành, tính

tổng AB AD  ?

H2: Vậy AB  AC AD ? 

Theo qui tắc hình bình hành ta có: AB AD AC  

AC AD AC AC 2AC

     

Bài số 2 Cho tứ giác ABCD, I và K lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD O là

trung điểm IK Chứng minh rằng: OA OB OC OD 0       Từ đó chứng tỏ rằng với điểm M bất kì ta có: MA MB MC MD 4MO       

Trang 9

B

C D

A •

O I K

H1: OA OC ?  

H2: Tương tự, OB OD ?  

H3: OA OB OC OD ?      

H4: Chứng minh

?

MA MB MC MD 4MO   

    

• Gợi ý trả lời H1: OA OC 2OI   

• Gợi ý trả lời H2: OB OD 2OK   

OA OB OC OD 2OI 2OK 2 OI OK           0 Vì O là trung điểm IK

MA MB MC MD

MO OA MO OB MO OC MO OD

   

       

     

Bài số 3 Cho tam giác ABC, gọi O, H theo thứ tự

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của

tam giác và D là điểm đối xứng của A qua O

a) Chứng minh HCDB là hình bình hành

b) Chứng minh:

HA HD 2HO

HA HB HC 2HO

OA OB OC OH

  

   

H1: Chứng minh HCBD là hình bình

hành?

H2: Chứng minh HA HD 2HO   ?

H3: Chứng minh HA HB HC 2HO     

H4: Chứng minh OA OB OC OH    ?

• Gợi ý trả lời H1: Có BHAC, DCAC  BH//DC CHAB, DBAB  BH//BD

Vậy CHDB là hình bình hành

• Gợi ý trả lời H2: Vì O là trung điểm của AD nên ta

có HA HD 2HO   

Do HCDB là hình bình hành nên HB HC HD   Do

đó HA HB HC HA HD 2HO       

• Gợi ý trả lời H4: Ta có:

HA HB HC 2HO     

3HO OA OB OC 2HO

OA OB OC OH

    

   

Trang 10

Dạng 2 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.

Phương pháp: Để phân tích vectơ theo 2 vectơ không cùng phương ta sử dụng quy tắc 3 điểm x hoặc quy tắc hình bình hành biểu diễn vectơ thành tổng 2 vectơ tương ứng cùng phương với x a

và rồi tìm p, q để = p +q b x a b

Bài số 4 Cho ABC có trọng tâm G Cho các điểm

D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,

AC, AB và I là giao điểm của AD và EF Đặt

u AE, v AF  

Hãy phân tích các vectơ AI, AG, DE, DC    theo các

vectơ u, v 

H1: Biểu diễnAI theo AEvàAF?

H2: Phân tích AG theo các vectơ u, v ?

H3: Phân tíchDE, DC ?

• Gợi ý trả lời H1: Do AEDF là hình bình hành nên

AD AE AF u v   

2



 

2

• Gợi ý trả lời H2: Ta có 2 2 

   

DE FA 1.v 0.u 

DC FE AE AF u v    

Bài số 5 Cho ABC có trọng tâm G Đặt u GA, v GB  

Hãy phân tích các vectơ AB,GC, BC,CA    theo u, v 

H1: Biểu diễnAB theo GAvàGB?

H2: Phân tích GC theo các vectơ u, v ?

H3: Tương tự, phân tíchBC,CA ?

• Gợi ý trả lời H1: AB GB GA   1.u v

• Gợi ý trả lời H2: Ta có

GA GB GC 0      GC  GA GB    u v 

BC GC GB v       u v 2v u 

CA GA GC u       u v 2u v 

Dạng 3 Sử dụng vectơ chứng minh các quan hệ hình học.

Phương pháp: Sử dụng tính chất cùng phương của các vectơ, định nghĩa hai vectơ bằng nhau tính

chất của vectơ không

Các bài toán thường gặp:

• Chứng minh hai điểm A, B trùng nhau: AB 0

• Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng: AB kAC 

• Chứng minh 2 đường thẳng song song: u, v  cùng phương

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	291,68 KB