Bài giảng Toán cao cấp - Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

Do đó để vẽ đồ thị của hàm tuần hoàn, ta chỉ cần vẽ đồ thị trong một chu kỳ cơ bản T , sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến theo các vectơ song song với trục hoành và có độ d[r]

Nội dung

Trên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thống hóa và nâng cao các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tục của hàm số

Hướng dẫn học

 Đây là bài học nhằm ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học đã học trong chương trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số, giới hạn

 Sau khi đọc kỹ lý thuyết bạn cần làm bài tập càng nhiều càng tốt để củng cố và nâng cao kiến thức

BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Bạn nên học và làm bài tập của bài này

trong hai tuần, mỗi tuần khoảng 3 đến 4

giờ đồng hồ

 Hiểu được khái niệm hàm số, giới hạn, sự liên tục

 Giải được các bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tục

 Áp dụng phần mềm toán để tính toán với hàm số, giới hạn

1.1 Hàm số một biến số

Cho X là tập hợp khác rỗng của  Ta gọi ánh xạ

 

f : X









là hàm số một biến số trên tập hợp X , trong đó x là biến số độc lập, y là đại lượng

phụ thuộc hay hàm số của x Tập hợp X gọi là miền xác định của hàm số f Tập hợp f (X) {y , y f (x) : x X}  gọi là miền giá trị của f Nếu hàm số một biến số cho trong dạng biểu thức: y f (x) mà không nói gì thêm thì

ta hiểu miền xác định của hàm số là tập hợp những giá trị thực của biến số x làm cho biểu thức có nghĩa

Ví dụ 1:

Biểu thức y 1 x 2 xác định khi :

2

1 x  0 x 1    1 x 1

Do đó miền xác định của hàm số y 1 x 2 là 1,1

Dễ dàng thấy rằng miền giá trị của hàm y là [0,1]

Miền xác định của một hàm số có thể gồm nhiều tập con rời nhau, trên mỗi tập con đó lại có một quy tắc riêng để xác định giá trị của hàm số Hàm số có thể được xác định bởi nhiều công thức khác nhau tùy thuộc vào giá trị của biến

Ví dụ 2:

2

f (x)

1 2x khi x 0

 Hàm f (x) là một hàm số xác định trên  Nếu x không âm thì giá trị của hàm số được tính theo công thức: f (x) x 2 Nếu 1 x âm, giá trị của hàm số được tính bởi:

f (x) 1 2x. 

Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định là X  Ứng với mỗi giá trị x0 ta có X giá trị y0f (x )0 của hàm số Trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc, xét điểm

M (x , y ) Khi x thay đổi và “quét” hết tập xác định X thì 0 M cũng thay đổi 0 theo và vạch nên một đường cong trong mặt phẳng tọa độOxy Đường cong này được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x)

Như vậy, đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp những điểm trong mặt phẳng có tọa

độM x; y , ở đó y = f(x), x thuộc miền xác định X

Ví dụ 3:

Đồ thị của hàm số

2

3 khi x 1 2









được biểu diễn như sau:

Hình 1.1

Việc vẽ phác họa đồ thị của hàm số f với miền xác định là một khoảng số thực thường được xác định theo trình tự như sau:

Lấy các số x , x , , x từ miền xác định 1 2 n của hàm số (càng nhiều điểm và các điểm càng gần nhau càng tốt)

 Tính các giá trị tương ứng của hàm số

y f (x ), , y f (x )

 Xác định các điểm

 M1(x , y ), , M1 1 n (x , y )n n

 Nối các điểm đã xác định nói trên ta có hình ảnh phác họa của đồ thị hàm số

Cách vẽ như trên không hoàn toàn chính xác

mà chỉ cho hình dáng của đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số được dùng để minh họa các đặc trưng cơ bản, sự phụ thuộc của giá trị của hàm số và biến số Nhìn vào đồ thị có thể dễ dàng quan sát xu hướng thay đổi của giá trị hàm số khi biến độc lập thay đổi

1.1.3.1 Hàm số đơn điệu

Hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b)

 Được gọi là đơn điệu tăng trong khoảng (a, b) nếu với mọi x , x1 2(a, b), x1x2 kéo theo: f (x ) f (x )1  2

CHÚ Ý:

Đồ thị của hàm số có thể là tập hợp các điểm rời rạc, cũng có thể gồm một số cung liền

Hình 1.2

y

x

(Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức, tức là:

x , x (a, b), x x f (x ) f (x )

thì ta nói hàm f tăng ngặt (hay đồng biến) trên (a, b) )

 Được gọi là đơn điệu giảm trong khoảng (a, b) nếu với mọi x , x1 2(a, b), x1x2 kéo theo: f (x ) f (x )1  2

(Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức:

x , x (a, b), x x f (x ) f (x )

thì ta nói hàm f giảm ngặt (hay nghịch biến) trên (a, b))

Hàm số f được gọi là đơn điệu trên (a, b) nếu nó chỉ đơn điệu tăng hoặc chỉ đơn điệu giảm trong khoảng này

Đồ thị của hàm số tăng là một đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số giảm là đường “đi xuống” nếu nhìn từ trái sang phải

1.1.3.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Hàm số f xác định trên một tập hợp D đối xứng x D   x D, chẳng hạn khoảng

( l,l) , đoạn a,a, tập ( b, a) (a, b)(0 a b)     ,…

 Được gọi là hàm chẵn nếu: f (x) f ( x)  với mọi x D Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì y vẫn không thay đổi

 Được gọi là hàm lẻ nếu: f (x)   với mọi x Df ( x)  Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì y cũng đổi dấu

Ví dụ 4:

Các hàm số f (x) x , g(x) cos x 2  là các hàm chẵn trên  vì:

f ( x) ( x) x f (x)

x g( x) cos( x) cos x g(x)





còn hàm số h(x) x , k(x) sin x 3  là các hàm lẻ trên  vì:

x k( x) sin( x) sin x k(x)





Đồ thị của hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, còn đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa

độ O làm tâm đối xứng (hình 1.4)

Hàm chẵn:

Hàm lẻ:

1.1.3.3 Hàm số tuần hoàn

Định nghĩa:

Hàm số f được gọi là tuần hoàn trên miền xác định D (thông thường xét D  ) nếu

tồn tại số thực p 0 sao cho:

x D thì x p D và f (x p) f (x)

Số p gọi là chu kỳ của hàm f Nếu trong các số p nói trên, tồn tại một số dương nhỏ nhất – ký hiệu bởi T – thì T được gọi là chu kỳ cơ bản của f

Ví dụ 5:

Các hàm sin x,cos x đều tuần hoàn với chu kỳ 2 vì:

sin(x 2 ) sin x,cos(x 2 ) cos x x        

Các hàm tgx,cotgx đều tuần hoàn với chu kỳ  vì:

2



Hơn nữa các chu kỳ nói trên đều là các chu kỳ cơ bản Thật vậy, chẳng hạn xem xét hàm y sin x , giả sử tồn tại số dương T 2  để:

sin x T s inx x   Khi đó với x 0 ta phải có:

sin T sin 0 0     T k (k )

mà T 2  nên T   Khi đó với x

2



     

   , hay 1  1

Về mặt hình học, đồ thị của hàm tuần hoàn là một họ đường lặp đi lặp lại trong từng khoảng có độ dài bằng chu kỳ Do đó để vẽ đồ thị của hàm tuần hoàn, ta chỉ cần vẽ đồ thị trong một chu kỳ cơ bản T , sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến theo các vectơ song song với trục hoành và có độ dài bằng T

Hình 1.5: Đồ thị hàm số y = tgx

Giả sử ta có hai hàm số

y f (u) biểu diễn sự phụ thuộc của y theo u

u (x) biểu diễn sự phục thuộc của u theo x Thêm vào đó, khi x thay đổi trong miền X , các giá trị của hàm số u (x) luôn thuộc vào miền xác định của hàm y f (u) Khi đó mỗi giá trị của biến x được cho tương ứng với duy nhất một giá trị của biến y theo quy tắc:

x u  , hay y y f ( (x))  Hàm số g biến x thành y theo quy tắc trên gọi là (hàm số) hợp của hai hàm f và 

Ký hiệu: g f ( (x))  (Nhớ rằng trong cách ký hiệu trên, hàm nào đứng sau lại có tác động trước đến biến x)

Ví dụ 6:

Hàm số y sin x 5 là hàm hợp của hai hàm y u 5 và u sin x Cách nói sau cũng được chấp nhận:

“Hàm số g(x) sin x 5 là hàm hợp của hai hàm f (x) x 5 và (x) sin x  ”

Xét hàm số y f (x) có miền xác định X, miền giá trị Y f (X) Nếu với mỗi y0 Y tồn tại duy nhất x0 để X f (x ) y0  0(hay phương trình f (x) y 0 có nghiệm duy nhất trong X) thì quy tắc biến mỗi số y Y thành nghiệm duy nhất của phương trình

f (x) y là một hàm số đi từ Y đến X gọi là hàm ngược của hàm f, ký hiệu f 1

1

f (y) x  f (x) y. Khi đó, dễ dàng thấy rằng f là hàm ngược của f1

Ví dụ 7:

 Hàm số y x 3 ( ) có hàm ngược là hàm số x3 y( ) vì:

y x  x y

 Hàm số y a x a 0, a 1  (  ) có hàm ngược là hàm số * x log y a ( +

* 

  ) vì:

x

a

y a  x log x

 Các hàm lượng giác quen thuộc đều có hàm ngược với cùng một cách ký hiệu:

2 2

   

  có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược

đó là:

2 2

      

o Hàm số y cos x   0,  [ 1,1] có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược

đó là:

x arccos y [ 1,1]  0, 

o Hàm số y tgx ,

2 2

  

  có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: 

x arctgy ,

2 2

o Hàm số y cotgx   0,   có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: 

 

x arccotgy  0.  0, 

1.1.6.1 Các hàm số sơ cấp cơ bản

 Hàm lũy thừa y x (     ) Miền xác định (MXĐ) của hàm phụ thuộc vào số 

o Nếu   , MXĐ là 0 

o Nếu  nguyên âm MXĐ là \{0}

o Nếu 1, p *

p

    thì MXĐ là  nếu 

p chẵn và  nếu p lẻ

o Nếu  vô tỷ, MXĐ được quy ước là  

 Hàm mũ: f (x) a (0 a 1) x  

MXĐ:  , MGT:  ; Hàm số đồng biến nếu a 1*  và nghịch biến nếu 0 a 1 

 Hàm số lôgarit: f (x) log x a ( 0 a 1  )

o MXĐ:  , MGT:  ; Hàm số đồng biến nếu a 1*  và nghịch biến nếu

0 a 1 

 Hàm lượng giác

Hình 1.7: Đồ thị hàm số y  x 3

CHÚ Ý :

 Đồ thị của hai hàm ngược nhau không thay đổi như khi đổi vai trò x,y cho nhau thì nó đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

Thật vậy, gọi (C) và (C’) lần lượt là đồ thị

định nghĩa:

Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit

o y sin x : Có MXĐ là  , MGT [ 1,1] ; cho tương ứng mỗi số thực x với tung độ điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác Hàm sin là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ

cơ bản 2

o y cos x : Có MXĐ là  ,

MGT [ 1,1] ; cho tương ứng mỗi số thực x với hoành độ điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác

Hàm cos là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 2

o y tgx : Có MXĐ là

\ (2k+1) , k

2



MGT ; cho tương ứng mỗi

số thực x với tung độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục tan là đường thẳng có phương trình: x 1

Hàm tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 

o y  cotgx: Có MXĐ là \ k , k   , MGT  ; cho tương ứng mỗi số thực x

với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục cotg là đường thẳng có phương trìnhy 1 Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 

Hình 1.8: Quy tắc xác định các hàm lượng giác

Hình 1.9: Đồ thị các hàm số lượng giác

 Hàm lượng giác ngược

o y arcsin x : Có MXĐ là [ 1,1] , MGT ,

2 2

 

  là hàm ngược của hàm sin Hàm y arcsin x là hàm lẻ, đồng biến

o y arccos x : Có MXĐ là [ 1,1] , MGT  0, là hàm ngược của hàm cos

o Hàm y arccos x là hàm nghịch biến

o y arctgx : Có MXĐ là  , MGT ,

2 2

 

  là hàm ngược của hàm tg Hàm y arctgx là hàm lẻ, đồng biến

o y arccotgx : Có MXĐ là  , MGT ,

2 2

 

  là hàm ngược của hàm cotgx Hàm y arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến

Hình 1.10: Đồ thị các hàm lượng giác ngược

1.1.6.2 Định nghĩa

Hàm số sơ cấp là một hàm số được thành lập từ các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hằng cùng với một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) và các phép toán lấy hàm hợp

Ví dụ 8:

Các hàm số sau đều là các hàm sơ cấp:

 Hàm bậc nhất: y ax b 