Bài giảng Toán cao cấp: Bài 1 - Nguyễn Hải Sơn - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

[r]

BÀI 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC

2 v1.0

1 Hàm số một biến số: Định nghĩa, đồ thị, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ,…,

hàm số hợp và hàm ngược

2 Dãy số: Khái niệm dãy số, dãy đơn điệu, dãy bị chặn, các tiêu chuẩn

tồn tại giới hạn, các định lí về giới hạn

3 Giới hạn: Khái niệm, các tính chất của giới hạn hàm số, VCB, VCL, các

phương pháp tính giới hạn

4 Sự liên tục của hàm số: Hàm số liên tục và các tính chất

VÍ DỤ 1

Xác định hàm số hợp của g và f , hàm hợp của f và g

Hướng dẫn:

• Một hàm số được xác định khi biết tập xác định và công thức của

hàm số đó

• Khái niệm hàm số hợp:

“ Cho

thỏa mãn

• Hàm hợp của và :

f : , f(x) 2x g :  ,g(x) 1 x 

: X , x u (x)

     

f : U  ,u  y f(u)

: , ( ) ( ( ))

h X   x  h x  f  x



f

(x) U, x X

   

4 v1.0

Lời giải:

Hàm số hợp của g và f là:

và hàm số hợp của f và g là:

Nhận xét:

•

• Sai lầm thường gặp: nhầm lẫn giữa “hàm hợp của f và g” với “hàm hợp của g và f”

h :   , x  h(x) h(x) g(f(x)) g(2x) 2x 1   

k :  , x  k(x) k(x) f(g(x)) f(1 x) 2(1 x) 2x 2      

f(g(x)) g(f(x))

Hàm hợp của hai hàm số f(u) = cosu và u(x) = 2x là hàm số nào sau đây?

VÍ DỤ 2

a h(x) = cos(2x)

b h(x) = 2cosx

c h(x) = cosx

d h(x) = 2cos(2x)

v1.0

Hàm hợp của hai hàm số f(u) = cosu và u(x) = 2x là hàm số nào sau đây?

f(u(x)) f(2x) cos(2x)  

a h(x) = cos(2x)

b h(x) = 2cosx

c h(x) = cosx

d h(x) = 2cos(2x)

x x x

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:

a Dãy bị chặn trên

b Dãy đơn điệu tăng

c Dãy đơn điệu giảm

d Dãy bị chặn

VÍ DỤ 3

Cho dãy số:   n  1;2;3, 4; ;n; 

8 v1.0

Dãy gọi là:

• Dãy tăng nếu xn < xn+1

• Dãy giảm nếu xn > xn+1

• Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm

• Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho x

• Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho xn

• Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới

Như vậy, dãy là bị chặn nếu có các số m và M sao cho  xn m x n  M, n

n

   n

  

M, n

   

m, n

   

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:

VÍ DỤ 3 (tiếp theo)

a Dãy bị chặn trên

c Dãy đơn điệu giảm

d Dãy bị chặn



x

x x

n n

x  n 

(x  1 x  2)

(1 2 3 4 )   

Cho dãy số:   n  1;2;3, 4; ;n; 

Nhận xét:

Sai lầm thường gặp:

10 v1.0

Cho dãy số:

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:

a Dãy đơn điệu

b Dãy đơn điệu tăng

c Dãy đơn điệu giảm

d Dãy bị chặn

 

 n   n 

1 1;1; 1;1; , 1 ,