Các bài toán luyện tập học sinh lớp 10

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức аsin2x + bcos2x, ở đó a và b là các số thực.. Thầy Nguyễn Xuân Tranh..[r]

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP HỌC SINH LỚP X

ĐỀ BÀI Bài 1:

Tính ctg A ctg B,

2  2

Bài 2 :

Trong  giác )* АВСD: BC = 4, АDС = 60, BАD = 90 S ABCD AB CD BC AD  

2 Tính 0 dài CD.

Bài 3.

1 minh '2 34 56 giá '7 nào 8 x 9  mãn 34  :

9x23x 2 16x24x 2 5

Bài 4:

 :%& trình: 1x2 4x33x

Bài 5:

<%& trình này có bao nhiêu # x 6 2x2 cos( x)0?

Bài 6:

Tìm 4  giá '7 8 tham ! a sao cho # :%& trình sau có 0 #

x y xy

1





cos( )

Bài 7:

1 minh '2 A? 0 , thì sinx + tg2x + sin3x + tg4x + < 1,2

6

 x 

Bài 8.

Tìm giá '7 )$ 4 và  4 8 3F?  аsin2x + bcos2x,   a và b là các !

G

-LỜI GIẢI Bài 1:

Tính ctg A ctg B,

2  2

' )H: 2



Cách 1

I( sát %H tròn bán kính r, 0 tiêp

tam giác  cho АВС K! tâm О $ M А

và

và С’ (xem hình1)

Theo tính tính 4 8 A: ?=A ta có

AB’ = AC’ = x; BA’ = BC’ = y

Khi  x = р – а; y = p – b,   p – 

chu vi 8 tam giác АВС

vì АО và ВО – phân giác 8 góc А và В

%& , thì T tam giác АОС’ và BOC’ U %V ctg A x;

r

2  ctgB y

r

2 

Vì r S ,  4= – "# tích tam giác АВС,

p

 S p p a p b p c(  )(  )(  )

p

p p a p b p c

p

p a p b p c

p

2

2

  (  )(  )(  )(  )(  )(  )

r

p a p b p

p a p b p c

p

p c

Theo  A, а + b = 3c,

X A , pa b c   c suy ra,

2  2 2 Cách 2

T   а + b = 3c suy ra, a ,   R – bán kính vòng tròn

R

b R

c R

3 2

sinAsinB 3sinC

sinAsinB3sin(AB)

sinABcosAB sin A BcosA B

vì sin AB ,



\]^ 1

 cosAB cosA B cosA B

 2

sin AsinB  cosAcosB  sin AsinB

sin AsinB cosAcosB

2 0 sinB

2 0 ctg A ctgB

2 2 2

Bài 2:

Trong  giác )* АВСD: BC = 4, АDС = 60, BАD = 90 S ABCD AB CD BC AD  

2 Tính 0 dài CD.

' )H: 4 3

:

  АВСD –  giác  cho (xem hình 2)

Khi  B’A = BC, CB’ = AB và S AB’C = S ABC

Suy ra S AB’CD = S ABCD = AB CD BC AD =

2

CB CD' B A AD' 

2

và S AB’CD = CB CD' sinB CD' B A AD'  sinB AD'

2

U= B’AD = B’CD = 90.

Vì B’AD = BAD = 90, nên tia AB’ ] AB trùng nhau, suy ra, В và B’ 9 trùng

nhau (xem hình 3)

Khi  ВА = ВС, BAC = BCA và DAC = DCA = 60, thi ADC – [?

suy ra, BAC = BCA = 30, СD = CA = 4 3

Bài 3.

1 minh '2 34 56 giá '7 nào 8 x 9  mãn 34  :

9x23x 2 16x24x 2 5



1) $ x = 0 34    cho  mãn

1) ta  minh 34    mãn $ x > 0

AC = 3; BC = 4 (xem hình 4)

Trên phân giác góc С )4= F D e CD = x

Theo lý ?=A cosin trong tam giác ADC và BDC,

tuwong  ta U %V

AD AC2 CD2  AC CD  ACD

2 2

x   x

và BD BC2 CD2  BC CD  BCD =

2 2

x   x theo 34   tam giác

AD + BD  AB, suy ra 9x23x 2 16x24x 2 5,

là [? :  minh

Bài 4:

 :%& trình: 1x2 4x33x

2



 2 2

2



Ta 4= x – là # 8 :%& trình  cho thì |x|  1

  x  cost,   t  [ ; ] 0  , khi

1  cos2t  4 cos3t  3 cost sint cos3t

vì t  [ ; ] 0  , thi sint  0, thì

cos( ) cos

2  t 3t 0

 sintsin t 

 t     n,   nZ hay , $ kZ.

8

1 2

hình 4

;

x1

8

2

1

2 1

2 2

2





;

x2 5

2

1

2 1

2 2

2





    cos  sin cos( )

x3 3

4

2 2

 cos   

Cách khác:

Biến đổi phương trình đã cho về dạng 16y 3 – 24y 2 + 10y – 1 = 0, ở đó y = x 2

Bài 5:

<%& trình này có bao nhiêu # x 6 2x2 cos( x)0?

' )H : h



x 6 2x2 cos( x)0

x



















0

2

2

, cos( ) ,

2

2

2

  

  





















, ,

x или x

x

















0 5

,

, WU= # 8 :%& trình  cho là: –1,5; –0,5; 0,5; 1,5; 2

Bài 6:

Tìm 4  giá '7 8 tham ! a sao cho # :%& trình sau có 0 #

x y xy

1





cos( )

' )H: а = 0



  A? (m; n) – là # 8 # :%& trình  thì (n; m) – 9 : là

# 8 :%& trình 

Suy ra,

4

2

m









m a











0 0

W$ а = 0 # :%& trình  cho có 0 #

vi U= x y  x = y = 0

x y xy

4 4

0 1





cos( )

Bài 7:

1 minh '2 A? 0 , thì sinx + tg2x + sin3x + tg4x + < 1,2

6

 x 



vì 0 , thì

6

 x 

có F k ra các nhóm, ngoài ra ta có, 0 < sin2x < 1 và 0 < tg2x <

4

1 3

  Z  cho là S = S1 + S2,   S1 = sinx + sin3x + ; S2 = tg2x + tg4x +

khi  S1 = sin ; S2 =

sin

sin cos

x x

x x

tg x

tg x

2

2

1

6

'7 )$ 4 8 S1



6 Suy ra A?0 , thì S1 =

6

cos

, ,

x x

2

0 5

0 75

2 3

2x h, còn hàm y = 1 – tg2x , thì giá



6

'7 )$ 4 8 S2



6

6

tg x

2

2 1

1 3 2 3

1 2

WU= 0 , thì S < < 1,2

6

3

1 2

7 6

 

Bài 8

Tìm giá '7 )$ 4 và  4 8 3F?  аsin2x + bcos2x,   a và b – là các !

G

' )H: A? b a , thì b – giá '7 )$ 4 , –là giá '7  4;a

A? b a , thì a – giá '7 )$ 4, b – giá '7  4.

Cách 1

g x( ) asin 2xbcos 2 xasin 2 xаcos 2 x  (b а) cos 2 x  а b а( ) cos 2 x.

vì 0  cos2x  1, thì $ ba a g x( )  b; $ ba b g x( )  a

Cách 2

g x( )  asi n 2 x bcos 2 x  , a(  cos x)  , b(  cos x)

0 5 1 2 0 5 1 2 0 5 , (a b (ba) cos 2x)

vì –1  cos2x  1, thì $ b a a  g x( )  b; $ b a b g x( ) a

Biến đổi phương trình cho dạng 16y 3 – 24y 2 + 10y – = 0, y = x 2

Bài 5:

<%& trình có # x