Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHK.. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC..[r]
Trang 1Sở GD&ĐT hng yên
Trờng THPT minh châu
đề thi khảo sát ban khTN lần 1
Năm học 2010 – 2011 Môn: Toán – Khối 12 Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề )
Cõu I: ( 2.5 điểm )
Cho hàm số y =
2
x x
1) Khảo sỏt vẽ đồ thị C
của hàm số:
2) Một đường thẳng d cú hệ số gúc k = -1 đi qua M( O,m) Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị C tại 2 điểm phõn biệt A và B cho sao độ dài AB bằng 2 6
Cõu II: ( 2,0 điểm )
1 Giải phương trỡnh : (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0
2 Giải hệ phơng trình:
1 3
Cõu III: ( 1,0 điểm ) Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số : y x 2 x2
Cõu IV:(2.5 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, mặt bờn
SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy.Gọi H là trung điểm của AB và M là điểm di
động trên đờng thẳng BC
1) Chứng minh rằng SH (ABCD) và tính thể tích khối chúp S.ABCD theo a.
2) Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của S trên DM
3) Đặt CM=x.Tính khoảng cách từ S đến DM theo a và x
Cõu V (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, choABC cú đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2x y 1 0 và phõn giỏc trong CD: x y 1 0 Viết phương trỡnh đường thẳng BC.
Cõu VI(1,0 điểm) Cho x0,y0 thỏa món x y 1 3xy Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức
2 2
M
Hết -Thí sinh khụng được sử dụng tài liệu Cỏn bộ coi thi khụng giải thích gỡ thờm
Họ và tờn thí sinh : ………Số bỏo danh : ………… …
Trang 2IV
(1,0
điểm)
Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z 3 Chứng minh rằng:
3 xy √625 z4
+ 4 + 5 zx √81 y4 +4 +15 yz√x4 +4 45√5 xyz
Bất đẳng thức
⇔ √x2+ 4
x2 +
√9 y2+ 4
9 y2 +
√25 z2+ 4
25 z2 √45
VT
2
x+
2
3 y+
2
5 z
¿
x+3 y +5 z¿2+ ¿
¿
√ ¿
x 3 y 5 z
.√3¿2
¿
x 3 y 5 z¿2
¿
¿
3
√ ¿
9 ¿
√ ¿
0,25
Đặt t = x 3 y 5 z¿2
¿
3
√ ¿
ta có √3(x 3 y 5 z)≤(x+3 y +5 z3 )3=1 do đó t 1 0,25
Điều kiện 0 < t 1 Xét hàm số f(t)= 9 t + 36
t
=45 0,25
Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y= 1
3 ; z=
1
5 0,25
Tỡm m để hệ phương trỡnh:
2/
3 3 2 0 (1)
Điều kiện:
2 2
y
y y
Đặt t = x + 1 t[0; 2]; ta cú (1) t3 3t2 = y3 3y2
Hàm số f(u) = u3 3u2 nghịch biến trờn đoạn [0; 2] nờn:
(1) t = y y = x + 1 (2) x2 2 1 x2 m0
Đặt v 1 x2 v[0; 1] (2) v2 + 2v 1 = m.
Trang 3Hàm số g(v) = v2 + 2v 1 đạt min ( )0;1 1; m0;1 ( ) 2
[ ] g v [ ax] g v
Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm khi và chỉ khi 1 m 2
Giải hệ phơng trình:
¿
x4−4 x2+y2−6 y +9=0
x2y+ x2 +2 y − 22=0
¿ {
¿
* Hệ phơng trình tơng đơng với
y −3¿2= 4
¿
(x2+2) y+ x2−22=0
¿
x2− 2¿2+ ¿
¿
¿
2 2 2
Dat
2 2
3
* Thay vào hệ phơng trình ta có:
2 2 4
2
0
u
v
hoặc
0 2
u v
thế vào cách đặt ta đợc các nghiệm của hệ là :
2 3
x y
2 3
x y
2 5
x y
2 5
x y
; :
Trang 4trờng thpt minh châu đáp án đề thi thử đại học lần 1 năm học 2010- 2011
Môn thi: toán
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
I
2.0đ
1 1.25đ
Hàm số y =
2x 3
x 2
có :
- TXĐ: D = R\ {2}
- Sự biến thiên:
+ ) Giới hạn : Lim y 2x
Do đó ĐTHS nhận đờng thẳng y = 2 làm TCN
lim y ; lim y
Do đó ĐTHS nhận đờng thẳng x = 2 làm TCĐ
+) Bảng biến thiên:
Ta có : y’ = 2
1
x 2
< 0 x D
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;2
và hàm số không có cực trị
- Đồ thị + Giao điểm với trục tung : (0 ;
3
2)
+ Giao điểm với trục hoành : A(3/2; 0)
- ĐTHS nhận điểm (2; 2) làm tâm đối xứng
0,25
0,25
0,25
0,5
2 (0,75 điểm)
Phơng trình đờng thẳng qua M(0;m) và có hsg k=-1 có PT: y=-x+m(d)
Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trỡnh
0,25
y’
y
-
2
-2
2
8
6
4
2
-2
-4
Trang 52
x x
x m
Để đường thẳng d cắt đồ thị C tại 2 điểm phõn biệt A và B thì PT (1) phải có 2
nghiệm phân biệt khác 2
2
m
luụn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phõn biệt A, B
0,25
Ta cú yA = m – xA; yB = m – xB nờn AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(xA – xB)2 =
2[(xA +xB)2 -4xA.xB] =2[m2-4(2m-3)]=2(m2-8m+12)=24
8
m m
(Tm)
0,25
II
(2
điểm)
1 (1 điểm)
Phương trỡnh đó cho tương đương với
(sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0
cos2x (cosx + 2) + sinx (2cos2x – 1) = 0 cos2x (cosx + 2) + sinx.cos2x = 0
0,5
cos2x (cosx + sinx + 2) = 0
cos2x 0 (1)
cosx sinx 2 0 (VN)
0,25
(1)2x = 2 k
x = 4 k 2
(k Z)
0,25
II 22
2 2 1 3 2
1 3
Nhận thấy y 0,viết hệ thành:
2
2
1 3 1 3
x x
x x
Đặt :
1
u x
y x v y
Hệ trở thành
2 3 3
u v
, giải hệ ta đợc : u=2,v =1 hoặc u=-3, v=6
0.25
0.25
TH1:
1 2
x
y
TH2:
2
1 3
6
x
y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất:
1 1
x y
0.25
0.25
Trang 61,00 Điểm C CD x y : 1 0 C t ;1 t
Suy ra trung điểm M của AC là
1 3
;
M
Điểm : 2 1 0 2 1 3 1 0 7 7;8
0,25
0,25
Từ A(1;2), kẻ AK CD x y: 1 0 tại I (điểm K BC ).
Suy ra AK:x 1 y 2 0 x y 1 0
Tọa độ điểm I thỏa hệ: 1 0 0;1
1 0
x y
I
x y
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK tọa độ của K 1;0.
Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình:
1
7 1 8
Câu VI (1 i m)đ ể
Theo giả thiết, ta có 3xy 1 x y2 xy Đặt t xy 3t 2 t 1 0 t1
0.25
Ta có
2
4
0.25
Theo Cô si
2
2
t M
0.25
( )
4
t
f t
t
trên [1;+ ) và suy ra max
3
2
Trang 7Ta có:
3
3
3
3
3
3
Lấy (1)+(2)+(3) ta được:
2 2 2 9 3 2 2 2
(4)
Vì a 2 +b 2 +c 2 =3
Từ (4)
3 2
P
vậy giá trị nhỏ nhất
3 2
P
khi a=b=c=1.
0,5 đ
0,25 đ 0,25 đ
Câu 8:
(1,0đ)
Đặt
t x y z t xy yz zx xy yz zx t
Ta có
2
2
3 4 3
A t
t
0,25
Xét h m s à ố
2 3 4 ( )
3
f t t
t
trên
2 3
;2 3
3
2 2
3
t
Hàm số f(t) đồng biến trên
2 3
;2 3
do đó
25 ( ) (2)
6
f t f
Dấu đẳng thức xảy ra khi t=2
0,5
Do ó đ
25 6
A
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3
2
x y z
Vậy giá trị lớn nhất của A là
25 6
0,25
Trong mặt phẳng ( P ) cho đường tròn ( T ) đường kính AB = 2R Lấy điểm C di động trên ( T ) ( C kh«ng trïng víi A, B ) Trên đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = R Hạ AH SB, AK SC
Trang 8a Chứng minh : AK (SBC SB), (AHK)
b Tìm quỹ tích điểm K khi C thay đổi Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHK
cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong của góc A lần lượt có phương trình là : 3x + 4y + 10 = 0 và x – y + 1 = 0, điểm M ( 0; 2) thuộc cạnh AB đồng thời cách điểm C một khoảng bằng 2 Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC