Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm nh− h−ớng dẫn quy định đối với từng phần.. ViÖc chi tiÕt hãa thang ®iÓm nÕu cã so víi thang ®iÓm trong h[r]
Trang 1bộ giáo dục và đào tạo
-
đề chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông
năm học 2002 – 2003 - môn thi: toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
-
Bài 1 (3 điểm)
1 Khảo sát hàm số
2
5 4 2
ư
ư +
ư
=
x
x x
2 Xác định m để đồ thị hàm số
2
5 4 )
4
2
ư +
ư
ư +
ư
ư
ư
=
m x
m m x m x
các tiệm cận tương ứng của đồ thị hàm số khảo sát trên
Bài 2 (2 điểm)
1 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
1 2
1 3 3 )
+ +
ư + +
=
x x
x x x x f
biết rằng F(1) =
3
1
2 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
2
12 10
2 2 +
ư
ư
=
x
x x
y
và đường thẳng y = 0
Bài 3 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho một elíp (E) có khoảng cách giữa các
đường chuẩn là 36 và các bán kính qua tiêu của điểm M nằm trên elíp (E) là 9 và 15
1 Viết phương trình chính tắc của elíp (E)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của elíp (E) tại điểm M
Bài 4 (2,5 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có toạ độ
xác định bởi các hệ thức:
A = (2; 4; - 1) ,
→
ư
→ +
→
=
→
k j i
OB 4 , C = (2; 4; 3) ,
→
ư
→ +
→
=
→
k j i
1 Chứng minh rằng AB ⊥ AC, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD
2 Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung ∆ của hai đường thẳng AB và
CD Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (ABD)
3 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD)
Bài 5 (1 điểm) Giải hệ phương trình cho bởi hệ thức sau:
2 : 5 : 6 :
C x y x y x y
- hết -
Họ và tên thí sinh: Số báo danh
Chữ kí của giám thị 1 và giám thị 2:
Trang 2bộ giáo dục và đào tạo
-
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông
năm học 2002 – 2003 -
hướng dẫn chấm Đề chính thức
môn toán
* Bản hướng dẫn chấm thi này có 4 trang *
I Các chú ý khi chấm thi
1) Hướng dẫn chấm thi (HDCT) này nêu biểu điểm chấm thi tương ứng với đáp án nêu dưới đây 2) Nếu thí sinh có cách giải đúng, cách giải khác với đáp án, thì người chấm cho điểm theo số
điểm qui định dành cho câu ( hay phần ♦) đó
3) Việc vận dụng HDCT chi tiết tới 0,25 điểm phải thống nhất trong tất cả các tổ chấm thi môn Toán của Hội đồng
4) Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm tròn điểm môn thi theo qui định chung
II Đáp án và cách cho điểm
Bài 1 (3 điểm)
1 (2, 5 điểm)
- Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:
♦
2
1 2
ư
ư +
ư
=
x x
2
2
) 2 (
3 4
ư
ư +
ư
x
x x
=
=
⇔
=
3
1 0
'
x
x y
y’< 0 với ∀x∈(ư ∞ ; 1) (∪ 3 ; ∞): hàm số nghịch biến trên các khoảng(ư ∞ ; 1) (, 3 ; +∞)
y’ > 0 với ∀x∈( )1 ; 2 ∪ (2; 3) : hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 2), (2; 3). (0, 75 điểm)
b) Cực trị:
♦ Hàm số có hai cực trị: cực tiểu yCT= y(1) = 2 , cực đại yCĐ= y(3) = - 2 (0, 25 điểm)
c) Giới hạn:
2
5 4 2 2
lim 2
lim , 2
5 4 2 2
lim 2
ư
ư +
ư +
→
= +
→
∞ +
=
ư
ư +
ư
ư
→
=
ư
x x x
y x x
x x x
y
x
Đồ thị có tiệm cận đứng x = - 2
2
1 ( lim )]
2 (
[
ư
ư
∞
→
= +
ư
ư
∞
(0, 25 điểm)
(0, 25 điểm)
d) Bảng biến thiên:
(0, 25 điểm)
- Đồ thị:
y’ - 0 + + 0 -
y + ∞ + ∞ - 2
CĐ
CT
2 - -∞ - ∞
Trang 3Hướng dẫn chấm thi TNTHPT năm 2003: đề chính thức
2
(0, 50 điểm)
2 ( 0, 5 điểm)
♦
2
1 6
2 2
ư +
ư
ư + +
ư
=
m x
m m x
y , đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2 khi và chỉ khi = ∞
→ y
xlim2
ư +
ư
ư
1 6 2
2
lim
m x
m m
x Qua giới hạn có 2 + m – 2 = 0 hay m = 0
♦ Với m = 0 ta có
2
1 2 2
5 4 2
ư
ư +
ư
=
ư
ư +
ư
=
x
x x
x x
xiên là y = - x +2
Vậy giá trị cần tìm của m là m = 0
(0, 25 điểm)
(0, 25 điểm) Bài 2 (2 điểm )
1 (1 điểm)
♦
2 2
2 3
) 1 (
2 1 )
1 (
1 3 3 )
(
+
ư +
= +
ư + +
=
x
x x
x x x
x
f
; 1
2 2
2 2
) 1 (
1 3 2 3
3
C x x x dx x
x x
x
+ + + +
=
♦Vì
3
1 )
1
6
13
ư
=
C Do đó
6
13 1
2 2
) (
2
ư + + +
=
x x
x x
(0, 75 điểm)
(0, 25 điểm)
2 ( 1 điểm)
♦Diện tích hình phẳng S cần tìm
∫
∫
∫
ư
ư
+ +
ư
ư +
ư
1
6 1
2 6
1
2
) 2
16 2 14 ( 2
12 10 2 0
2
12 10 2
dx x x dx
x
x x dx
x
x x
S
(0, 25 điểm)
Vẽ đúng dạng đồ thị : + Giao với Oy: tại điểm (0; 2,5)
+ Đồ thị có tâm đối xứng tại
điểm ( 2 ; 0)
+ Đồ thị có hai tiệm cận :
x = 2 và y = - x + 2
♦ Giải phương trình:
2
12 10
2 2 +
ư
ư
x
x x
= 0
ta tìm được các cận lấy tích phân là: - 1 và 6
Trang 4Hướng dẫn chấm thi TNTHPT năm 2003: đề chính thức
3
8 ln 16 63 )
2 ln 16 14
1
ư
=
ư
x x
Bài 3 (1, 5 điểm)
1 (1 điểm)
♦ Giả sử điểm M ở góc phần tư thứ nhất và M = (x; y) Khi đó theo đầu bài ta có
các hệ thức: các bán kính qua tiêu
1
MF = a + ex = 15,
2
MF = a - ex = 9, khoảng
cách giữa các đường chuẩn: 2
e
a
= 36 Vậy a = 12, e =
3
2
, x =
2
9
♦ Vì c = a.e = 8 và có b 2
= a 2
- c 2
= 80 nên phương trình chính tắc của elíp (E) là
1 80
2 144
2
= + y
x
(0, 75 điểm)
(0, 25 điểm)
2 (0, 5 điểm)
♦ Tiếp tuyến với elíp (E) tại điểm M(
2
9
; 2
11 5 ) là x + 11y = 32
♦ Trên elíp (E) còn 3 điểm có toạ độ là (-
2
9
; 2
11 5 ), ( 2
9
; - 2
11 5 ), (- 2
9
; - 2
11 5 ) cũng có các bán kính qua tiêu là 9 và 15 Do đó ta còn có 3 phương trình tiếp tuyến
với elíp (E) tại các điểm (tương ứng) đó là : - x + 11y = 32 , x ư 11y = 32 ,
32
11 = ư
x
(0, 25 điểm)
(0, 25 điểm)
Bài 4 (2, 5 điểm)
1 (1 điểm)
♦Theo đầu bài ta có A= (2; 4; -1), B = (1; 4; -1), C = (2; 4; 3), D = (2; 2; -1) Do đó:
AD AB AD
AB
AD AC AD
AC
AC AB AC
AB
⊥
⇒
= +
ư +
ư
=
→
→
⊥
⇒
= +
ư +
=
→
→
⊥
⇒
= + +
ư
=
→
→
0 0 0 ) 2 (
0 0 ).
1 (
0 0 4 ) 2 (
0 0 0
0 4 0 0 0 0 ).
1 (
♦ Thể tích khối tứ diện ABCD tính theo công thức
VABCD =
→
→
→
AD AC
AB, ].
[ 6
1
= 3
4 (do [AB→,AC→] = ( 0 ; 4 ; 0 ))
(0, 75 điểm)
(0,2 5 điểm)
2 (0, 75 điểm)
♦ Đường thẳng CD nằm trên mặt phẳng (ACD) mà mặt phẳng (ACD) ⊥ AB nên
đường vuông góc chung ∆ của AB và CD là đường thẳng qua A và vuông góc với CD
Vậy đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương [ , ] ( 0 ; 2 ; 1 )
2
1
ư
=
→
→
=
→
CD AB
tham số là:
+
ư
=
ư
=
=
t z
t y
x
1
2 4 2
(0, 50 điểm)
♦ Mặt phẳng (ABD) có vectơ pháp tuyến →n= [ →
AB, →
AD ] = (0; 0; 2) Vậy góc nhọn
ϕ giữa ∆ và mặt phẳng (ABD) xác định bởi biểu thức:
Trang 5Hướng dẫn chấm thi TNTHPT năm 2003: đề chính thức
4
sin ϕ =
→
→
→
→
u n
u n
.
.
5
5 5 2
2 1
) 2 ( 2
1 2 ) 2 (
0 0 0
2 2
+
ư
+
ư +
3 (0, 75 điểm)
♦ Phương trình mặt cầu (S) có dạng:
0 2
2 2 2 2
2 + y +z + ax+ by + cz+d =
x
Bốn điểm A, B, C, D nằm trên mặt cầu nên có toạ độ thoả mãn phương trình trên
Do đó các hệ số a, b, c, d là nghiệm của hệ phương trình sau:
∈
= +
ư + +
∈
= + + + +
∈
= +
ư + +
∈
= +
ư + +
) ( 0
2 4 4 9
) ( 0
6 8 4 29
) ( 0
2 8 2 18
) ( 0
2 8 4 21
S D d
c b a
S C d
c b a
S B d
c b a
S A d
c b a
Giải hệ này có a =
2
3
ư , b = -3, c = - 1, d = 7 Do đó phương trình mặt cầu (S) là:
0 7 2 6 3 2 2
2 + y + z ư xư yư z + =
♦ Mặt cầu (S) có tâm K = (
2
3
; 3; 1) và bán kính R =
2
21
; phương trình của mặt phẳng (ABD) là: z + 1 = 0 Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABD)
có dạng z + d = 0 Mặt phẳng đó là tiếp diện của mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng
cách từ tâm K đến mặt phẳng đó bằng R:
2
2 21 2
, 2
2 21 1 2
21 2 2 2
1
ư
=
ư
=
⇒
= + +
+
d d
d
Vậy có hai tiếp diện của mặt cầu (S) cần tìm là:
(α1): z +
2
2
21 ư = 0
(α2): z
2
2
21 +
Bài 5 (1 điểm)
♦ Hệ thức C y x+1:C x y+1 :C x yư1 = 6 : 5 : 2 với x và y là các số nguyên dương mà
2 ≤ y+1 ≤ x cho hệ phương trình sau:
ư
= +
+
= +
2
1 y x C 6
y 1 x C
5
1 y x C 6
y 1 x C
♦ Giải hệ:
=
=
⇔
= +
+
=
ư +
ư
+
⇔ +
ư
ư
=
ư +
+
ư
ư +
=
ư +
+
3 8 2
6 1
) 1 ( 5
1 ) 1 )(
( 6
1
)!
1 (
)!
1 ( 2
! )!
1 (
6
)!
1 (
)!
1 (
)!
1 ( 5
! )!
1 (
6
)!
1 (
x
y x
y y x y x x
y x y
x y
x
y
x
y x y
x y
x
y
x
(0, 50 điểm)
(0, 50 điểm)
- HếT -
Trang 6Bộ giáo dục và đào tạo
-
đề chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông
năm học 2003 – 2004
-
môn thi: toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1 (4 điểm) Cho hàm số 3 2
3
1
x x
y= ư có đồ thị là (C)
1 Khảo sát hàm số
2 Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3; 0)
3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các
đường y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox
Bài 2 (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
x x
3
4 sin
=
trên đoạn [0;π]
Bài 3 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp
16 25
2 2
= + y
x
có hai tiêu điểm F1, F2
1 Cho điểm M(3; m) thuộc (E), hãy viết phương trình tiếp tuyến của (E) tại M
khi m > 0
2 Cho A và B là hai điểm thuộc (E) sao cho A + BF = 8 Hãy tính A + BF
1
2
Bài 4 (2,5 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A(1; -1; 2),
B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)
1 Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng
2 Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy Hãy viết
phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’, B, C, D
3 Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A’
Bài 5 (1 điểm) Giải bất phương trình (với hai ẩn là n, k ∈ N)
2 3
5 60
! (
+ +
k n P
- hết -
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2:
Trang 7bộ giáo dục và đào tạo
hướng dẫn chấm
đề chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông
năm học 2003 – 2004
Môn thi: Toán
Bản hướng dẫn chấm có 4 trang
I Các chú ý khi chấm thi
1) Hướng dẫn chấm thi (HDCT) này nêu biểu điểm chấm thi tương ứng với đáp án dưới
đây
2) Nếu thí sinh có cách giải đúng khác với đáp án, thì người chấm cho điểm theo số
3) Việc vận dụng HDCT chi tiết tới 0,25 điểm phải thống nhất trong tất cả các tổ chấm thi môn Toán của Hội đồng
4) Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm tròn điểm môn thi theo qui định chung
II Đáp án và cách cho điểm
- Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:
3
1x x
y = ư , y ' = x2ư 2x , ;
=
=
⇔
=
2
0 0
'
x
x y
y’< 0 với ∀x∈(0 ; 2): hàm số nghịch biến trên khoảng(0 ; 2),
y’ > 0 với ∀ (2; +∞): hàm số đồng biến trên các khoảng (- ∞; 0),
(2; +∞)
(ư ∞ ; 0
∈
0, 75
b) Cực trị:
• Hàm số có hai cực trị: cực đại yCĐ = y(0) = 0, cực tiểu yCT = y(2) =
3
4
ư 0, 25
c) Giới hạn:
• →ư∞ =ư∞ →+∞y =+∞
x
y
d) Bảng biến thiên:
•
0, 25
x - ∞ 0 2 + ∞ y’ + 0 - 0 +
y
0 + ∞ CĐ CT
- ∞
3
ư 4
1
Trang 8e) Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị:
• y’’= 2x – 2, y’’ = 0 ⇔ x = 1 Ta có y(1) =
3
2
x - ∞ 1 + ∞ y’’ - 0 +
Đồ thị lồi đ uốn lõm
0, 25
- Đồ thị:
•
0, 50
2 (1,0 điểm)
• Nêu được điều kiện cần và đủ để đường thẳng d với hệ số góc k đi qua
điểm (3; 0) có phương trình y = k(x-3) tiếp xúc với (C) là hệ phương
trình sau có nghiệm
=
ư
ư
=
ư
k x x
x k x x
2
) 3 (
2
2 3 3 1
• Tìm được hai nghiệm (x; k) là: (0 ; 0) , (3 ; 3)
• Viết được hai phương trình tiếp tuyến: y = 0 , y = 3x – 9
0, 25
0, 50
0, 25
0
4 5 6 3
0
2 2
3
2 9
1 ( )
3
1
π
V
•
35
81 )
5 9 63
(
0
3 5 6
0, 25
0, 25
• Tính đúng đạo hàm của hàm số y = 2sinx sin x:
3
cosx
x 4sin cosx 2
• Tìm được các điểm tới hạn trên đoạn [0; π] : y’ = 0 ⇔ x∈ {
4
3 , 4
, 2
π π π
}
0, 25
0, 25
)
2
; 1 (
3
3 4 3 2
ư
ư
y
-1 O 1 2 3 x Vẽ đúng dạng đồ thị :
+ Giao với Oy: (0; 0) + Giao với Ox: (0; 0) , (3; 0) + Tâm đối xứng của đồ thị:
U (1; )
3
2
ư
2
Trang 9• Tính các giá trị y(0), y(π), y( )
4
3 ( , ) 4 ( , ) 2
π π
π
y y
⇒
3
2 2 ,
y
] [0;
] [0;
max min
π
1 (0,75 điểm)
• Tìm tọa độ điểm M(3; m) thuộc (E), m>0: M = (3;
5
16
)
• Viết được phương trình tiếp tuyến của (E) tại M: 1
16 5
16 25
3
=
x
5 25
3x + y =
0, 50
0, 25
• Tìm được A + AF1 F2 = BF1 + BF2 = 10
• Tính được A + B = 20 – (A + B ) = 12 F2 F1 F1 F2
0, 50
0, 25
1 (1 điểm)
• Nêu được ba vectơ →AB,AC→ ,AD→ đồng phẳng ⇔ = 0,
→
→
→
AD AC
AB, ].
[
• Tính được: AB→ = ( 0 ; 4 ; 0 ) , AC→ = ( 3 ; 4 ; 0 ) , AD→ = ( 3 ; 0 ; 0 );
[AB→,AC→] = ( 0 ; 0 ; ư 12 ) ; = 3.0 + 0.0 + 0.(-12) = 0
→
→
→
AD AC
AB, ].
[
( Ghi chú: Nếu thí sinh lập luận bốn điểm đã cho cùng nằm trên mặt phẳng
z = 2 thì chấm đạt điểm tối đa)
0,2 5
0, 75
2 (1,0 điểm)
• Nêu được A’ = (1; -1; 0), phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng:
0 2
2 2
2 2
2 + y + z + ax+ by+ cz +d =
Nêu được bốn điểm A’, B , C , D nằm trên mặt cầu (S) nên có toạ độ thoả mãn
phương trình (*) và các hệ số a, b, c, d là nghiệm của hệ phương trình :
∈
= + +
ư +
∈
= + + + +
∈
= + + + +
∈
= +
ư +
(S) D 0
d 4c 2b 8a 21
(S) C 0
d 4c 6b 8a 29
(S) B 0
d 4c 6b 2a 14
(S) A' 0
d 2b 2a 2
• Giải hệ tìm được: a =
2
5
ư , b = -1, c = - 1, d = 1; phương trình mặt cầu
(S) : x2 + y2 + z 2 ư 5xư 2y ư 2z + 1 = 0
0, 50
0, 50
3
Trang 103 (0,50 điểm)
• Tìm được tâm I = (
2
5
; 1; 1) của mặt cầu (S) và vectơ pháp tuyến
1) 2;
; 2
3 ( IA'→ = ư ư ư của tiếp diện (α)
• Viết được phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A’là:
3x + 4y + 2z +1= 0
0, 25
0, 25
• Viết được:
≤ +
ư + +
≤
⇔
≤
ư
+ +
+
60 ) 1 )(
4 )(
5 (
60
! (
2 3
5
k n n n
n k A
k n
n
• Xét với n > 4 : khẳng định bất phương trình vô nghiệm
• Xét với n ∈{0, 1, 2 , 3} tìm được các nghiệm (n; k) của bất phương trình
là:
(0; 0) , (1; 0) , (1; 1) , (2; 2) , (3; 3)
0, 50
0, 25
0, 25
- HếT -
4
Trang 11BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THễNG
NĂM HỌC 2004 - 2005
-
MễN THI: TOÁN
Bài 1 (3,5 điểm)
Cho hàm số
1 x
1 x 2 y +
+
= có đồ thị (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C)
3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1; 3)
Bài 2 (1,5 điểm)
1 Tính tích phân ∫
π
+
=2
0
2x)cosxdx sin
x (
2 Xác định tham số m để hàm số y = x3 - 3mx2 + (m2 - 1)x + 2 đạt cực đại tại điểm x = 2
Bài 3 (2 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y2 = 8x
1 Tìm toạ độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M thuộc (P) có tung độ bằng 4
3 Giả sử đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt
A, B có hoành độ tương ứng là x1, x2 Chứng minh: AB = x1 + x2 + 4
Bài 4 (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+ y2 + z2 - 2x + 2y + 4z - 3 = 0
và hai đường thẳng
⎩
⎨
⎧
=
ư
=
ư +
∆
0 z 2 x
0 2 y 2 x : )
1
z 1
y 1
1 x : ) ( 2
ư
=
=
ư
ư
1 Chứng minh ( ∆1) và ( ∆2) chéo nhau
2 Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường
thẳng( ∆1) và (∆2)
Bài 5 (1điểm)
Giải bất phương trình, ẩn n thuộc tập số tự nhiên:
2 n
n 2 n 1 n 2
2
5 C
C ư + + >
HẾT
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu
Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm
Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
Chữ ký của giỏm thị số 1: Chữ ký của giỏm thị số 2: