Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 6 - ThS. Nguyễn Phương - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

Ngày 17 tháng 2 năm 2014.. Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên X có thể biết hoặc chưa biết luật phân phối xác suất và chưa biết tham số θ của X. Hãy ước lượng tham số θ bằng phương pháp mẫu..[r]

Chương 6:

ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản

Trường Đại học Ngân hàng TPHCM

Blog: https://nguyenphuongblog@wordpress.com

Email: nguyenphuong0122@gmail.com

Yahoo: nguyenphuong1504

Ngày 17 tháng 2 năm 2014

Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên X có thể biết hoặc chưa biết luật phân phối xác suất và chưa biết tham sốθ của X Hãy ước lượng tham số θ bằng phương pháp mẫu

Đây là một trong những bài toán cơ bản của thống kê

Vìθ là một hằng số nên ta có thể dùng một con số nào đó để ước lượng θ Ước lượng như vậy được gọi là ước lượng điểm

Ngoài ra, ta có thể chỉ ra một khoảng (θ1, θ2) có thể chứa đượcθ Ước lượng này được gọi là ước lượng khoảng

1 Ước lượng điểm

Các tiêu chuẩn ước lượng

Các phương pháp ước lượng điểm

2 Ước lượng khoảng

Khoảng tin cậy của trung bình tổng thể

Trường hợp 1: n ≥ 30, σ 2 biết

Trường hợp 2: n ≥ 30 , σ 2 chưa biết

Trường hợp 3: n < 30, σ 2 biết, X có phân phối chuẩn Trường hợp 4: n < 30, σ 2 chưa biết, X có phân phối chuẩn Các chỉ tiêu của bài toán khoảng tin cậy đối xứng

Khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể

Các chỉ tiêu của bài toán khoảng tin cậy đối xứng

Khoảng tin cậy của phương sai tổng thể

Trường hợp 1: biết trung bình tổng thể µ

Trường hợp 2: chưa biết trung bình tổng thể µ

Bài toán: Giả sử cần ước lượng tham sốθ của biến ngẫu nhiên X Từ X, ta lập mẫu ngẫu nhiên có kích cỡ n:(X1, X2, , Xn)

Ta chọn hàm ˆθ = f(X1, X2, , Xn) để ước lượng cho tham sốθ Khi đó, ˆθ được gọi là hàm ước lượng choθ

Ta thường chọn, hàm ước lượng:

Chọn ˆθ = X = 1

n

n P i=1

Xi để ước lượng cho trung bình tổng thểµ

Chọn ˆθ = S2=n−11

n P i=1 (Xi− X)2 để ước lượng cho phương sai tổng thểσ2 Chọn ˆθ = Fn= 1n

n P i=1

Xi để ước lượng cho tỉ lệ tổng thể p

Từ mẫu cụ thể (x1, x2, , xn), ta tính được giá trị ˆθ∗= f(x1, x2, , xn) Khi

đó, ˆθ∗ được gọi là ước lượng điểm củaθ

Có vô số cách chọn hàm ước lượng, do đó có vô số ước lượng của tham sốθ cho trước Vì vậy, cần đưa ra tiêu chuẩn để đánh giá chất lượng của ước lượng

Từ đó, chọn được hàm ước lượng tốt

a) Ước lượng không chệch:

Định nghĩa

Thống kê ˆθ được gọi là ước lượng không chệch của tham số θ nếu E( ˆθ) = θ Ngược lại, nếu E( ˆθ) , θ thì ˆθ được gọi là ước lượng chệch của θ

Ý nghĩa

- Ước lượng không chệch là ước lượng có sai số trung bình bằng 0 (vì

E( ˆθ) − θ = 0 )

- Giá trị của ˆθ không bị chệch về một phía

b) Ước lượng hiệu quả:

Định nghĩa

Thống kê ˆθ được gọi là ước lượng hiệu quả của tham số θ nếu nó là ước lượng không chệch và có phương sai bé nhất trong các ước lượng không chệch củaθ c) Ước lượng vững:

Định nghĩa

Thống kê ˆθ được gọi là ước lượng vững của tham số θ nếu

ˆ

θ(X1, X2, , Xn)−→P θ

Định lý

Nếu ˆθ là ước lượng không chệch của θ và lim

n→∞Var( ˆθ) = 0 thì ˆθ là ước lượng vững choθ

Ý nghĩa

a) Sử dụng các đặc trưng mẫu:

F, X, S2là ước lượng không chệch, vững cho p, µ, σ2

bS2 là ước lượng chệch, vững choσ2

Nếu X ∼ N(µ, σ2) thì X là ước lượng hiệu quả choµ, nếu X ∼ B(1, p) thì

F là ước lượng hiệu quả cho p

b) Phương pháp ước lượng hợp lí tối đa

Nguyên lí hợp lí tối đa: Tìm giá trịθ là hàm của quan sát (x1, x2, , xn) sao cho xác suất thu được tại các quan sát đó lớn nhất

Giả sử X có hàm mật độ xác suất f(x) từ mẫu (x1, x2, , xn) lập hàm hợp lí: L(x1, x2, , xn, θ) = Qn

i=1f(xi, θ)

Giá trị của hàm hợp lí chính là xác suất (hay mật độ xác suất) tại điểm (x1, x2, , xn)

Giá trịθ∗

được gọi là ước lượng hợp lí tối đa của tham sốθ nếu ứng với giá trị này hàm hợp lí đạt cực đại

Cho xác suất 1 −α, từ mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn), tìm các thống kê ˆθ1, ˆ

θ2 sao cho P( ˆθ1< θ < ˆθ2) = 1 −α

Khi đó,

1 −α : độ tin cậy của ước lượng

( ˆθ1, ˆθ2) : khoảng tin cậy của ước lượng

ˆ

θ2− ˆθ1= 2 : độ dài của ước lượng;  được gọi là độ chính xác của ước lượng

Với mẫu cụ thể (x1, x2, , xn), ˆθ1 nhận giá trịθ1 và ˆθ2 nhận giá trịθ2, khi

đó (θ1, θ2) được gọi là ước lượng khoảng của θ

Bài toán tìm ước lượng khoảng với độ tin cậy 1 −α còn được gọi là bài toán tìm khoảng tin cậy 1 −α

Bài toán: Giả sử tổng thể có E(X) =µ chưa biết Với độ tin cậy 1 − α, tìm khoảng tin cậy choµ

Nhắc lại phân phối của trung bình mẫu:

Trường hợp 1: n ≥ 30, σ2biết: G = ( ¯X −µ)√n

σ ' N(0, 1).

Trường hợp 2: n ≥ 30, σ2chưa biết: G = ( ¯X −µ)√n

S ' N(0, 1)

Trường hợp 3: n< 30, σ2biết, X có phân phối chuẩn:

G = ( ¯X −µ)√n

σ ∼ N(0, 1).

Trường hợp 4: n< 30, σ2chưa biết, X có phân phối chuẩn:

G = ( ¯X −µ)√n

S ∼ T(n − 1)

Trường hợp 1: n ≥ 30 , σ2 biết

Khoảng tin cậy đối xứng



x − zα/2 √σ

n, x + zα/2√ σ

n



Khoảng tin cậy bên phải



x − zα √σ

n, +∞ Khoảng tin cậy bên trái



−∞, x + zα√ σ

n