Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng... Chú ý: Hai đường thẳng song song với nhau thì VTCP của đường thẳng này c[r]
Trang 1A LÝ THUYẾT
Vectơ chỉ phương (vtcp) và vectơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng
Vectơ u0 được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của song song u
hoặc trùng với d u ( )d
Vectơ n0 được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng d nếu giá của vuông góc n
Mối quan hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương:
n u n u 0
Nếu đường thẳng d có vtpt n a b;
thì d có vtcp là u b a; hoặc u b a;
Các dạng phương trình của đường thẳng
Phương trình tham số (PTTS) của đường thẳng
Đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vtcp u(u1;u2) là ( 2 0)
2
2 1 2 0
1
u u tu y y
tu x x
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG
MẶT PHẲNG Oxy
Tóm tắt nội dung:
A.Lý thuyết
B.Các dạng bài tập và ví dụ minh họa
C.Bài tập tự luyện
D.Bài tập dành cho học sinh khá, giỏi
Trang 2Chú ý
Khi cho t một giá trị cụ thể ta sẽ tìm được một điểm thuộc đường thẳng (d)
Nếu d có vtcp uu u1; 2 thì (d) có hệ số góc là 2
1 1
0
u
u
Nếu đường thẳng (d) có hệ số góc là k thì (d) có vtcp là u (1; )k
Phương trình đường thẳng (d) đi qua M0(x0 ; y0) và có hệ số góc k là:
– y y0 k x – x0
Phương trình chính tắc (PTCT) của đường thẳng:
2
2 1 2 0
1
u u tu y y
tu x
x x y y
u10 u2 0
Phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng
Đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vtpt n(a;b)là: a x x – 0 b y y– 00
Chú ý:
Phương trình ax + by + c = 0 (d) có vtpt là: n(a;b) và vtcp là: a( b; -a )
Muốn tìm một điểm thuộc d thì chỉ cần cho x một giá trị cụ thể và thế vào pt của d
sẽ tìm được y và ngược lại (cho y tìm x)
Đường thẳng (d) cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a ; 0) và B(0 ; b)
Và có phương trình theo đoạn chắn là: 1 (a,b0)
b
y a x
Cho (d) : ax + by + c = 0
Nếu ( ) song song với (d) thì phương trình ( ) là ax + by + m = 0 (m khác c) Nếu ( ) ( d) thì phươnh trình ( ) là : bx - ay + m = 0
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
0 :
0 :
2 2 2 2
1 1 1 1
c y b x a
c y b x a
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng và1 2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình
(I)
0
0
2 2 2
1 1 1
c y b x a
c y b x a
Nếu (I) có một nghiệm thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm
Nếu (I) vô nghiệm thì hai đường thẳng song song với nhau
Nếu (I) vô số nghiệm thì hai đường thẳng nằm trên nhau (trùng nhau)
Trang 3 Chú ý
Với a b c2, ,2 2 0ta có
2 2
/ / a b c
1 2
Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng và1 2:
2 2
2 1
2 2
2 1
2 1 2 1 2
1
2 1 2 1 2
1
|
|
|
||
|
|
| ) , cos(
) ,
cos(
b b a a
b b a a n
n
n n n
n
Khoảnh cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm M0(x0 ; y0) đến : ax + by + c = 0 là: d(M 0, ) =
2 2 0
|
b a
c by ax
Điểm thuộc đường thẳng
0
0
M ( ; )x y :ax by c 0 a x b y c 0
Trang 4B.CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng toán 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương.
Đường thẳng (d) đi qua một điểm M x y( ; )0 0 và có vectơ chỉ phương u( ; )a b có dạng :
Tham số: 0
0
: x x at ( )
y y bt
Chính tắc: ( Nếu a.b ≠ 0)
x x y y
Tổng quát: b x x ( 0) a y y ( 0) 0 hoặc b x x ( 0) a y y ( 0) 0
Chú ý: Nếu (d) có vtcp u ( ; )a b thì d có vtpt n ( ;b a ) hoặc n ( ; )b a
ví dụ: Viết phương trình của đường thẳng biết nó đi qua M1; 2 và có vtcp u2; 1 Hướng dẫn
Đường thẳng ( ) đi qua điểm M(1;-3) và có vtcp u 2; 1 có:
Phương trình tham số của 1 2 ( )
3
t R
Phương trình chính tắc của là: 1 3
x y
Phương trình tổng quát của là: 1.(x 1) 2(y 3) 0 x 2y 5 0
D ạng toán 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng (d) đi qua một điểm M x y( ; )0 0 và có vectơ pháp tuyến n( ; )A B có dạng :
0
:
x x Bt d
y y At t R
0
x x Bt
y y At t R
x x y y
x x y y
Tổng quát: A x x ( 0) B y y ( 0) 0 Ax By C 0
Chú ý:
Nếu d có vtpt n ( ; )A B thì d có vtcp u( ;B A ) hoặc u ( B A; )
Nếu d có vtpt n ( ; )A B thì d có PTTQ có dạng: Ax By m 0
Trang 5 Ví dụ: Viết phương trình của đường thẳng biết nó đi qua N 3; 2 và có vtpt n 3;7 Hướng dẫn
có véc tơ pháp tuyến: có véc tơ chỉ phương là
: 3; 2 có phương trình tham số là:
7;3
qua N
vtcp u
3 7
2 3
: 3; 2 có phương trình chính tắc của là:
7;3
qua N
vtcp u
x y
có phương trình tổng quát là:
3; 2 :
3;7
qua N
vtpt n
D ạng toán 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc
Đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k là: y y 0 k x x( 0)
Chú ý: Nếu (d) có hệ số góc k thì (d) có dạng: y = k.x + m (k ≠ 0, m R, k R)
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(-5; -8) và có hệ số góc bằng -3
Hướng dẫn
phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(-5; -8) và có hệ số góc bằng -3 có dạng là:
y 8 3(x 5) y 3x 23
Nhận xét: Ta có thể viết phương trình đường thẳng này dưới dạng PTTS hoặc PTTQ
Hướng dấn: Vì có hệ số góc k 3 nên có vtcp là u1; 3 rồi viết PTTS hoặc PTTQ
Dạng toán 4: Viết PTĐT (d) đi qua hai điểm phân biệt A(x y1; 1 ) và B(x y2; 2 )
Tính toạ độ vecto AB
Khi đó AB cũng chính là một vtcp của đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A và B
Trở lại bài toán dạng: viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm (A hoặc B) và có vtcp ( AB)
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua hai điểm phân biệt M 4;1 ,N 4; 2
Hướng dẫn
Vì qua điểm M 4;1 ,N 4; 2 nên có vtcp là MN 0;1
: 4;1 nên có phương trình tham số là:
0;1
qua M
vtcp MN
4 1
x
Trang 6 Chú ý: qua M 4;1 ;N 4; 2 nên có vtcp là MN hoặc NM; khi viết ptts thì đi qua điểm M hoặc điểm N đều được
D ạng toán 5:Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và song song với
một đường thẳng (d’) cho trước có dạng là: Ax By C 0
Cách 1:
Dựa vào giả thuyết để tìm vtpt n ( ; ) A B (hoặc vtcp u ( B A ; ) ) của đường thẳng (d)
Viết PTTS của (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có vectơ chỉ phương u
Hoặc viết PTTQ của (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có vectơ pháp tuyến n
Cách 2:
Vì (d) // (d’) nên (d) có dạng: Ax By m 0(*)
Vì M0(x0;y0) (d) thay toạ độ điểm M vào (*) và tính được m
Thay giá trị của m vừa tìm vào (*) ta được phương trình đường thẳng (d) cần tìm
Chú ý: Hai đường thẳng song song với nhau thì
VTCP của đường thẳng này cũng chính là VTCP của đường thẳng kia
VTPT của đường thẳng này cũng chính là VTPT của đường thẳng kia
Ví dụ: Viết PTĐT ( ∆) đi qua một điểm Q (2;1) và song song với đường thẳng (d) :
2x y 5 0
Hướng dẫn
Cách 1:
d có vtpt là n 2;1
song song với (d) nên có vtpt là: n 2;1 có vtcp là:u 1; 2
: 2;1 nên có ptts là:
1; 2
qua Q
vtcp u
2
1 2
Cách 2:
Vì (∆) // (d) nên (∆) có dạng: 2 x y m 0(*)
Mặt khác Q (2;1) (∆) nên 2.2 + 1+m = 0 m= -5
Vậy PTĐT (∆) cần tìm có dạng là: 2 x y 5 0
Trang 7 D ạng toán 6: Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua một điểm M0(x0;y0) và vuông với một đường thẳng ∆ cho trước có dạng là: Ax By C 0
Cách 1:
Dựa vào giả thuyết để tìm vtpt n ( ; ) A B (hoặc vtcp u ( B A ; ) ) của đường thẳng (d)
Viết PTTS của (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có vectơ chỉ phương u
Hoặc viết PTTQ của (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có vectơ pháp tuyến n
Cách 2:
Vì d nên phương trình (d) có dạng: Bx Ay m 0(hoặc Bx Ay m 0) (*)
Vì M0(x0;y0) (d) thay toạ độ điểm M vào (*) và tính được m
Thay giá trị của m vừa tìm vào (*) ta được phương trình đường thẳng (d) cần tìm
Chú ý :
Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì: vtcp (vtpt) của đường thẳng này chính là vtpt (vtcp) của đường thẳng kia
Nếu d vuông với một đường thẳng : y = kx + m thì đường thẳng d có phương
trình dạng:y 1x n (Vì hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc
k
bằng -1)
Ví dụ: Viết PTĐT( d) đi qua một điểm P (-1;1) vuông góc với đường thẳng (∆): 2 x3y 1 0
Hướng dẫn
Cách 1:
có vtpt là n2; 3
(d) vuông góc với đường thẳng nên d có vtcp là: u2; 3
nên có PTTS là:
: 1;1
2; 3
qua P
d
vtcp u
1 2
1 3
Cách 2:
Vì (d) (∆) nên (d) có dạng: 3 x 2 y m 0(*)
Mặt khác P (-1;1) (d) nên 3.(-1) + 2.1+m = 0 m= 1
Vậy PTĐT (∆) cần tìm có dạng là: 3 x 2 y 1 0
Trang 8 D ạng toán 7: Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua một điểm M0(x0;y0) và tạo với đường thẳng ∆ một góc cho trước (Bài toán liên quan đến góc)
Gọi phương trình đường thẳng (d) đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k có dạng là:
0 0 0 0
y y k x x( ) kx y y kx 0 2
Sau đó áp dụng công thứ tính góc giữa hai đường thẳng d và ∆ từ đó suy ra giá trị k cần tìm
Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta được PTĐT (d)
Ví dụ: Cho đường thẳng (∆) : 3x-2y+1=0 Viết PTĐT (d) đi qua điểm M (1;2) và tạo với (∆) một
góc 450
Hướng dẫn
PTĐT (d) được viết dưới dạng: y – 2 = k ( x-1) kx – y +2 – k = 0
Vì (d) hợp với (∆) một góc 450 nên: 0 | 3 ( 1).( 2) |
cos 45
2 1 32 ( 2)2
k k
2 | 3 2 |
2
k k
2
2 9 12 4
2
4 13.( 1)
k
5k2 24k 5 0
1 5 5
k k
Vậy phương trình (d) là: 1 1
5 x y 5 x 5 y 9 0
hay 5 x y 2 ( 5) 0 5 x y 7 0
Trang 9 Dạng toán 8: Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M0(x0;y0) và cách điểm (N( ; ) x y1 1
một khoảng bằng a (Bài toán liên quan đến khoảng cách)
Gọi phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k có dạng là:
0 0
y y k x x( ) kx y y 0 kx0 0 2
Áp dụng công thức: d(N,∆)=a Từ đó suy ra giá trị k cần tìm
Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta được PTĐT (∆)
Ví dụ 1: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(2;7) và cách N(1;2) một khoảng bằng 1.
Hướng dẫn
PTĐT (∆) đi qua điểm M(2; 7) và có hệ số góc k có dạng là:
7 ( 2)
y k x kx y 7 2 k 0
Vì (∆) cách N(1;2) một khoảng bằng 1 nên:
Ta có: d(N, ∆) =1
12
2 10 25 2 1
5
Vậy phương trình (∆) là: 12 12
7 2 0
5 x y 5 12 x 5 y 11 0
Ví dụ 2: Cho đường thẳng có ptts: d 2 2 ; Tìm điểm sao cho khoảng cách
3
t R
từ M đến điểm A(0;1) một khoảng bằng 5
Hướng dẫn
Điểm ( 2 nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình của d
3
GọiM(2 2 ;3 t t) d
Ta có:uuurAM (2 2 ; 2 t t)
Trang 10 Theo giả thiết: uuuurAM 5 (2 2 ) t 2 (2 t)2 5(2 2 ) t 2 (2 t)2 25
2
1
5
t
t
Vậy có 2 điểm M thỏa ycbt M1(4; 4) và 2( 24; 2)
Dạng toán 9: Viết phương trình đường thẳng d1 đối xứng với đường thẳng d qua điểm I
Lấy một điểm A thuộc d ; gọi A’ là điểm đối xứng của A qua I (tức I là trung điểm của AA’)
Viết pt của đường thẳng d1 đi qua điểm A’ và song song với d
Ví dụ: Cho điểm I 1;1 và đường thẳng d :x2y 2 0 Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d1 đối xứng với đường thẳng d qua điểm I.
Hướng dẫn
Lấy điểmA 0;1 d ; gọi A là điểm đối xứng với A qua I suy ra A 2;1
(với I là trung điểm của AA’)
Vì d1 / / d nên phương trình ( ) có dạng: d1 x2y c 0
d1 đi qua A 2;1 nên: 2 2.1 c 0 c 0
Vậy PTTQ của d1 là x2y0
Dạng toán 10:Tìm hình chiếu của điểm A xuống đường thẳng ∆ (Tìm tọa độ điểm H sao cho MH ngắn nhất); tìm điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng ∆
Cách 1:
Viết pt đường thẳng d đi qua A và vuông góc với ∆
Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ Khi đóH d
A là điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H là trung điểm của A AA
Cách 2: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tham số: 0 1
0 2
x x u t
y y u t
Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ thì H H x 0u t y1; 0u t2 tọa độ AH
Do AH nên AH u AH u 0 tọa độ H
t
A là điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H là trung điểm của A AA
A
d I
Trang 11Cách 3: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tổng quát: ax by c 0
Gọi H x y H; H là hình chiếu của điểm A trên ∆
AH
H ax H by H c 0
AH AH x H x y A; H y A cùng phương với n a b;
Do đó: b x H x A a y H y A0 (2)Giải (1) và (2) ta được tọa độ điểm H
Ví dụ: Cho đường thẳng :x2y 4 0 và điểm A 4;1
a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên
b) Tìm điểm A là điểm đối xứng của qua A
Hướng dẫn
a) Tọa độ hình chiếu của A trên
Gọi H là hình chiếu của A trên
Đường thẳng AH pt AH có dạng: 2x y c 0
AH đi qua A nên: 2.4 1 c 0 c 9
Vậy phương trình AH là 2x y 9 0
Tọa độ H là nghiệm hệ:
14
5
x
x y
x y
y
14 17
;
5 5
H
b) Tọa độ điểm A đối xứng của quaA
A là điểm đối xứng của qua A H là trung điểm của AA
8 5 2
29 5
8 29
;
2
5 5
A A
A H
A A
A H
x x
x x
y y
y y
A
Trang 12 Dạng toán 11: Viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ( )
Để giải các bài toán này, trước tiên ta nên xét chúng cắt nhau hay song song
Nếu (d)// ( )
Lấy A (d) Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua ( )
Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A’ và song song với (d)
Nếu (d) cắt ( ) tại điểm I
Lấy A (d) (A≠I) Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua ( )
Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A’ và I.
Ví dụ: Cho hai đường thẳng (d1) : x y 1 0 và ( ) : d2 x 3 y 3 0 Lập phương trình đường thẳng d3 đối xứng với (d1) qua (d2)
Hướng dẫn
Xét (d1) và (d2) , Ta có: 1 1 Vậy ( ) cắt ( ) tại điểm I
1 3
d1 d2
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ -1 0 => I(0;1)
3 3 0
x y
x y
Lấy A(1;0) (d 1)
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (d2) nên A’ 1 12 (tìm tọa độ A’ dựa vào dạng 10)
;
5 5
Vậy phương trình của d3 là phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm I và A’
d3 : 7 x y 1 0
Dạng toán 12: Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng (d1) và (d2) Với: (d1) :A x B y C1 1 1 0và (d2): A x B y C2 2 2 0
Tính tích vô hướng của 2 vecto n n 1, 2 lần lượt là vtpt của (d1) , (d2)
Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi (d1) và (d2):
' ' ' '
Ax By C A x B y C
Khi đó: tồn tại 2 đường phân giác vuông góc với nhau của góc tạo bởi (d1) và (d2):
Ax By C A x B y C Ax By C A x B y C
Trang 13 Tùy theo yêu cầu bài toán ta phải biết cách phân biệt đường phân giác góc nhọn, góc tù, đường phân giác trong, ngoài của tam giác để suy ra PTĐT mà ta cần tìm Dựa vào bảng sau:
1. 2
n n Phương trình phân giác góc nhọn Phương trình phân giác góc tù
Chú ý 1: Vị trí tương đối của hai điểm đối với đường thẳng:
Cho đường thẳng d: ax by c 0 và 2 điểm A x y( ;A A), ( ;B x y B B)
Đặt T A ax Aby Ac T, B ax B by Bc khi đó nếu:
T T A B ax Aby Ac ax B by Bc0 thì A, B cùng phía đối với đường thẳng d
T T A B ax Aby Ac ax B by Bc0 thì A, B khác phía đối với đường thẳng d
Chú ý 2:
Nếu phương trình đường thẳng cho dưới dạng tham số, chính tắc thì ta trước hết phải đưa về dạng tổng quát
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia
Ví dụ 1: Cho đường thẳng :d x3y 6 0; : 3d x y 2 0
a) Chứng minh d cắt d’
b) Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’
Hướng dẫn
a) Vì: 1 3 nên d cắt d’
3 1 b) Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:
4 01 0
x y
x y