Đối với luận văn này, chúng tôi hướng tới việc tìm hiểu một số tính chất của trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của một nhóm hữu hạn.. Tiếp theo chúng tôi tập trung tìm [r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-
Quản Thị Hoài Thu
TRƯỜNG GIÁ TRỊ CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG PHỨC BẤT KHẢ QUY CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – 2020
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-
Quản Thị Hoài Thu
TRƯỜNG GIÁ TRỊ CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG PHỨC BẤT KHẢ QUY CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 8 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Phạm Hữu Tiệp PGS TS Đoàn Trung Cường
Hà Nội – 2020
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi của bản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Phạm Hữu Tiệp và thầy Đoàn Trung Cường Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu
có đều được trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công
bố trên bất kì một phương tiện nào Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan
Hà Nội, tháng 12 năm 2020
Học viên
Quản Thị Hoài Thu
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất của mình đến GS TSKH Phạm Hữu Tiệp và PGS TS Đoàn Trung Cường GS TSKH Phạm Hữu Tiệp
là người hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu, thầy đã dành rất nhiều thời gian quý báu của mình để hướng dẫn và giảng giải cho tôi Đồng thời, PGS
TS Đoàn Trung Cường là người trực tiếp trao đổi, dẫn dắt và theo sát tôi, thầy luôn quan tâm và động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của các thầy trong suốt một thời gian dài
Hơn nữa, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô thuộc phòng Đại số và lý thuyết số, Viện Toán học vì những sự góp ý và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn Đặc biệt, tôi xin cảm ơn PGS TS Nguyễn Duy Tân vì những sự giúp
đỡ và chỉ dẫn quý báu của thầy
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơ
sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam trong quá trình thực hiện luận văn
Lời cảm ơn cuối cùng tôi xin được gửi đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh, động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
Hà Nội, tháng 12 năm 2020
Học viên
Quản Thị Hoài Thu
Trang 5Mục lục
Lời cam đoan 1
Lời cảm ơn 2
Mục lục 3
Mở đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Các biểu diễn và đặc trưng của một nhóm 7
1.2 Đặc trưng hạn chế và đặc trưng cảm sinh 17
2 Bảng đặc trưng của một số nhóm hữu hạn 25 2.1 Nhóm tuyến tính tổng quát 25
2.1.1 Bảng đặc trưng của nhómGL(2, q) 27
2.1.2 Bảng đặc trưng của nhómGL(3, q) 35
2.2 Nhóm tuyến tính đặc biệt 43
2.2.1 Bảng đặc trưng của nhómSL(2, q) 43
2.2.2 Bảng đặc trưng của nhómSL(3, q) 48
3 Trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ 53 3.1 Trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ 53
3.2 Chứng minh của Định lý 3.1.8 đối với nhóm tuyến tính đặc biệt 63 3.3 Một số ví dụ 75
3
Trang 6DANH MỤC CÁC BẢNG
2.6 Bảng các lớp liên hợp củaSL(2, q), q lẻ 45 2.7 Các đặc trưng của GL(2, q) khi hạn chế
xuốngSL(2, q)
45
2.8 Bảng đặc trưng của nhómSL(2, q),q lẻ 47 2.9 Bảng các lớp liên hợp của SL(2, q), q
chẵn
48
2.10 Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), q
chẵn
48
2.11 Bảng các lớp liên hợp củaSL(3, q) 49
Trang 7MỞ ĐẦU
Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn là một lĩnh vực trong Đại số có liên hệ sâu sắc với nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học Cho V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên trường F, biểu diễn của một nhómGlà một đồng cấu nhóm từGvào nhóm các tự đẳng cấu củaV Nếu ta cố định một cơ sở củaV thì mỗi tự đẳng cấu trênV tương ứng với một ma trận khả nghịch lấy hệ số trên F, hay ta có tương ứng mỗi phần tử của Gvới một ma trận khả nghịch Đặc trưng của một nhóm được định nghĩa là một ánh xạ tương ứng mỗi phần tử củaGvới vết của ma trận khả nghịch đó Nếu ta xét F là trường số phức C thì giá trị của các đặc trưng này nằm trong vành các số nguyên đại số của C Trường giá trị của một đặc trưng là một mở rộng trên Q bởi các giá trị của đặc trưng Cho tới bây giờ, còn rất nhiều bài toán và câu hỏi hấp dẫn liên quan đến các đặc trưng của một nhóm
Đối với luận văn này, chúng tôi hướng tới việc tìm hiểu một số tính chất của trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của một nhóm hữu hạn Trước tiên chúng tôi nghiên cứu cách xây dựng bảng đặc trưng của một số nhóm hữu hạn như: các nhóm tuyến tính tổng quátGL(2, q), GL(3, q)và các nhóm tuyến tính đặc biệtSL(2, q), SL(3, q) Tiếp theo chúng tôi tập trung tìm hiểu một số kết quả về trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của một nhóm
hữu hạn được công bố trong bài báo "I.M Isaacs, M.W Liebeck, G Navarro,
P.H Tiep, Fields of values of odd-degree irreducible characters, Advances in Mathematics 354 (2019), 1-26", đưa ra một số ví dụ tính toán trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy, dựa trên bảng đặc trưng của một số nhóm được tìm hiểu
Nội dung của luận văn gồm này gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của biểu diễn và đặc trưng của nhóm hữu hạn để chuẩn bị cho các chương tiếp theo Một số định
Trang 8lý quan trọng trong chương này là Định lý Clifford (Định lý 1.2.3) và Định lý thuận nghịch Frobenius (Định lý 1.2.11) nói về mối quan hệ giữa đặc trưng của một nhóm với các nhóm con của nó
Chương 2: Bảng đặc trưng của một số nhóm hữu hạn
Chương này gồm 2 mục lớn, trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng của một
số nhóm hữu hạn Trong mục thứ nhất, chúng tôi trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng của các nhóm tuyến tính tổng quát: nhómGL(2, q), nhómGL(3, q) Bảng đặc trưng của các nhóm này được xây dựng chủ yếu dựa trên các đặc trưng cảm sinh từ nhóm con và được dựa theo các kết quả của R Steinberg Ở mục thứ hai, chúng tôi trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng của các nhóm tuyến tính đặc biệt: nhómSL(2, q), nhómSL(3, q) Bảng đặc trưng của các nhóm này được xây dựng chủ yếu dựa trên các đặc trưng hạn chế từ các nhómGL(2, q),
GL(3, q)và được dựa theo các kết quả của Simpson-Frame
Chương 3: Trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ
Trong chương này, chúng tôi tập trung tìm hiểu một số tính chất của trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ được nghiên cứu bởi nhóm các nhà Toán học Isaacs-Liebeck-Navarro-Tiệp Một trong những kết quả độc đáo về trường giá trị của các đặc trưng này là Định lý 3.1.4 Ở mục thứ hai, chúng tôi trình bày chứng minh của Định lý 3.1.8, chỉ xét đối với nhóm tuyến tính đặc biệt Định lý 3.1.8 cho ta một kết quả quan trọng, là một công cụ được sử dụng trong chứng minh của Định lý 3.1.4 Trong mục thứ ba, chúng tôi đưa ra một số ví dụ tính toán trường giá trị của đặc trưng bất khả quy, dựa trên các nhóm đã được tìm hiểu
Trang 9Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày ngắn gọn một số kiến thức cơ bản về biểu diễn và đặc trưng của nhóm hữu hạn, các kết quả chính như Bổ đề Schur, Định lý Clifford và Định lý thuận nghịch Frobenius Các kiến thức này được sử dụng cho các chương tiếp theo và được tham khảo theo các tài liệu [1], [2] Trong luận văn này, ta luôn ký hiệuGlà một nhóm hữu hạn
1.1 Các biểu diễn và đặc trưng của một nhóm
Ký hiệu GL(n,F) là nhóm các ma trận khả nghịch cỡn × n lấy hệ số trên một trường F Nếu F là trường hữu hạn chứa q phần tử thì GL(n,F) được ký hiệu làGL(n, q)
từGvào nhómGL(n,F)với số nguyênn > 1 Sốnđược gọi là bậc củaρ
C, g 7→ 1là một biểu diễn bậc1của nhómG Biểu diễn này còn được gọi
là biểu diễn tầm thường củaG
2 Nhóm D8 = a, b | a4 = b2 = 1, b−1ab = a−1 có một biểu diễn bậc hai
7
Trang 10làρ : D8 → GL(2,C)thỏa mãn
ρ(a) =
0 1
−1 0
, ρ(b) =
1 0
0 −1
đó V được gọi là một FG-môđun nếu trên V có một phép nhân G × V →
V, (g, v) 7→ vg thỏa mãn các điều kiện sau
(1) vg ∈ V, (2) v(gh) = (vg)h, (3) v1 = v,
(4) (λv)g = λ(vg), (5) (u + v)g = ug + vg Trong đó, u, v ∈ V, g, h ∈ Gvà λ ∈F.
hạn bất kỳ TrênV ta định nghĩa phép nhân
vg := v
với mọi v ∈ V, g ∈ G V cùng với phép nhân định nghĩa như trên lập thành một CG-môđun
2 Cho V là C-không gian véctơ 2 chiều với một cơ sở {v1, v2} và nhóm
D8 = a, b | a4 = b2 = 1, b−1ab = a−1 TrênV định nghĩa phép nhân
v1a := v2, v2a := −v1;
v1b := v1, v2b := −v2
V cùng với phép nhân định nghĩa như trên lập thành một CD8-môđun
Trang 11Từ định nghĩa của FG-môđun, nếu ta xét một ánh xạ trên V xác định bởi
ϕg : v 7→ vg thìϕg là một ánh xạ tuyến tính trênV Khi đó, cố định một cơ sở
BcủaV, ϕg có ma trận biểu diễn tương ứng là ma trận vuông lấy hệ số trên F,
ma trận này ta đặt là[g]B Khi đó, ánh xạ g 7→ [g]B cũng là một biểu diễn của nhómG
V được gọi là một FG-môđun con của V nếu wg ∈ W với mọi w ∈ W và
g ∈ G
không có bất kỳ môđun con nào khác ngoại trừ0và chính nó
Nếu FG-môđun V có ít nhất một FG-môđun con khác 0 và khác chính nó thìV được gọi là khả quy.
gian véctơ 3 chiều với một cơ sở {v1, v2, v3} Xét phép nhân trên V được cho bởi
v1a = v2, v2a = v3, v3a = v1
V cùng với phép nhân định nghĩa như trên lập thành một FC3-môđun V có một FC3-môđun con W sinh bởiv1+ v2 + v3 Hơn nữa,W còn là FC3-môđun bất khả quy vìW có chiều bằng1
một FG-môđun NếuU là một FG-môđun con củaV thì tồn tại một FG-môđun conW của V sao choV = U ⊕ W.
Định lý Maschke nói chung là không đúng nếu F là trường có đặc sốp Thật vậy, cho nhóm xyclic G = Cp = ha | ap = 1i và Fp là trường hữu hạn gồm p
phần tử Xét FpG-môđun V với một cơ sở{v1, v2}và
v1aj = v1, v2aj = jv1 + v2,
Trang 12trong đó0 ≤ j ≤ p − 1 Rõ ràng,U = hv1i là một FpG-môđun con củaV Giả
sử tồn tại một FpG-môđun con1chiều W củaV sao cho V = U ⊕ W, giả sử
W = hλ1v1 + λ2v2i Khi đó (λ1v1 + λ2v2)aj = k(λ1v1 + λ2v2) với k ∈ F×p Mặt khác,
(λ1v1 + λ2v2)aj = (λ1 + λ2j)v1 + λ2v2
Do đó,kλ2 = λ2 và(k − 1)λ1 − λ2j = 0 Ta suy ra λ2 = 0hayU = W (mâu thuẫn)
Nhờ định lý Maschke, một CG-môđunV bất kỳ đều có thể viết được thành tổng trực tiếp của các CG-môđun con bất khả quy
V = U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Ur,
trong đó cácUi là các CG-môđun con bất khả quy của V
Bổ đề Schur cho ta một số kết quả về biểu diễn của nhóm giao hoán
khả quy.
(1) Nếu ϕ : V → W là một CG-đồng cấu thì hoặc ϕ là một CG-đẳng cấu hoặcϕ(v) = 0với mọiv ∈ V.
(2) Nếuϕ : V → V là một CG-đẳng cấu thìϕ = λ1V với λ ∈C nào đó.
Một kết quả quan trọng nhờ Bổ đề Schur được phát biểu như sau
Mệnh đề 1.1.10 [2, Mệnh đề 9.5] Mọi biểu diễn bất khả quy của nhóm giao
hoánGđều có bậc1.
nhóm xyclic cấp ni sinh bởi gi Gọi i, i = 1, 2, là các căn nguyên thủy bậcni của đơn vị trong C Khi đó, với mọi0 ≤ j1 ≤ n1− 1và0 ≤ j2 ≤ n2− 1, ta có
ρj j (g1, g2) = j1
1 j2
2
Trang 13là các biểu diễn bậc1của nhómG
Hai phần tửx, y ∈ Gđược gọi là liên hợp với nhau nếu tồn tại phần tửg ∈ G
sao cho y = xg := g−1xg Tập hợp tất cả các phần tử trong G liên hợp với x
được ký hiệu là
xG := {xg : g ∈ G}
và được gọi là lớp liên hợp củaxtrong G
liên hợp là1G, (1 2)G = {(1 2), (1 3), (2 3)}và (1 2 3)G = {(1 2 3), (1 3 2)}
xG = |G|
|CG(x)|,
trong đó|CG(x)|là nhóm tâm hóa của phần tửxtrongG.
Từ bây giờ, ta luôn giả sử F là trường số phức C
cơ sở làB Khi đó hàm χ : G → C cho bởi
χ(g) = tr[g]B,
được gọi là đặc trưng của nhóm Gtương ứng với CG-môđun V Số chiều của không gianV được gọi là bậc của đặc trưngχ
Các đặc trưng có bậc bằng 1 được gọi là đặc trưng tuyến tính Đặc trưng
tương ứng với CG-môđun bất khả quy được gọi là đặc trưng bất khả quy Tập
hợp tất cả các đặc trưng bất khả quy của một nhómGđược ký hiệu làIrr(G) Lưu ý rằng giá trị của χ không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở của V nhờ tính chất của hàm vết Hơn nữa, giá trị củaχlà bằng nhau tại mọi phần tử thuộc cùng một lớp liên hợp Mặt khác, nếu ρ : G → GL(n,C) là biểu diễn của
Trang 14nhómGthì χ(g) = tr(ρ(g))cũng là một đặc trưng của nhóm Gvà tương ứng với CG-môđun Cn
định nghĩa là
Kerχ := {g ∈ G | χ(g) = χ(1)}
Nếuρlà một biểu diễn tương ứng với đặc trưngχthìKerρ = Kerχ[2, Định
lý 13.11]
một đặc trưng tuyến tính củaC3
2 Xét nhóm D8 như trong Ví dụ 1.1.2(2), giá trị của đặc trưng χ tương ứng với biểu diễnρtrong ví dụ này, trên đại diện của mỗi lớp liên hợp củaD8
là
1 a a2 b ab
Định nghĩa hàmχ : G → C qua phép liên hợp phức như sau
χ(g) := χ(g)
Hàm χ cũng là một đặc trưng của nhóm G Hơn nữa, χ là bất khả quy khi và chỉ khiχlà bất khả quy.
Sau đây ta có một số tính chất của đặc trưng của nhóm Với g ∈ G bất kỳ,
ký hiệu|g|là cấp của phần tử g trong nhómG
tương ứng với CG-môđunV, giả sử g ∈ Gvà |g| = m Khi đó
Trang 15(1) χ(1) = dimV, (2) χ(g)là tổng của các căn đơn vị bậc m, (3) χ(g−1) = χ(g),
(4) χ(g)là số thực nếu g liên hợp vớig−1.
thìχ(1) | |G|.
Theo Mệnh đề 1.1.18(2), χ(g) nằm trong vành số nguyên đại số của C với mọig ∈ G Hơn nữa, mệnh đề sau cho ta một điều kiện để χ(g)là số nguyên
G Giả sử g liên hợp với mọi phần tử gi với 1 ≤ i ≤ n và (i, n) = 1 Khi đó
χ(g) là số nguyên với mọi đặc trưngχ củaG.
Nếuχ(g) ∈ Z vàgcó cấp là lũy thừa của một số nguyên tốpthì giá trịχ(g)
có liên hệ với bậc của đặc trưng bởi tính chất như sau
vàg có cấp là lũy thừa của p Khi đó, nếu χlà một đặc trưng của nhóm Gsao choχ(g) ∈Z thì
χ(g) ≡ χ(1) (mod p)
Khái niệm tích vô hướng của hai đặc trưng cho ta một công cụ quan trọng để xác định tính bất khả quy của một đặc trưng, mối quan hệ giữa một đặc trưng bất kỳ với các đặc trưng bất khả quy
củaχ, ψ được định nghĩa như sau
hχ, ψi = 1
|G|
X
g∈G
χ(g)ψ(g)
Trang 16Để ý, nếu χ, ψ là hai đặc trưng của nhómGthì ta có
hχ, ψi = hψ, χi = 1
|G|
X
g∈G
χ(g)ψ(g−1)
Hơn nữa, nếu G có l lớp liên hợp và các đại diện của mỗi lớp liên hợp là
g1, , gl thì
hχ, ψi =
l X
i=1
χ(gi)ψ(gi−1)
Tính trực giao giữa các đặc trưng bất khả quy của một nhóm là một tính chất thú vị và quan trọng, là cơ sở để ta có các quan hệ trực giao trên một bảng đặc trưng và là công cụ để xét tính bất khả quy của một đặc trưng Trước tiên, tính chất trực giao được phát biểu như sau
phân biệt của nhómG Khi đó
hχ, χi = 1, hχ, ψi = 0
Mặt khác, nhờ tính trực giao của các đặc trưng bất khả quy, một đặc trưng bất kỳ của một nhóm luôn viết được thành một tổ hợp tuyến tính của các đặc trưng bất khả quy với hệ số là các số nguyên không âm
đặc trưng bất kỳ của G Khi đóψ có thể được viết thành
ψ = d1χ1 + + dkχk,
trong đód1, , dk là các số nguyên không âm Hơn nữa,
di = hψ, χii và hψ, ψi =
k X
i=1
d2i
Trang 17Các đặc trưng χi có hệ sốdi 6= 0 trong sự phân tích trên được gọi là thành
phần bất khả quy của ψ Dựa vào Định lý 1.1.24, ta có một hệ quả quan trọng sau, được áp dụng nhiều trong việc tính toán các đặc trưng bất khả quy của một nhóm
khi và chỉ khihχ, χi = 1.
Mặt khác, số lượng các đặc trưng bất khả quy và số các lớp liên hợp của một nhóm là bằng nhau [2, Định lý 15.3] Tính chất thú vị này cho ta thông tin về bảng đặc trưng của một nhóm
của các lớp liên hợp củaG Bảng đặc trưng của nhómGlà một ma trận vuông
cỡk × k mà giá trị tại mỗi vị trí(i, j)là χi(gj)
các giá trị của đặc trưngχ, ký hiệu là Q(χ)
√
−3
2 , bảng đặc trưng của nhóm
C3 = a | a3 = 1 là
1 a a 2
χ1 1 1 1
χ2 1 w w 2
χ3 1 w2 w
Ở đây, trường giá trị củaχ2 là Q(χ2) = Q(1, w, w2) =Q(√
−3)
2 Theo [2, trang 220], bảng đặc trưng của nhóm thay phiênA5 là
... trưng< /i>tương ứng với CG-môđun bất khả quy gọi đặc trưng bất khả quy Tập
hợp tất đặc trưng bất khả quy nhómGđược ký hiệu làIrr(G) Lưu ý giá trị χ không phụ thuộc vào việc chọn... nhóm< /i>G Khi đó
hχ, χi = 1, hχ, ψi =
Mặt khác, nhờ tính trực giao đặc trưng bất khả quy, đặc trưng nhóm ln viết thành tổ hợp tuyến tính đặc trưng bất khả quy với hệ số số... tin bảng đặc trưng nhóm
của lớp liên hợp củaG Bảng đặc trưng nhóm< /i>Glà ma trận vng
cỡk × k mà giá trị vị trí(i, j)là χi(gj)
các giá trị đặc trưng? ?,