Bài giảng Đại số, giải tích và ứng dụng: Chương 3 - Nguyễn Thị Nhung - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

[r]

Trang 1

¤i sè, gi£i t½ch v ùng döng

Nguy¹n Thà Nhung

Bë mæn To¡n - ¤i håc Th«ng Long

Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011

Ch÷ìng III Gi¡ trà ri¶ng v d¤ng to n ph÷ìng

Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn

ành ngh¾a

Cho A l ma trªn vuæng c§p n, x l v²c tì cët n 1 Sè λ ÷ñc gåi l gi¡

trà ri¶ng cõa A n¸u ph÷ìng tr¼nh

Ax λx,

câ nghi»m x 0

V²c tì x 0 tr¶n ÷ñc gåi l v²c tì ri¶ng ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ

ành ngh¾a

Cho A l ma trªn vuæng c§p n a thùc °c tr÷ng cõa A, k½ hi»u l PApλq

÷ñc x¡c ành bði

Ghi chó

Trang 2

a thùc °c tr÷ng cõa ma trªn

C¡c gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn A ch½nh l c¡c nghi»m cõa a thùc °c

tr÷ng PApλq cõa nâ, tùc l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh sau:

detpA λInq

0

a thùc °c tr÷ng cõa ma trªn vuæng c§p n l mët a thùc bªc n

theo λ, tùc l

PApλq anλn an1λn1 . a1λ a0, trong â ai,i 1, n l h» sè phö thuëc v o c¡c ph¦n tû cõa ma trªn

A Hìn núa, ta câ thº t½nh ngay ÷ñc mët sè h» sè cõa a thùc,

ch¯ng h¤n

an p1qn,an1 a11 a22 ann,a0 detpAq

V½ dö

T¼m c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa c¡c ma trªn sau:

1 4

4 2

00 20 30

Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn Mët sè t½nh ch§t cõa gi¡ trà ri¶ng

Chùng minh ành l½

ành l½

Ma trªn A kh£ nghàch khi v ch¿ khi t§t c£ c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u

kh¡c 0

ành l½

N¸u A paijqn l ma trªn tam gi¡c tr¶n, ma trªn tam gi¡c d÷îi hay ma

trªn ch²o th¼ gi¡ trà ri¶ng cõa A l c¡c ph¦n tû tr¶n ÷íng ch²o ch½nh cõa

A

ành l½

Ma trªn èi xùng c§p n luæn câ n gi¡ trà ri¶ng thüc

Ghi chó

Trang 3

D¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a

Mët d¤ng to n ph÷ìng n bi¸n x1,x2, ,xn, k½ hi»u l qpx1,x2, ,xnq l

mët biºu thùc ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

qpx1,x2, ,xnq ¸n

i1

n

¸

j1

trong â, aij aji,@i 1, , n

Kh¡i ni»m v· d¤ng to n ph÷ìng

Nhªn x²t:

1 D¤ng to n ph÷ìng 1 cán câ thº vi¸t d÷îi d¤ng t½ch c¡c ma trªn sau:

qpx1,x2, ,xnq x1 x2 xn

a11 a12 a1n

a21 a22 . a2n

an1 an2 ann

x1

x2

xn

xtAx,

ð ¥y x

x1

x2

xn

l ma trªn cët v A paijqnl ma trªn èi xùng c§p n

Kh¡i ni»m v· d¤ng to n ph÷ìng

Nhªn x²t:

qpx1,x2, ,xnq °ni1°nj1aijxixj c§p n x¡c ành cho ta mët ma

trªn èi xùng A paijqnc§p n v cho mët ma trªn èi xùng

A paijqn c§p n ta công x¡c ành ÷ñc mët d¤ng to n ph÷ìng c§p n

t÷ìng ùng qpx1,x2, ,xnq °ni1°nj1aijxixj Do â º cho gån ta

th÷íng cho d¤ng to n ph÷ìng d÷îi d¤ng qpx1,x2, ,xnq xtAx

ho°c q xtAx

Ghi chó

Trang 4

V½ dö

a H¢y biºu di¹n d¤ng to n ph÷ìng qpx1,x2q 2x2

1 6x1x2 9x2

2 d÷îi d¤ng t½ch ma trªn

b T¼m d¤ng to n ph÷ìng t÷ìng ùng vîi ma trªn èi xùng sau:

2 4

4 6

D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

ành ngh¾a

Cho q xtAx l mët d¤ng to n ph÷ìng n bi¸n Khi â

i D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l x¡c ành

d÷ìng n¸u xtAx ¡ 0 vîi måi x θ

ii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l nûa x¡c ành

d÷ìng n¸u xtAx ¥ 0 vîi måi x

iii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l x¡c ành ¥m

n¸u xtAx 0 vîi måi bë kh¡c khæng x

iv D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l nûa x¡c ành

¥m n¸u xtAx ¤ 0 vîi måi bë x

v D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l khæng x¡c ành

n¸u xtAx nhªn nhúng gi¡ trà tr¡i d§u nhau

Nhªn x²t:

V½ dö

Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa c¡c d¤ng to n ph÷ìng (ma trªn) sau:

a qpx1,x2q x2 2x1x2 x2

5 13

c qpx1,x2q x2 2x1x2 x2

Ghi chó

Trang 5

Líi gi£i cho v½ dö

Mët sè t½nh ch§t cõa ma trªn x¡c ành

M»nh ·

1 N¸u ma trªn A paijqnx¡c ành d÷ìng th¼ t§t c£ c¡c ph¦n tû tr¶n

÷íng ch²o ch½nh ·u d÷ìng, aii¡ 0, @i 1, n

2 N¸u ma trªn A paijqnnûa x¡c ành d÷ìng th¼ t§t c£ c¡c ph¦n tû

tr¶n ÷íng ch²o ch½nh ·u khæng ¥m, aii ¥ 0, @i 1, n

3 N¸u ma trªn A paijqnx¡c ành ¥m th¼ t§t c£ c¡c ph¦n tû tr¶n

÷íng ch²o ch½nh ·u ¥m, aii 0, @i 1, n

4 N¸u ma trªn A paijqnnûa x¡c ành ¥m th¼ t§t c£ c¡c ph¦n tû tr¶n

÷íng ch²o ch½nh ·u khæng d÷ìng, aii ¤ 0, @i 1, n

Nhªn x²t:

D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng

Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng d§u

hi»u ành thùc

ành l½

Cho d¤ng to n ph÷ìng n-bi¸n

qpx1,x2, ,xnq ¸n

i1

n

¸

j1

aijxixj xtAx

°t |Ai|, i 1, n l c¡c ành thùc con ch½nh c§p i cõa A:

|A1| a11,|A2|

a11 a12

a21 a22

, ,|An|

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

Ghi chó

Trang 6

hi»u ành thùc

ành l½

Khi â

i i·u ki»n c¦n v õ º qpx1,x2, ,xnq (ma trªn A) x¡c

ành d÷ìng l c¡c ành thùc con ch½nh cõa A ·u nhªn gi¡

trà d÷ìng:

|A1| ¡ 0, |A2| ¡ 0, , |An| ¡ 0

ii i·u ki»n c¦n v õ º qpx1,x2, ,xnq (ma trªn A) x¡c

ành ¥m l c¡c ành thùc con ch½nh c§p l´ cõa A nhªn gi¡ trà

¥m v c¡c ành thùc con ch½nh c§p ch®n cõa A nhªn gi¡ trà

d÷ìng:

|A1| 0, |A2| ¡ 0, , p1qn|An| ¡ 0

hi»u ành thùc

ành l½

iii Cho ma trªn A N¸u tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng k sao cho

|A2k| ¥m ho°c |Ak||Ak 2| ¥m th¼ ma trªn A khæng x¡c ành

V½ dö

Kiºm tra t½nh x¡c ành d÷ìng, ¥m cõa c¡c ma trªn sau:

2 1 11 2 1

1 1 2

21 21 11

2 5 11 2 1

1 1 2

00 20 30

Ghi chó

Trang 7

Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng gi¡ trà

ri¶ng

ành l½

Cho d¤ng to n ph÷ìng n bi¸n q xtAx câ ma trªn x¡c ành l A Gi£ sû

A câ n l gi¡ trà ri¶ng l λ1, λ2, , λn, khi â

i D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) x¡c ành d÷ìng khi v ch¿

khi c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u d÷ìng:

λ1¡ 0, λ2¡ 0, , λn¡ 0

ii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) nûa x¡c ành d÷ìng khi v

ch¿ khi c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u khæng ¥m:

λ1¥ 0, λ2¥ 0, , λn¥ 0

Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng gi¡ trà

ri¶ng

ành l½

iii D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) x¡c ành ¥m khi v ch¿ khi

c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u ¥m:

λ1 0, λ2 0, , λn 0

iv D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) nûa x¡c ành ¥m khi v ch¿

khi c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u khæng d÷ìng:

λ1¤ 0, λ2¤ 0, , λn¤ 0

iv D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) khæng x¡c ành khi v ch¿

khi A câ c¡c gi¡ trà ri¶ng tr¡i d§u:

Di j 1, n : λ1¡ 0, λj 0

V½ dö

Kiºm tra t½nh x¡c ành d÷ìng, ¥m cõa c¡c ma trªn sau:

00 20 30

1 4

4 2

Ghi chó

Trang 3< /span>

DÔng ton phữỡng nh nghắa dÔng ton phữỡng

nh... ma sau:

1

4

00 20 3< /sup>0

GiĂ tr riảng cừa ma Mởt số tẵnh chĐt cừa giĂ tr riảng... chú

Trang 4

DÔng ton phữỡng nh nghắa dÔng ton phữỡng

Vẵ dử

a

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	360,63 KB