Đồ thị của hàm số y=f x xác định trên D là tập hợp các điểm Mx;fx trên mặt phẳng tọa độ với mọi x D.. Sự biến thiên của hàm số Cho fx xác định trên khoảng K.[r]
Trang 1Chương II
HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
§1 HÀM SỐ
I Ôn tập về hàm số
1 Hàm số:
Cho D A Hàm số f xác định trên D là một quy tắc ứng với mỗi x D là một và chỉ một số
y , kí hiệu là y= f(x) Khi đó: A
+ x gọi là biến số (hay đối số) của hàm số và y gọi là hàm số của x;
+ D gọi là tập xác định (hay miền xác định);
+ f( ) là giá trị của hàm số tại x x
2 Cách cho hàm số
+ Hàm số cho bằng bảng.
+ Hàm số cho bằng biểu đồ.
+ Hàm số cho bằng công thức: y=f( ) x
Chú ý: Khi hàm số cho bởi công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì : “ Tập xác định của hàm
số y=f( ) là tập hợp tất cả các số thực sao cho biểu thức f( ) có nghĩa” x x x
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số
a) y=f( )= x x3 b) y= 3 c) y=
2
0
y
Trang 2Đồ thị của hàm số y=f( ) xác định trên D là tập hợp các điểm M(x;f(x)) trên mặt phẳng tọa x
độ với mọi x D.
II Sự biến thiên của hàm số
Cho f(x) xác định trên khoảng K Khi đó:
f đồng biến ( tăng) trên K x 1 ;x 2 K ; x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 )
f nghịch biến ( giảm) trên K x 1 ;x 2 K ; x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 )
Bảng biến thiên: là bảng tổng kết chiều biến thiên của hàm số (xem SGK)
III Tính chẵn lẻ của hàm số
+ f gọi là chẵn trên D nếu x D x D và f( x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.
+ f gọi là lẻ trên D nếu x D x D và f( x) = f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng.
(Ban CB đến III)
* Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Oxy
Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có
Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)
Đối xứng qua trục hoành thì x không đổi y’= -y
Đối xứng qua trục tung thì y không đổi x’= - x
* Tịnh tiến điểm A(x;y) song song với trục tọa độ Oxy :
+ Lên trên q đơn vị được A 1 (x ; y+q)
+ Xuống dưới q đơn vị được A 1 (x ; y q)
+ Sang trái p đơn vị được A 1 (x p ; y)
Trang 3+ Sang phải p đơn vị được A 1 (x+p ; y)
Trang 4CÁC DẠNG BÀI TẬP
I Tìm tập xác định của hàm số
*Phương pháp
+ Để tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta tìm điều kiện để f(x) có nghĩa,tức là:
D = {xA | f(x) A }
+ Cho u(x), v(x) là các đa thức theo x , khi ta xét một số trường hợp sau :
a) Miền xác định của hàm số dạng đẳng thức : y=u(x) ; y = u(x)+v(x) ; y=| u(x) | ;
y = |u(x)|… là D = A
(không chứa căn bậc chẵn, không có phân số, chỉ có căn bậc lẻ,…)
b) Miền xác định hàm số y = là D = { x | v(x) 0 }
) (
) (
x v
x
c) Miền xác định hàm số y = u (x) là D = { x | u(x) A 0 }
d) Miền xác định hàm số y = là D = { x | u(x) > 0 }
) (
) (
x v
x
e) Miền xác định hàm số y = u(x) v(x) là
D= {xA | u(x) 0} {x A | v(x) 0} tức là nghiệm của hệ
0 ) (
0 ) (
x v
x u
VÍ DỤ : Tìm tập xác định của các hàm số sau
II Xét sự biến thiên của hàm số
* Phương pháp
+ Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x)
+ Viết D về dạng hợp của nhiều khoảng xác định ( nếu có )
+ Xét sự biến thiên của hàm số trên từng khoảng xác định K= (a;b) như sau:
Giả sử x 1 ,x 2 K, x 1 < x 2
Tính f(x 2 ) - f(x 1 )
Trang 5Lập tỉ số T =
1 2
1
2) ( ) (
x x
x f x f
Nếu T > 0 thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b)
Nếu T < 0 thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b)
VÍ DỤ:
III Xét tính chẵn lẻ của hàm số
* Phương pháp
+ Tìm tập xác định D của hàm số y =f(x)
+ Chứng minh D là tập đối xứng, tức là : x D x D
+ Tính f(-x), khi đó
Nếu f(-x) = f(x) với x D thì y =f(x) là hàm số chẵn
Nếu f(-x) = -f(x) với x D thì y = f(x) là hàm số lẻ
Nếu có một x 0 D sao f(-x 0 ) f(x 0 ) & f(-x 0 ) -f(x 0 ) thì hàm số y = f(x) không chẵn và không lẻ
VÍ DỤ:
IV Tịnh tiến đồ thị song song trục tọa độ
Cho (G) là đồ thị của y = f(x) và p;q > 0; ta có
Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) + q Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y = f(x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị y = f(x+ p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị y = f(x – p)
Trang 6BÀI TẬP §1-C2 1.1 Tìm tập xác định của các hàm số sau
x y
x
c) y= 3x2 d) y= 2x 1 x1
x
1
1
x
y
1.2 Cho hàm số y=1- x khi x 0
x khi x > 0
Tính các giá trị của hàm số đĩ tại = x 3; =0; =1 x x
1.3 Cho hàm số y=
2
0 1
x
khi x x
x x khi x
Tính giá trị của hàm số đĩ tại =5; = x x 2; = 2 x
1.4 Cho hàm số y=g( ) x 3 8
với x < 2 với x
x x
Tính các giá trị g( 3); g(0); g(1); g(2); g(9)
1.5 Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng được chỉ ra
a) y=f( )= x 2x 2 7 trên khoảng ( 4;0) và trên khoảng (3;10)
b) y=f( )= x trên khoảng ( ;7) và trên khoảng (7;+ )
7
x
x
1.6 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) y=f( )= x 2x3 b) y=f( )= x x2 2
x
Trang 7c) y=f( )=x x 3 1 d) y=3
1.7 Tìm tập xác định của các hàm số sau
x
3
x
x x
c) y= x 5 +7 x 3 d) y= 2 7
x
e) y= 4x 1 2x 1 f) y= 2 9
8 20
x
(2 1)( 3)
x
x
1.8 Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y = b) y =
1
3 2
2
x x
x
x
x
x2 2
c) y = d) y =
2 3
3
2
x x
x
1 ) 2 (
2
x
e) y =
2 3
1 2
3
x x
x
f) y =
1
1 2
2
x x x
Trang 81.9 Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi ra
a) y= 2 +3 trên x A
b) y= x 2 +10 +9 trên ( x 5;+ )
c) y= 1 trên ( 3; 2) và (2;3)
1
x
1.10 Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng đã chi ra
a) y = x 2 +4x-2 ; (- ;2) , (-2;+ )
b) y = -2x 2 +4x+1 ; (- ;1) , (1;+ )
c) y =
1
4
x ; (-1;+ )
d) y =
x
2
3
; (2;+ ) 1.11 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
c) y= x 4 +3 x 2 d) y= x4 x2 1
x
1.12 Xét tính chẵn lẻ của các số sau
a) y = x 4 -x 2 +2 b) y= -2x 3 +3x
c) y = | x+2| - |x-2| d) y = |2x+1| + |2x-1|
e) y = (x-1) 2 f) y = x 2 +2
1.13 Cho hàm số y= f(x) =
2
x
a
, với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến (tăng), nghịch biến trên các khoảng xác định của nó
1.14 Cho hàm số
1 x neáu
1 x 1 -neáu 1
) 2 ( 2 ) (
2
x
x x
f
Trang 91( )
( )
( )
có TXĐ: D1 có TXĐ: D Khi đó D=D D1 2
f x
y f x
f x
a) Tìm tập xác định của hàm số f.
b) Tính f(-1), f(0,5), f( ), f(1), f(2).
2 2
BÀI TẬP THÊM 1 Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau :
1 2
5 3
x
x
5 3
2
x x
x
2 3
2
2
x x
x
2
1
x
x y
1 ) 2 (
2
2
x x
x y
9
1 3
2
x
x
x
x
2 3
x
x x
y
i) D=[1;4]\{2;3} j) y= D=[ ;3]
) 3 )(
2 (
4 1
x x
x x
2
Bài tập 2 : Cho hàm số
1 x nếu
1 x 1 -nếu 1
) 2 ( 2 ) (
2
x
x x
f
a) Tìm tập xác định của hàm số f D=[ 1; )
b) Tính f(-1), f(0,5), f( ), f(1), f(2).
2 2
Trang 10Bài tập 3: Trong các điểm sau M(-1;6), N(1;1), P(0;1),
điểm nào thuộc đồ thị hàm số y=3x 2 -2x+1.
Bài tập 4: Trong các điểm A(-2;8), B(4;12), C(2;8), D(5;25+ 2), điểm nào thuộc đồ thị hàm số f(x)=
x 2 + x3.
Bài tập 5: Khảo sát sự biến thiên của mỗi hàm số sau và lập bảng biến thiên của nó:
a) y= x 2 +2x-2 trên mỗi khoảng (- ;-1) và (-1;+ ) T= x 2 +x 1 +2
x 1 +
y=x 2 +2x-2 + +
3 b) y= -2x 2 +4x+1 trên mỗi khoảng (- ;1) và (1;+ ) T= 2(x 1 +x 2 2)
c) y= trên mỗi khoảng (- ;3) và (3;+ ) T=
3
2
2 (x 3)(x 3)
y=
3
2
x
0
d) y= trên mỗi khoảng (- ;2) và (2;+ )
2
1
x
T=
1 (x 2)(x 2)
e) y= x 2 -6x+5 trên mỗi khoảng (- ;3) và (3;+ )
T= x 2 +x 1 6
Trang 11f) y= x 2005 +1 trên khoảng (- ;+ )
x 1 <x 2 => x12005< x22005=> f(x 1 )= x12005+1< x22005+1=f(x 2 ) đồng biến
Bài tập 6 : Dựa vào đồ thị của hàm số, hãy lập bảng biến thiên
(A)
x 2 1 +
y=-2x 2 +4x+1 + 3
1
(B)
y=1 x
0
(C)
1
Trang 12e) y= |x| chẵn f) y=(x+2) 2
g) y=x 3 +x lẻ h) y=x 2 +x+1
i) y=x|x| lẻ j) y= 1x 1x D=[ 1;1] chẵn
k) y= 1x 1x D=[ 1;1] lẻ
Bài 8 : Cho đường thẳng y=0,5x Hỏi ta sẽ được đồ thị của hàm số nào khi tịnh tiến (d):
a) Lên trên 3 đơn vị b) Xuống dưới 1 đơn vị
c) Sang phải 2 đơn vị d) Sang trái 6 đơn vị.
Bài 9: Gọi (d) là đường thẳng y= 2x=f(x) và (d’) là đường thẳng y= 2x-3 Ta có thể coi (d’) có được
là do tịnh tiến (d):
a) Lên trên hay xuống dưới bao nhiêu đơn vị?
(d’): y=2x 3= f(x) 3 b) Sang trái hay sang phải bao nhiêu đơn vị?
(d’): y=2x 3= 2(x 3)
2
Bài 10: Cho đồ thị (H) của hàm số y=
x
2
a) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số nào?
b) Tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào?
c) Tịnh tiến (H) lên trên 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến đồ thị nhận được sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào?
Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm A(-1;3), B(2;-5), C(a;b) Hãy tính tọa độ các điểm có
được khi tịnh tiến các điểm đã cho:
a) Lên trên 5 đơn vị
Trang 13b) Xuống dưới 3 đơn vị
c) Sang phải 1 đơn vị
d) Sang trái 4 đơn vị.
BÀI TẬP THÊM 2
1 Tìm tập xác định của hàm số
a)y = |x+2| - | 3x 2 -4x-3| D= A
b)y = |x2 x4| D= A
5
1
| 6 5
1
1
2
6
| 3 2
|
2
x x
x
A
x
1
x x
x
1
1 1
| 4
|
1 2
x x
x y
i) y = D=( ;3]\{ 1;1}
1
1
x x
2
1
2x 4x 4 ( 2x 2) 2
k)y = 6x2x 2x1 D=[ 1;6]
2
) 1
| (|
1 2
x x
x
A
x2 1
Trang 14>0 x
x x x
| 2
|
| 2
|
|
|
2 x x x
x
vì không có giá trị nào của x để |x 2|+|x 2 +2x|=0 Thật vậy:
nếu x 2=0 x=2 thì x 2 +2x≠ 0
2 1
5 3
x
x
A
r) y = x2 2x 1 x3 D=[3;+ )
s) y = x2 2x 1 x3 - x41 D=[4;+ )
t) y = D= \{1}
| 1
|
| 2 3
|
1
2
2 x x
vì khi x=1 thì mẫu bằng 0 (tương tự câu p)
1
|
| 2
|
| 1
1
|
|
2
2
x x
x x x
x
A
2 2
2
2 | | 1
v) y = 1|x| D=[ 1;1]
| 1
|
1
2
2 x 0 neáu x
0 x 2 -neáu x -1
2 Xét sự biến thiên của các hàm số trên các khoảng đã chỉ ra
a) y = trên T=
3 2
2
x
x
)
; 2
3 (
6 (2x 3)(2x 3)
b) y = 3x 2 -4x+1 trên (- ;2) T=3x 2 + 3x 1 4
3
c) y = trên (1;+ ) T=
1
1 3
x
2 (x 1)(x 1)
Trang 15d) y = trên (2; + ) T=
2
3
x
5 (x 2)(x 2)
e) y = | x+2| - | x-2 | trên (-2;2)
x ( 2;2) khi đó 2< x <2
x+2>0; x 2<0 y= x+2 [ (x 2)]=2x T=2 hàm số đống biến
4 Với giá trị nào của a thì các hàm số sau đồng biến,nghịch biến trên các khoảng xác định của nó
a) y = f(x) = T=
2
x
a
a
b) y = f(x) = T=
x
a 1
1 2
(a 1)
x x
5 Xét tính chẵn , lẻ của các hàm số sau
|
|
1
2 2
x
x
A
b) y = x(|x|-2) D= ; lẻA
c) y = x 2 -2|x| D= ; chẵnA
d) y = | x+3 | - | x-3 | D= ; lẻA
e) y = 2x+ | x+3 | + | x-1 | D= ; không chẵn, không lẻ A
f) y = x 7 - D= \{0} vì |x|+x 2 ≥ 0 x, dấu “=” khi x=0
2
5
|
|x x
x x
g) y = x2 x4 4+ | x+2 | D= ; chẵn vì A x2 4x 4 (x2)2 |x 2 |
h) y = D= \{0}; lẻ
| 1
|
| 1
|
| 1
|
| 1
|
x x
x x
A
i) y = 1x D=[ 1;+ ) x D x D
j) y = D= \{1} x D x D (khi x= 1)
1
|
|
3
x
x x
A
k) Định m để hàm số y = f(x) = x 2 + mx +m 2 ,x R ,là hàm chẵn
Trang 16c) sang phải 2 đơn vị rồi xuống dưới 1 đơn vị.
BÀI TẬP THÊM 3
1/ Tìm tập xác định của các hàm số sau :
1 x
3 x 4
3 x
1 x 2
4 x
1
1 x
6 x x
2
2
x
2 x
x 2 6
1 x
1
3
i/ y = x3 + j/ y =
x 4
1
1 x
k/ y = x2 4x5 l/ y x2 4.
m) y = o) y =
6 5
3
2
x
2 1 2
2
x x
) x )(
x (
p)y = ( 3 x 4 )( 3 x ) q) y =
1 2
2
) x x
(
r) y = - s) y = +
1 2
1
2
| x
|
5
2 Tìm m để tập xác định hàm số là (0 , + )
a) y = x m 2 x m 1
b) y = ĐS: a) m > 0 b) m > 4/3
1 4
3 2
m x
m x m
x
3 Định m để hàm số xác định với mọi x dương
a/ y x m 1 4x m b/ y x m 2 x m
x m
4 Xét sự biến thiên của các hàm số trên khoảng đã chỉ ra :
a/ y = x 2 4x (- , 2) ; (2, + )
b/ y = 2x 2 + 4x + 1 (- , 1) ; (1, + )
c/ y = ( 1, + )
1
x
4
Trang 17d/ y = (3, + )
x
3
2
1
x
x
f/ y = x1
1. Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số :
a/ y = 4x 3 + 3x b/ y = x 4 3x 2 1
3 x
1
2 x
1
e/ y = |1 x| + /1 + x| f/ y = |x + 2| |x 2|
g/ y = |x + 1| |x 1| h/ y = 1x + 1x
y
1 1
1 1 0
1 1
2
2
x
; x
x
;
x
; x
1
1 1 0
1
2
2
x
; x
x
;
x
; x
§2 HÀM SỐ y= ax + b
1 Hàm số bậc nhất
Hàm số dạng y = ax + b , a;b và a≠ 0 Hệ số góc là a
Tập xác định: D =
Chiều biến thiên: a > 0 hàm số đồng biến trên
a < 0 hàm số nghịch biến trên
Bảng biến thiên:
Trang 18x O
D C B
A
4
4 2
y
x O
* Cho hai đường thẳng (d):y= ax+b và (d’)= a’x+b’, ta có:
(d) song song (d’) a=a’ và b≠b’
(d) trùng (d’) a=a’ và b=b’
(d) cắt (d’) a≠a’.
(d) (d’) a.a’= 1
2 Hàm số hằng y=b
Đường thẳng y= b là đường thẳng song song hoặc trùng trục Ox và cắt Oy tại điểm có tọa
độ (0;b).
Đường thẳng x= a là đường thẳng song song hoặc trùng trục Oy và cắt Ox tại điểm có tọa
độ (a;0)
3 Hàm số bậc nhất trên từng khoảng, hàm số y= |ax+b|
Muốn vẽ đồ thị hàm số y axb ta làm như sau:
+ Vẽ hai đường thẳng y = ax + b, y = - ax – b + Xóa đi hai phần đường thẳng nằm phía dưới trục hoành
Ví dụ 1: Khảo sát vè vẻ đồ thị hàm số y= | | (Xem SGK tr.42) x
Ví dụ 2: Xét hàm số y=f(x)=
5 x 4 neáu
4 x 2 neáu
x 0 neáu
6 2
4 2 1
2 1
x x x
Đồ thị (hình)
Ví dụ 3 : Xét hàm số y=|2x-4|
Hàm số đã cho có thể viết lại như sau :
Trang 19y=
2 x neáu
2 x neáu 4 2
4 2
x x
Đồ thị (hình)
Ví dụ 4: Tìm hàm số bậc nhất y=f(x) biết đồ thị của nó đi qua 2 điểm A(0 ; 4) , B (-1;2).Vẽ đồ thị và
lập bảng biến thiên của hàm số y g x ( ) f x ( ) .
Giải
Hàm số bậc nhất có dạng y ax b a , 0.
Đồ thị hàm số qua điểm A , B 4 2
Vẽ đồ thị hàm g x ( ) 2 x 4 , ta vẽ đồ thị hai hàm số
2 x neáu
2 x neáu 4
2
4
2
x
x
y trên cùng 1 hệ trục tọa độ, rồi bỏ đi phần phía trên trục Ox.
Vẽ đồ thị hàm g x ( ) 2 x 4
x
y o -2
-4
Bảng biến thiên.
g(x)
-2
0
Trang 20BÀI TẬP §2-C2
2.1 Vẽ đồ thị các hàm số sau
a) y= 2 +1 x b) y= 3 c) y= 2
7
3x
2
3
x
3
5 x
2.2 Vẽ đồ thị các hàm số sau:
với x>2 với x
x
1 1 2
với x với x<1
x y
x
e) g) y= | | x 2
2.3 Xác định a, b để đồ thị của hàm số y= ax+b, biết:
a) Đi qua M( 1;3) và N(1;2);
b) Đi qua M(2;3) và song song y=3x 2 ;
c) Đi qua A( ;2 2) và B(0;1);
3
d) Đi qua C( 1; 2) và D(99; 2);
e) Đi qua P(4;2) và Q(1;1).
2.4 Viết phương trình đường thẳng ứng với các hình sau:
0
3
2
5 2
1