Ôn tập các dạng phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ôn tập các dạng phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn A... PT chøa dÊu GTT§.[r]

Ôn tập các dạng phương trình

và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ôn luyện lại các dạng PT bậc nhất đã học ở lớp 8 : PT bậc nhất 1 ẩn ; PT chứa ẩn ở mẩu ;

PT chứa dấu GTTĐ

- Ôn luyện và rèn luyện kĩ năng giải các bất PT bậc nhất 1 ẩn

B Nội dung :

1, PT bậc nhất một ẩn

Là PT có dạng ax +b = 0 (a ≠0)

 ax = -b  x = -

a b

Bài tập : Giải các PT sau :

a, 2x +5 = 28 - 3 (5x +7 ) b, 4x + = 8 -

6

4

3x

5

9

7x

 2x + 15x = 28 -21 -5  4x 30 + 5 (3x -4) =8 30 - 6(7x +9)

 17 x = 2  120x +15 x -20 = 240 - 42x -54

 x =  93x = 206

17

2

 x =

93 206

2, PT dạng tích :

A(x) B(x) =0  A(x) =0

Hoặc B(x) = 0

Bài tập : Giải các PT sau

a, 3x ( 5 - 7x ) = 0

 x = 0 ; x =

7 5

b, 4x2 -9 + 2x +3 = 0  ( 2x +3 )(2x -3 ) + 2x +3 =0

 (2x +3 ) ( 2x - 2 ) = 0  











 0 2 2

0 3 2

x

x











 1

2 / 3

x x

3 PT chứa ẩn ở mấu

B1: Đặt ĐK của ẩn ; Qui đồng khữ mẩu

B2: Biến đổi PT L" về dạng ax +b = 0 rồi giải

B3: Đối chiếu ĐK và trả lời nghiệm

Bài tập :

Giải các Pt sau :

a,

2

7 3 4 2

5

2













x

x x

x

b,

) 3 )(

1 (

2 2

2 )

3

(

2     x x

x x

x x

x

Đk: x ≠ -1 ; x ≠ 3

 x( x+1) + x( x -3 ) = 4x

 2x2 - 6x = 0

 2x ( x -3 ) =0  x =0 ( tm)

x =3 ( loại )

4 PT chứa dấu GTTĐ

Giải PT :

(1) 0 9 3

7

2x  x 

GV L dẫn HS giải theo hai cách

C1: Mở dấu GTTĐ

C2: Chuyển vế rồi đặt ĐK ở vế phải rồi giải

5 Bất

Định nghĩa: BPT bậc nhất một ẩn là BPT có dạng a.x+b>0 hoặc a.x+b<0

VD: a, 2x-5< 0

b; 27-3x> 0

Cách giải:

Bài 1: Giải BPTsau:

a; , 2x-5< 0

2x<5x<

2 5

b, 27-3x> 0 -3x>-27 x< x<9

3

27  Bài 2; Giải BPT sau:

3

5 2 5

2 4 6

5

x









Giải: 5(3x-5) - 4x.5.6 + 2.6 >(2+5x) 10

3

5 2 5

2 4 6

5

x

 15x-25-120x+12 >20+50x

 15x-120x-50x>20+25-12  -155x > 33

 x<

155 33



C Hướng dẫn về nhà :

- Xem kĩ lại các bài tập đã giải ở lớp

- Làm thêm bài tập sau : Giải PT và BPT

a, 3x- 8 + =

12

4

13  x

9

7

5x

b, 12

7

5 6 ) 4 5 ( 2

1









•

Liên hệ giữa phép nhân ; phép chia và phép khai phương

A- Lí thuyết :

1- Định nghĩa:

CBH của một số không âm a là avà - a

CBHSH của một số không âm a là a(x= a ( Vớia )













a x

x

2

0

0



2- Điều kiện tồn tại : A có nghĩa khi A 0

3- Hằng đẳng thức : A2  A=







 A

A

4- Liên hệ giữa phép nhân ; phép chia và phép khai Lc

+ Với A B0 ;  0 ta có AB  A. B

+Với A B0 ;  0 ta có

B

A

B A 

B- Bài tập áp dụng :

Bài 1- Tính CBH và CBHSH của 16 ; 0,81 ;

25 4

Giải: CBH của 16 là 16 =4 và - 16=-4 ; Còn CBHSH của 16 là 16 =4

CBHcủa 0,81 là  0 , 9 ; CBHSH của 0,81là 0,9

CBH của là ; CBHSH của là

25

4

5

2



25

4 5 2

Bài 2- Tìm x để biểu thức sau có nghĩa :

a; 2x 1

b;

x

 2 1

c; d;

1

3

2 

x

d; 2x2  3

e;

2

5

2 

 x

Giải: a; 2x 1có nghĩa khi 2x+1

2

1

0   

b; có nghĩa khi

x

 2

1

























4

0 0

2

0

x

x x

x

c; có nghĩa khi x2-1>0

1

3

2 

x



















  

























0 1

0 1

0 1 0

) 1 )(

1 (

x x x x













1

1

x x

d; 2x2 3có nghỉa khi 2x2+3 0Điều này đúng với mọi x.Vậy biểu thức này có nghĩa

với mọi x

e; có nghĩa khi -x2-2>0 Điều này vô lí với mọi xVậy biểu thức này vô nghĩa

2

5

2 

 x

với mọi x

Bài 3- Tính (Rút gọn ):

)

2

1

( 

b; ( 3  2 )2 ( 2  3 )2

c; 5  2 6  4  2 3

d;

1

1 2

2







x

x

x

e; x 2 x 1

Giải:

a; ( 1  2 ) 2 =1  2  2  1

b; ( 3  2 )2 ( 2  3 )2= 3  2  2  3  2  3  2  3  4  2 3

c; 5  2 6  4  2 3= ( 3 2 ) ( 3 1 ) 3 2 3 1 2 3 2 1

2 2





















1

1 1

)

1

( 2















x

x x

x

e; x 2 x 1= ( 1 1 ) 1 1

2









x

Bài 4- Giải PT:

a; 3+2 x  5 b; x2 10x 25  x 3 c; x 5  5 x  1

Giải:

a; 3+2 x  5(Điều kiện x 0 )

2 x  5  3  2

x  1

x=1(thoả mãn )

b; x2 10x 25  x 3  x 5  x 3(1)

Điều kiện : x  -3



















x x

x x

3 5

3 5

1



 x

ĐK: x-5  0

5-x 0 Nên x=5

Với x=5 thì VT=0 vậy nên PT vô nghiệm

Bài 5- Tính:

a; 45 80 + 2 , 5 14 , 4

b; 5 45  13 52

c;

144

25 150

6 23

.

Giải: a; 45 80 + 2 , 5 14 , 4=

66 2

,

1

.

5

20

.

3

44 , 1 25 400 9 44 , 1 25

400

.

9













b; 5 45  13 52= 225  13 2 2 2  15  26   11

144

25 150

6 23

.

60

13 230 12

5 5

1 230 144

25 150

6

Bài 6- Rút gọn :

a; 2 2 với a >0 b; (Vớia<0 ; b )

)

1

(a

a

6 6

6 4

128

16

b a

b a

0

 Giải: a; 2 2 với a >0

) 1 (a

a

= a a 1 a(a 1 ) vì a>0

b; (Vớia<0 ; b )

6

6

6

4

128

16

b

a

b

a

0



2 2

1 8

1 128

16

2 6

6

6

4

a a

b

a

b

a







Bài 7: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức với x= 0,5:

( với x<3) Tại x=0,5 3

1 )

3

(

)

2

2

4











x

x

x

x

3

5 4 3

1 4

4 3

1 3

) 2































x

x x

x x

x x

x x

x

Thay x=0,5 ta có giá trị của biểu thức = 1 , 2

3 5 , 0

5 5 , 0 4







Làm thêm bài tập 41- 42b-43 (Trg9;10-SB

Ôn tập các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác vuông

A Lí thuyết :

Các hệ thức Lk trong tam giác vuông:

1- a2=b2+c2

2- b2=a.b' ; c2=a.c'

3- h2= b'.c'

4- b.c=a.h

5- 12 12 12

c b

C

A

c h b

c' b'

B H

C CC

B- Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A LO cao AH

a; Cho AH=16 cm; BH= 25 cm Tính AB ; AC ; BC ;CH

b; Cho AB =12m ; BH =6m Tính AH ; AC ; BC ; CH ?

Giải Sử dụng hình trên

a; áp dụng định lí Pi Ta Go trong tam giác vuông AHB ta có:

AB2= AH2 + BH2 = 152 +252 = 850  AB  850  29 , 15

Trong tam giác vuông ABC Ta có :

AH2 = BH CH CH =  =

BH

AH2

9 25

152

 Vậy BC= BH + CH = 25 + 9 = 34

AC2= BC CH = 34 9 Nên AC = 17,5 (cm)

b; Xét tam giác vuông AHB ta có :

AB2 = AH2 + HB2  AH  AB2 HB2  122 62  10 , 39 (m)

Xét tam giác vuông ABC có :

AH2= BH CH 17 , 99 (m)

6

39 ,

10 2

2









BH

AH HC

BC= BH +CH = 6 +17,99 =23,99 (m)

12

39

; 10 99 , 23









AB

AH BC AC

Bài 2: Cạnh huyền của tam giác vuông lớn hơn cạnh góc vuông là 1cm ; tổng hai cạnh

góc vuông lớn hơn cạnh huyền 4 cm

Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này?

Giải :

Giả sử BC lớn hơn AC là 1 cm

C

Ta có: BC- AC= 1

Và (AC + AB)- BC =4 Tính : AB; AC ; BC

Từ (AC + AB)- BC =4 Suy ra AB- ( BC- AC )= 4

AB- 1 = 4 Vậy AB = 5 (cm)

jL vậy :















2 2

2

1

BC AC

AB

AC BC



















2 2

2

) 1 ( 5

1

AC AC

AC BC

Giải ra ta có : AC = 12( cm) Và BC = 13 (cm)

Bài3: Cho tam giác vuông - Biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 3: 4 ; cạnh huyền là 125 cm Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền ? Giải:

Ta sử dụng ngay hình trên

Theo GT ta có :

AC AB

AC

AB

4

3 4

3







Theo định lí Pi Ta Go ta có : AB2 +AC2 = BC2= 1252

2 2 2

125 )

4

3 ( AC  AC  Giải ra : AC = 138,7 cm

AB = 104 cm

Mặt khác : AB2 = BH BC Nên BH = 86 , 53

125

1042

2





BC AB

CH = BC -BH = 125 - 86,53 = 38,47 cm

Bài 4 : Cho tam giác vuông tại A ; Cạnh AB = 6 cm ; AC = 8 cm Các phân giác trong

và ngoài của góc B cắt LO AC lần Lk tại M và N

Tính các đoạn thẳng AM và AN ?

Bài giải:Theo định lí Pi Ta Go ta có : BC = AB2  AC2  62 82  10 cm

MC AM

AM BC

BC AB MC

AM BC

AB











10 6

8 6





A

B

H

C

N

A

M

B C







AC NA

NA BC

AB NC

NA BC AB

Cách khác:

Xét tam giác vuông NBM ( Vì hai phân giác BM và BN vuông góc )

Ta có : AB2 =AM AN =>AN =AB2 : AM = 62 : 3 = 12 cm

Bài 5:

Cho tam giác ABC ; Trung tuyến AM ; %LO cao AH Cho biết H nằm giữa B và M

AB=15 cm ; AH =12 cm; HC =16 cm

a; Tính độ dài các đoạn thẳng BH ; AC

b; Chứng tỏ tam giác ABC; Tính độ dài AM bằng cách tính sử dụng DL Pi Ta Go rồi

dùng định lí trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông rồi so sánh kết quả

Bài giải: A

áp dụng định lí Pi Ta Go cho tam giác vuông AHB ta có:

BH2 = AB2 - AH2=152 - 122= 92

Vậy BH =9 cm

Xét trong tam giác vuông AHC ta có : 15 12

AC2 = AH2 +HC2 = 122 +162 =202

AC= 20 cm 16 b; BC= BH + HC = 9 +16 =25 B C

Vạy BC2 = 252= 625 H M

AC2+ AB2 = 202 + 152 =225

Vậy BC2 = AC2+ AB2 Vậy tam giác ABC vuông ở A

Ta có MC =BM = 12,5 cm ;Nên HM= HC -CM = 16- 12,5 = 3,5 cm

AM2 = AH2 +HM2 = 122 + 3,52 =12,52 Vậy AM= 12,5 cm

Thoã mãn định lí AM = BC : 2 =12,5 cm

Xem kĩ các bài tập đã làm ở lớp

Làm thêm các bài tập sau đây:

Bài 1:

Cho tam giác ABC vuông ở A ; từ trung điểm D của của AB vẽ DE vuông góc với BC

C/M : EC2 - EB2 = AC2

Bài 2:

Biết tỉ số giữa các cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 5:6 ; cạnh huyền là 122

cm

Hãy tính độ dài hình chiếu của mỗi cạnh lên cạnh huyền ?

Bài 3:

Biết tỉ số hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 3 : 7 ; %LO cao ứng với cạnh

huyền là 42 cm

Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền ?

Ôn tập về các phép biến đổi căn thức bậc hai

A- Lí thuyết cần nắm:

Các phép biến đổi căn bậc hai :

%L" thừa số ra ngoài dấu căn :

- Với A  0 , B  0 Thì A2B  A B

- Với A<0 , B  0 Thì A2B  A B

%L" thừa số vào trong dấu căn :

Với A  0 , B  0 Thì A B  A2B

Với A  0 , B  0 Thì A B   A2B

Khữ mẩu của biểu thức lấy căn :

Với AB B0 ;  0 Thì

B

AB B

AB B

A



 2 Trục căn thức ở mẫu:

Với B>0 thì

B

B A B

A 

Với B 0; A 2  B thì

B A

B A C B A

C









) (

Với A 0 ; B 0 và   ABTHì :

B A

B A C B A

C









) (

B- Bài tập :

Bài 1) Chứng minh :

a, 9  4 5  5  2

VT= ( 5  2 ) 2  5  5  2  5   2 VP(ĐCC/M)

b, Chứng minh :

Víi x>0; y>0

y x xy

y x x

y

y

x







(

y x

y x y x y

x

y x y xy xy xy

x

















.

) (

.

c; Chøng minh :

) 2 2

( 4

2x   x 

B§VP= 2+ x-2 + 2 2x 4 = x +2 2x 4 =VT (§CC/m)

Bµi 2: Rót gän :

a;(2 3  5 ) 3  60= 2.3+ 15  4 15  6  15  2 15  6  15

b; 2

0 3 5 ) 6 2 8 ( 3 5 2 3 3 5 2 3 5

2

.

4

3 4 5 3 3 5 2 3 2 40 2 48 5 3 75 2 12

40

























c; (2

y xy x

y xy xy

x y x y

x

2 6

2 3

4 6 ) 2 3 )(



















d, x 2 2x 4  x 2 2x 4 Víi x 2 

=

2 4 2 2 4

2

2 4 2 2 4 2 )

2 4 2 ( ) 2 4 2

(

4 4 2 4 4 2 4 4 2 4

4

2

2 2























































x x

x x

x x

x x

x x

Víi 2x 4  2  0  x 4 ta cã BiÓu thøc = 2x 4  2  2x 4  2  2 2x 4

Víi 2x 4  2  0  2  x 4 BiÓu thøc = 2x 4  2  2  2x 4  4

Bµi3:T×m x

a;

) ( 49 35

25

) 0 : ( 35

25

2

TM x

x

x DK x













b;

) ( 6 0 3 3

) ( 3 0

3

0 ) 3 3 (

3

0 3 3 3

3

) 3 : ( 0 3 3

9

2

tm x

tm x

x

x x

x x

x

x DK x

x























































vËy x =3 hoÆc x = 6

2  x  x

x

Với x-4  0  x 4 Lc trình trở thành :

x- 4 = x+2 => - 4 = 2 vô lí =>PT vô nghiệm

Với x- 4 <0  x<4 Lc trình trở thành:

4- x = x +2 =>x =1 ( thoã mãn )

Vậy PT chỉ có một nghiệm x = 1

4

2 4

2

2









x

2



2(x+

) 4 (

5 4 2

2 4 2

2

) 4 ).(

4 (

5 ) 4 (

2 ) 4

2 2 2

2

2 2

2 2





































x x x

x x

x

x x x

x x

x x

 4x = 20  x =5 (Thoả mãn)

Bài 4: Cho biểu thức :

A =

x

x x

1 2

2

1

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức A

b; Tính giá trị của A với x =3

c; Tìm giá trị của x để

2

1



A

Giải: A có nghĩa Khi









 1

0

x x

A =

1

1 1

1

1 4

4

4 1

) 2 2 )(

2

2

(

2 2 2

2



































x x

x

x

x x

x

x x

x

x x

b; Với x= 3 ( thoả mãn điều kiện ) nên ta thay vào A=

1 3

1 1

1











x

2

1



2

1 1

1 2

1 1

1

















x x

x

Bài 5 :

9 10 1 1

100 99

1

3 2

1

2

1

100 99

1 99

98

1

3 2

1

2

1

1













































A - Lí thuyết :

1- Định nghĩa các tỉ số

SinB = = CosC

a

b

Cos B = SinC

TgB = Cotg C

CotgB = TgC

2- Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

a; b = a sinB = a cosC

c = a sin C = a cosB

b; b = c tgB = c cotg C

c = b tgC = b cotg B

B- Bài tập :

Bài 1: (Bài về nhà )

Cho  ABC vuông ở A ; ; BC = 122 cm

6

5



AC AB

Tính BH ; HC ?

Giải:

Cách1: Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có :

AB2 = BC BH

CH

BH

AC AB 22

6

5



AC

AB

CH

BH AC

AB 22

36 25

Đặt BH = 25x ; CH = 36x

Ta có : BC= BH + CH = 25x +36x = 122

Vậy x = 122 : 61 = 2

Nên BH = 25.2 =50 (cm) ; CH = 2 36 = 72 (cm)

Cách 2:

Đặt AB= 5x ; AC =6x

Theo định lí Pi Ta Go Ta có :

BC = AB2 AC2  ( 5x)2 ( 6x)2  61x2 x 61  122 Vậy x =

61 122

61

122 61

25 61

25 61

25 2

2











x

x BC

AB BH

CH= BC- BH = 122 - 50 = 72 (cm)

Bài 2 : GV nhắc lại kết quả bài tập 14 (Tg77-SGK)





Cos

Sin







 Sin

Cos

 Tg

1

Sin2 + Cos2  = 1

áp dụng :

a; Cho cos = 0,8 Hãy tính : Sin ;Tg ; cotg  ?

A

B H C

Mà cos  = 0,8 Nên Sin  = 1  0 , 82  0 , 6

Lại có : Tg  = =



 Cos

Sin

75 , 0 8 , 0

6 ,

0 

Cotg  = =



 Sin

Cos

 Tg

1

333 , 1 6 , 0 8 , 0  b; Hãy tìm Sin  ; Co s  Biết Tg  = 3 1 Tg  = nên = Suy ra Sin  = Cos  3 1   Cos Sin 3 1 3 1 Mặt khác : : Sin2 + Cos2  = 1 Suy ra ( Cos )2 + Cos2  =1 Ta sẽ tính Lk Cos  = 0,9437 3 1 Từ đó suy ra Sin  = 0,3162 c; Lc tự cho Cotg  = 0,75 Hãy tính Sin  ; Cos  ; Tg  - Cho HS tự tính GV kiểm tra kết quả

Bài 3 : Dựng góc  biết : a; Sin  = 0,25 ; c; Tg  = 1 b; Cos  = 0,75 d; Cotg  = 2 Giải

a; Cách dựng : Chọn đoạn thẳng đơn vị -Dựng góc vuông xOy - Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 1( Đơn vị) - Vẽ (A; 4 đơn vị) cắt tia oy tại B

- Nối AB Ta sẽ có góc OBA là góc cần dựng Chứng minh: Trong tam giác OAB có: Sin OBA = 0 , 25 4 1   AB OA

Vậy góc OBA là góc  cần dựng

c; Cách dựng : - Dựng góc vuông xOy - Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 1Đvị - Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB= 1 Đvị Nối AB Ta có góc OAB là góc cần dựng C/M : Trong tam giác OAB có : tgOAB =  1 OA OB

A O B X

A A

O B

C¸c c©u b; d; cã c¸ch lµm hoµn toµn Lc tù L c©u a; c; C¸c em sÏ tù lµm

Bµi 3: C¸c biÓu thøc sau ®©y cã gi¸ trÞ ©m hay Lc :

a; Sinx - 1

b; 1 - Cosx

c; Tgx - Cotgx

d; Sinx - Cosx

Gi¶i

V× Sinx = §èi : HuyÒn ; Cosx = KÒ : HuyÒn Nªn Sinx <1

Cosx <1

Suy ra : Sinx - 1 <0 Vµ 1 - Cosx >0

V× Sin 45 0 = Cos 450 vµ khi x t¨ng th× Sinx ; Tgx T¨ng dÇn

Cßn Cosx ; Cotgx gi¶m dÇn

+ NÕu x>450 th× sinx >cosx Nªn Sinx - cosx >0 ; Tgx - cotgx >0

+ NÕu x <450 th× Sinx < Cosx Nªn Sinx - cosx <0 ; Tgx - cotgx <0

Bµi 4: TÝnh c¸c gãc cña  ABC BiÕt AB = 3 cm ; AC = 4 cm ; BC =5 cm

Gi¶i

V× AB2 + AC2 = 32 +42 =25

BC2 = 52 = 25 Suy ra AB2 + AC2 = BC2 VËy  ABC vu«ng t¹i A A

Suy ra <A = 900 3 4

Sin B = AC/ BC = 4 / 5 = 0,8 Suy ra <B = 530 7'

<C= 900 - 5307' = 36053'

B C

Bµi 5: Cho h×nh vÏ : A

H·y tÝnh CN ; < ABN ; < CAN ; AD ; BC

Gi¶i :

Trong  vu«ng CAN cã :

CN2 = AC2 - AN2 = 6,42 - 3,62 = 5,3 cm

Trong  vu«ng ANB cã :

SinB = AN/ AB = 3,6 / 9 = 0,4 Nªn gãc B = 240

Trong  vu«ng ANC cã : CosA = AN/ AC = 3,6 / 6,4 Suy ra gãc CAN = 560

0=

9 6,4 3,6

B C N D

O B

Các câu b; d; có cách làm hoàn toàn Lc tự L câu a; c; Các em tự làm

Bài 3: Các biểu thức sau có giá trị âm hay Lc :

...

Vậy góc OBA góc  cần dựng

c; Cách dựng : - Dựng góc vuông xOy - Trên tia Ox lấy điểm A cho OA = 1Đvị - Trên tia Oy lấy điểm B cho OB=... biết : a; Sin  = 0,25 ; c; Tg  = b; Cos  = 0,75 d; Cotg  = Giải

a; Cách dựng : Chọn đoạn thẳng đơn vị -Dựng góc vng xOy - Trên tia Ox lấy điểm A cho OA = 1( Đơn