Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở trong hình học đại số như đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh, không gian tiếp xúc và minh hoạ các khái niệm này bằng một số ví dụ.. Tà[r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -
Phạm Anh Vinh
ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE
VÀ ĐA TẠP SEGRE
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội – 2020
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -
Phạm Anh Vinh
ĐA TẠP CÁT TUYẾN CỦA ĐA TẠP VERONESE
VÀ ĐA TẠP SEGRE
Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số
Mã số : 8 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS TS Đoàn Trung Cường
Hà Nội – 2020
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đoàn Trung Cường Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn
cụ thể Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kì một phương tiện nào Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan
Hà Nội, tháng 10 năm 2020
Học viên
Phạm Anh Vinh
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình tới PGS TS Đoàn Trung Cường, người trực tiếp hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy trong một thời gian dài Thầy đã luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô thuộc phòng Đại số, Viện Toán học
vì sự giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn Ngoài ra, trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn tôi còn nhận được nhiều sự quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu của quý thầy cô, anh chị và bạn bè trong Viện Toán học Việt Nam
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơ
sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam trong quá trình thực hiện luận văn
Đặc biệt, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh, động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
Hà Nội, tháng 10 năm 2020
Học viên
Phạm Anh Vinh
Trang 5Mục lục
Lời cam đoan 1
Lời cảm ơn 2
Mục lục 3
Danh mục các hình vẽ và đồ thị 4
Mở đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Đa tạp đại số 7
1.2 Không gian tiếp xúc 13
2 Đa tạp cát tuyến và các tính chất cơ bản 22 2.1 Đa tạp nối của các đa tạp 22
2.2 Đa tạp cát tuyến thứ s 29
3 Đa tạp Veronese và Định lý Alexander-Hirschowitz 39 3.1 Đa tạp Veronese 39
3.2 Định lý Alexander-Hirschowitz 45
4 Đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre 58 4.1 Đa tạp Segre 58
4.2 Đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre 64
3
Trang 6DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
1.2 Đường congY = V (x3−x2−x−1−y) 17 2.1 Hợp nối của một điểm và một đường
thẳng trong P2
23
2.2 Đường cát tuyến của một đường tròn 29 2.3 Đường thẳng cắt đường conic tại hai
điểm
30
Trang 7MỞ ĐẦU
Đa tạp cát tuyến là một chủ đề được các nhà hình học đại số trường phái Ý nghiên cứu từ thế kỉ 19 Gần đây những quan tâm của các nhà hình học đại số đối với đa tạp cát tuyến tăng khá nhanh Đa tạp cát tuyến có ứng dụng trong một
số chuyên ngành toán học như thống kê đại số, đồng thời có ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành liên quan trực tiếp đến đời sống như khoa học máy tính, sinh học Thông thường việc tính toán với đa tạp cát tuyến rất khó Do đó, đối với nhiều bài toán thay cho việc xét đa tạp cát tuyến của một đa tạp bất kỳ, người ta hạn chế xét đa tạp cát tuyến của một số đa tạp đặc biệt như đa tạp Veronese, đa tạp Grassmannian, đa tạp Segre, đa tạp Segre-Veronese
Đa tạp cát tuyến thứ s của một đa tạp đại số X ⊂ PN là bao đóng Zariski của hợp tất cả các không gian tuyến tính đi quas điểm trênX và được kí hiệu
là σs(X) Tính toán số chiều của σs(X) là một trong những câu hỏi cơ bản đầu tiên trong việc nghiên cứu các đa tạp cát tuyến Bằng việc xemσs(X)như hợp nối của X với σs−1(X), ta có thể chứng minh được rằng dim σs(X) ≤ min (s dim X + s − 1, N ), và giá trị min (s dim X + s − 1, N ) được gọi là chiều kì vọng củaσs(X) Ta nói đa tạpX làs- khuyết nếu số chiều củaσs(X) khác với số chiều kì vọng của đa tạp đó Đối với các đa tạp Veronese, Alexander
và Hirschowitz đã đưa ra phân loại các đa tạp khuyết Trong khi đó, kết quả về tính toán số chiều của đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre và đa tạp Segre-Veronese chỉ đạt được trong một số trường hợp đặc biệt
Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách hệ thống một số kết quả
về chiều của đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre, đồng thời tính toán một số ví dụ minh hoạ Luận văn được chia làm ba chương như sau:
Chương 1: Chương này được dành để nêu tóm tắt một số khái niệm và tính chất của đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh và không gian tiếp xúc để phục vụ cho việc trình bày trong các chương sau
Trang 8Chương 2: Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất của hợp nối của các đa tạp xạ ảnh Trong đó, tính chất liên quan đến không gian tiếp xúc của đa tạp hợp nối ở Định lý 2.1.10 có thể xem như là tính chất quan trọng nhất Trong tiết 2 của chương này, chúng tôi trình bày về đa tạp cát tuyến,
là một trường hợp đặc biệt của đa tạp hợp nối Đồng thời, ở cuối chương, chúng tôi phát biểu Bổ đề Terracini (Định lý 2.2.11) Đây là một kết quả nổi tiếng trong việc nghiên cứu số chiều của đa tạp cát tuyến Từ Bổ đề Terracini, ta có thể dẫn đến các hệ quả quan trọng như Mệnh đề 3.2.4 và Định lý 4.2.5, cho ta mối quan hệ giữa số chiều của đa tạp cát tuyến của các đa tạp Veronese và đa tạp Segre với giá trị hàm Hilbert của một lược đồ điểm kép
Chương 3: Trong chương này, chúng tôi trình bày về đa tạp Veronese Trong
đó, Mệnh đề 3.1.4 cho ta cấu trúc tường minh của không gian tiếp xúc của đa tạp Veronese Trong tiết hai, chúng tôi phát biểu và chứng minh Định lý Alexander
- Hirschowitz phân loại các đa tạp cát tuyến là khuyết (Định lý 3.2.8 và Định lý 3.2.9)
Chương 4: Chương 4 được dành để trình bày về đa tạp cát tuyến của đa tạp Serge Kết quả chính của chương là kết quả về chiều của đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre (các định lý 4.2.5, 4.2.13)
Trong toàn bộ luận văn này, chúng ta luôn ký hiệu k là một trường đóng đại
số Với mỗin ≥ 0, ta ký hiệu An, Pn là các không gian afin, không gian xạ ảnh trênk
Trang 9CHƯƠNG 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở trong hình học đại số như đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh, không gian tiếp xúc và minh hoạ các khái niệm này bằng một số ví dụ
Tài liệu tham khảo chính của chương này là các quyển sách [1] và [2]
1.1 Đa tạp đại số
Tập không điểm của mỗi đa thứcf ∈ A := k[x1, , xn]là
V (f ) = {P ∈ An|f (P ) = 0} ⊆ An
Nếu T là một tập con của A, ta định nghĩa tập không điểm của T là
V (T ) = {P ∈ An|f (P ) = 0với mọi f ∈ T }
Một tập conY của Anđược gọi là một tập đại số nếu tồn tại một tập conT ⊆ A sao choY = V (T ) Những tập đại số thoả mãn các tính chất sau
- NếuX, Y là hai tập đại số thìX ∪ Y cũng là một tập đại số
- Nếu{Xα}α∈∧là một họ các tập đại số bất kì thì T
α∈∧Xα cũng là tập đại số
- Tập∅và An cũng là các tập đại số
7
Trang 10Với các tính chất này, lớp các tập đại số thoả mãn các tiên đề về tập đóng của một tô pô trên không gian afin An, được gọi là tô pô Zariski Tập mở đối với tô
pô này là phần bù của các tập đại số
Định nghĩa 1.1.1 Một đa tạp đại số afin (hay đa tạp afin) là một tập đóng bất
khả quy của An, nghĩa là, tập đó không là hợp của hai tập con đóng thực sự Với mỗi tập các đa thức T ⊆ A, ký hiệu I là iđêan sinh bởi T Khi đó
V (T ) = V (I) Ngược lại, với bất kì một tập con Y ⊆ An, ta định nghĩa iđêan củaY trong Abởi
I(Y ) = {f ∈ A|f (P ) = 0với mọi P ∈ Y }
Mối quan hệ giữa iđêan và tập không điểm được mô tả trong Định lý không điểm Hilbert như sau
Định lý 1.1.2 (Định lý không điểm Hilbert) [1, Định lý 4.6] Cho một iđêan
I ⊂ A Nếu một đa thức f ∈ A thỏa mãn f (P ) = 0 với mọi P ∈ V (I), thì
fr ∈ I với một số nguyên r > 0nào đó.
Định lý không điểm Hilbert cho ta một mối quan hệ quan trọng giữa các đa tạp afin trong An với các iđêan nguyên tố của vành đa thứcA Ta sẽ thấy rõ điều
đó thông qua hệ quả sau đây
một tương ứng 1-1 giữa các iđêan căn và các tập đại số Qua tương ứng này các đa tạp afin tương ứng với các iđêan nguyên tố Hơn nữa, các iđêan cực đại tương ứng với các điểm đóng.
Dưới đây là một số ví dụ về tập đại số bất khả quy (hay đa tạp afin)
tố trongA
Trang 11(b) Nếuf là một đa thức bất khả quy trong k[x, y]thì V (f ) là bất khả quy Ta gọi đa tạp afinY := V (f )là một đường cong phẳng Nếu f có bậcdthì ta nóiY là đường cong bậcd Tổng quát hơn, nếuf là một đa thức bất khả quy trongA = k[x1, , xn]thì ta cũng nhận được một đa tạp afin Y = V (f ),
được gọi là một siêu mặt.
(c) XétX là tập các ma trận cỡ3 × 3hạng1trên trườngk Khi đó,X sẽ là một
đa tạp afin trong A9 Thật vậy, một ma trậnP bất kì thuộcX sẽ có dạng
P =
x1 x2 x3
x4 x5 x6
x7 x8 x9
Vì hạng củaP bằng1nên mọi định thức con cấp2củaP đều bằng0, tức
xixj − xkxl = 0với i + j = k + l, i, j, k, l = 1, , 9
Do đó X = V ({xixj − xkxl|i + j = k + l}) là một tập đại số Để chứng minhX là bất khả quy, ta xét ánh xạ sau
θ : A3 ×A3 → X,
((a1, a2, a3), (b1, b2, b3)) 7→
a1
a2
a3
b1 b2 b3
Vì mỗi ma trận hạng1 bất kì đều có thể viết được thành tích của hai véctơ trong không gian véctơk3 nên ánh xạ θ là một toàn cấu, hayX = θ(A3 ×
A3) Vì A3 ×A3 ∼=
A6 là tập bất khả quy với tô pô Zariski nênX cũng sẽ
là tập bất khả quy Vì vậyX là một đa tạp
dim(X) := sup{n|tồn tại một dãy Z0 ⊂ Z1 ⊂ ⊂ Zn
các tập con đóng bất khả quy của X}
Trang 12Định nghĩa 1.1.6 NếuX ⊆ An là một đa tạp đại số thì vànhk[X] = A/I(X)
được gọi là vành tọa độ củaX
chiều Krull của vành tọa độk[X].
Đa tạp xạ ảnh là tập con của không gian xạ ảnh, được định nghĩa tương tự như đa tạp afin
điểmcủa một đa thức thuần nhấtf ∈ S := k[x0, , xn]nếu
f (a0, , an) = 0
Khi đó ta cũng viếtf (P ) = 0
ĐặtV (f ) = {P ∈ Pn|f (P ) = 0} Với mỗi tập conT ⊂ S gồm các đa thức thuần nhất, đặt
V (T ) = {P ∈ Pn|f (P ) = 0 với mọif ∈ T }
Các tậpV (T ) ⊆ Pn như vậy được gọi là các tập đại số (xạ ảnh)
Tương tự như các tập đại số trong không gian afin, các tập đại số xạ ảnh thoả mãn các tiên đề của tập đóng của một tô pô Tô pô này trên Pn được gọi là tô pô Zariski, trong đó các tập mở là phần bù của các tập đại số
Định nghĩa 1.1.9 Một đa tạp đại số xạ ảnh (hay đa tạp xạ ảnh) là một tập đại
số bất khả quy của Pn
Tương tự như với trường hợp afin, số chiều của một tập đại số xạ ảnh là độ dài lớn nhất các dãy tập đóng bất khả quy lồng nhau trong tập đại số đó
Với mỗi tập conX ⊂ Pn, xét iđêanI(X)sinh bởi các đa thức thuần nhất
{f ∈ S|f là thuần nhất và f (P ) = 0với mọi P ∈ Y }
Trang 13IđêanI(X)là thuần nhất và được gọi là iđêan định nghĩa củaX Ta định nghĩa vành tọa độ thuần nhất củaX là A(X) = S/I(X) Tương tự trường hợp afin,
ta có định lý không điểm xạ ảnh như sau
Định lý 1.1.10 (Định lý không điểm Hilbert xạ ảnh) Cho một iđêan thuần
nhất I ⊆ S := k[x0, , xn] Nếu một đa thức thuần nhất f ∈ S thỏa mãn
f (P ) = 0với mọiP ∈ V (I)trong Pn, thìfr ∈ I với một số nguyên r > 0nào đó.
θ : An+1\ {(0, , 0)} → Pn,
(a0, , an) 7→ [a0 : : an]
Khi đó ta định nghĩa nón afin củaX là
C(X) = θ−1(X) ∪ {(0, , 0)}
Nón afinC(X)là tập không điểm trong không gian afin An+1 của iđêanI(X),
do đó là một đa tạp afin
Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại khái niệm hàm chính quy trên một đa tạp và ánh xạ chính quy (cấu xạ) giữa các đa tạp
Giả sử X là một đa tạp afin hoặc xạ ảnh Chú ý rằng trên X cũng có tô pô Zariski cảm sinh từ không gian afin hoặc không gian xạ ảnh chứaX
tồn tại một lân cận mở U của điểm P và các đa thức thuần nhất g, h ∈ S = k[x0, , xn], có cùng bậc, sao cho với mọi điểm Q = (a0 : : an) ∈ U, h(a0, , an) 6= 0 và f (a0, , an) = g(a0, , an)/h(a0, , an) Ta nói f
là chính quy trênX nếu nó chính quy tại mọi điểm thuộcX
Nếu hàm f : X → k là chính quy tại Q = (a0 : : an) ∈ X thì giá trị
f (a0, , an) = g(a0, , an)/h(a0, , an)như trong định nghĩa trên không
Trang 14phụ thuộc việc chọn toạ độ xạ ảnh (a0 : a1 : : an) của Q, do đó ta ký hiệu
f (Q) := f (a0, , an)
Ký hiệu O(X) là tập hợp tất cả các hàm chính quy trên X Với phép cộng
và nhân thông thường, O(X) là một vành Nếu P là một điểm của X, ta định nghĩa vành địa phương củaP trênX, kí hiệu làOX,P, là tập hợp gồm các mầm hàm của các vành chính quy trên X tại điểm P Nói cách khác, một phần tử củaOX,P là một bộ< U, f > trong đóU là một tập con mở củaX chứa P, f
là một hàm chính quy trên U và ta đồng nhất hai cặp < U, f > và < V, g > nếuf = g trên giaoU ∩ V Tập hợp OX,P thực sự là một vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất gồm các hàm triệt tiêu tạiP
Tập hợp K(X) = ∪P ∈XOX,P trong đó ta đồng nhất < U, f >=< V, g > nếu f = g trên giao U ∩ V Với phép cộng và nhân của các mầm hàm, tập K(X)là một trường và được gọi là trường hàm của đa tạpX Các phần tử của K(X)được gọi là các hàm hữu tỷ trênX
afin) Một cấu xạ ϕ : X → Y là một ánh xạ liên tục đối với tô pô Zariski sao cho với mỗi tập mở V ⊆ Y và với mỗi hàm chính quy f : V → k, hàm
f ◦ ϕ : ϕ−1(V ) → k là chính quy
Hợp của hai cấu xạ cũng là một cấu xạ Đặc biệt, một cấu xạ ϕ : X → Y
là một đẳng cấu giữa hai đa tạp nếu nó có cấu xạ ngược ψ : Y → X với
ψ ◦ ϕ = idX vàϕ ◦ ψ = idY
xạ hữu tỷ ϕtừ X vàoY là một lớp tương đương gồm các cặp< U, ϕU >, với
U là một tập mở khác rỗng củaX và ϕU là một cấu xạ từU vàoY, và hai cặp
< U, ϕU >và < V, ϕV > là tương đương nếuϕU = ϕV trênU ∩ V, khi đó ta
kí hiệuϕ : X 99K Y Hơn nữa ánh xạ hữu tỷϕđược gọi là trội nếu với mỗi cặp
< U, ϕU > thì ảnh củaϕU là trù mật trong Y
Trang 15Khác với cấu xạ giữa hai đa tạp, hợp của hai ánh xạ hữu tỷ chưa chắc đã là một ánh xạ hữu tỷ Tuy nhiên nếu hai ánh xạ hữu tỷ là trội thì hợp của chúng sẽ
là một ánh xạ hữu tỷ Vì vậy chúng ta thường sẽ quan tâm đến các ánh xạ hữu
tỷ trội giữa hai đa tạp Khi đó ta có khái niệm sau
ánh xạ song hữu tỷ nếu tồn tại một ánh xạ hữu tỷ trội ψ : Y 99K X sao cho
ψ ◦ ϕ : X 99K X và ϕ ◦ ψ : Y 99K Y là các ánh xạ đồng nhất trên các tập mở, trù mật củaX và Y Nếu tồn tại một ánh xạ song hữu tỷ từX vàoY thì ta nói hai đa tạpX vàY là tương đương song hữu tỷ.
1.2 Không gian tiếp xúc
Không gian tiếp xúc là một đối tượng quan trọng để tìm hiểu các tính chất hình học của một đa tạp Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của không gian tiếp xúc của các đa tạp Tài liệu tham khảo chính của mục này là quyển sách [3]
Trước hết ta xét X là một siêu mặt trong không gian afin An, tức
X = V (f ) = {(x1, , xn) ∈An|f (x1, , xn) = 0},
trong đóf ∈ k[x1, , xn]là một đa thức bất khả quy
mặtX tại điểmP được xác định bởi
TPX =
( (x1 , xn) ∈An|
n
X
i=1
∂f
∂xi
(P )(xi − ai) = 0
)
TậpTPX là một tập con tuyến tính của không gian afin An vàP ∈ TPX
i(P ) 6= 0 với mộti nào đó Nếu trái lại, P được gọi là một điểm kì dị củaX Ta ký hiệu tập các điểm trơn trênX làXsmooth, tập các điểm kỳ dị là Xsing