Tªp con W kh¡c réng cõa V ÷ñc gåi l khæng gian vectì con (hay khæng gian con) cõa khæng gian vectì V n¸u W còng vîi hai ph²p to¡n cõa V t¤o th nh mët khæng gian v²c tì thüc.. ành l½.[r]
Trang 1¤i sè, gi£i t½ch v ùng döng
Nguy¹n Thà Nhung
Bë mæn To¡n - ¤i håc Th«ng Long
Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011
Ch֓ng II
Khæng gian v²c tì v ¡nh x¤ tuy¸n t½nh
Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m khæng gian v²c tì
ành ngh¾a
Cho V l mët tªp hñp kh¡c réng vîi c¡c ph¦n tû ÷ñc kþ hi»u l : α, β, γ
Ta x²t còng vîi V tªp hñp sè thüc R vîi c¡c ph¦n tû ÷ñc kþ hi»u l
a, b, c, x, y, z Tr¶n V ta câ hai ph²p to¡n sau:
Ph²p cëng hai ph¦n tû cõa V :
pα, βq ÞÑ α β Ph²p nh¥n mët ph¦n tû cõa V vîi mët sè thüc:
px, αq ÞÑ x.α
Ghi chó
Ghi chó
Ghi chó
Trang 2Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m khæng gian v²c tì
ành ngh¾a
Khi â V ÷ñc gåi l mët khæng gian v²c tì thüc n¸u V còng vîi hai ph²p
to¡n ÷ñc ành ngh¾a ð tr¶n thäa m¢n t¡m ti¶n · sau:
Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì
Chó þ:
C¡c ph¦n tû cõa V ÷ñc gåi l c¡c vectì, c¡c sè thüc trong R ÷ñc
gåi l c¡c væ h÷îng Ph²p nh¥n mët ph¦n tû cõa V vîi mët sè thüc
÷ñc cán ÷ñc gåi l ph²p nh¥n væ h÷îng
· thù 3 ÷ñc gåi l ph¦n tû èi cõa α v ÷ñc kþ hi»u l pαq Ta
s³ vi¸t α pβq l α β v gåi l hi»u cõa hai vectì α, β
C¥u häi: N¶u c¡ch kiºm tra pV , , q l mët khæng gian v²c tì v
pV , , q khæng l khæng gian v²c tì tr¶n R :
Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì V½ dö v· khæng gian v²c tì
Rn tpa1,a2, ,anq | ai P R , i 1, nu
Vîi α pa1,a2, ,anq, β pb1,b2, ,bnq l hai ph¦n tû tòy þ thuëc Rn
v x l mët ph¦n tû tòy þ thuëc R , ta ành ngh¾a ành ngh¾a ph²p cëng v
α β pa1,a2, ,anq pb1,b2, ,bnq pa1 b1,a2 b2, ,an bnq,
xα xpa1,a2, ,anq pxa1,xa2, ,xanq
vectì thüc vîi v²c tì khæng l Θ p0, 0, , 0q, v²c tì èi cõa v²c tì
α pa1,a2, ,anq l α pa1,a2, ,anq
Ghi chó
Ghi chó
Ghi chó
Trang 3Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì V½ dö v· khæng gian v²c tì
còng vîi ph²p cëng hai ma trªn v nh¥n ma trªn vîi mët sè l mët khæng
gian v²c tì tr¶n tªp sè thüc
Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian v²c tì
M»nh ·
Cho V l mët khæng gian vectì thüc, khi â ta câ c¡c kh¯ng ành sau:
Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Khæng gian v²c tì con
ành ngh¾a khæng gian v²c tì con
ành ngh¾a
Gi£ sû V l mët khæng gian vectì thüc Tªp con W kh¡c réng cõa V ÷ñc
gåi l khæng gian vectì con (hay khæng gian con) cõa khæng gian vectì V
n¸u W còng vîi hai ph²p to¡n cõa V t¤o th nh mët khæng gian v²c tì
thüc
ành l½
Gi£ sû V l mët khæng gian vectì thüc Tªp con W kh¡c réng cõa V l
khæng gian vectì con (hay khæng gian con) cõa V n¸u hai i·u ki»n sau
÷ñc thäa m¢n:
Ghi chó
Ghi chó
Ghi chó
Trang 4Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Khæng gian v²c tì con Kiºm tra mët tªp l khæng gian v²c tì con
C¥u häi: N¶u c¡ch kiºm tra mët tªp con W l khæng gian v²c tì con v
khæng l khæng gian v²c tì con cõa khæng gian v²c tì V :
Kh¡i ni»m v· khæng gian v²c tì Khæng gian v²c tì con V½ dö
W1 tpx, yq P R2|y 2xu
W3 tpx, yq P R2|y x2u
Nhªn x²t:
Cì sð v sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Tê hñp tuy¸n t½nh
Kh¡i ni»m v· biºu thà tuy¸n t½nh
ành ngh¾a
Cho V l mët khæng gian vectì thüc v α1, α2, , αm l m vectì thuëc
V , pm ¥ 1q Khi â
Mët tê hñp tuy¸n t½nh cõa α1, α2, , αm l v²c tì câ d¤ng
x1α1 x2α2 xmαm,xiP R , i 1, m
V²c tì α ÷ñc gåi l tê hñp tuy¸n t½nh hay α biºu di¹n tuy¸n t½nh cõa
m vectì α1, α2, , αm n¸u tçn t¤i nhúng sè thüc xi, i 1, m sao
cho
α x1α1 x2α2 xmαm
hay mët c¡ch t÷ìng ÷ìng h» ph÷ìng tr¼nh
α x1α1 x2α2 . xmαm câ nghi»m x1,x2, ,xm
Ghi chó
Ghi chó
Ghi chó
Trang 5Cì sð v sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Tê hñp tuy¸n t½nh
V½ dö
Cho hai v²c tì α p1, 4, 2q, β p1, 2, 2q v γ cp0, 1, 2q
v γ khæng?
Cì sð v sè chi·u cõa khæng gian v²c tì H» v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh v phö thuëc tuy¸n t½nh
Kh¡i ni»m v· h» ëc lªp tuy¸n t½nh v phö thuëc tuy¸n t½nh
ành ngh¾a
Cho m vectì α1, α2, , αm cõa khæng gian vectì V , m ¥ 1
1 H» vectì α1, α2, , αm ÷ñc gåi l phö thuëc tuy¸n t½nh n¸u tçn
t¤i m ph¦n tû x1,x2, ,xm P K khæng çng thíi b¬ng 0 sao cho
x1α1 x2α2 xmαm θ
2 H» vectì α1, α2, , αm ÷ñc gåi l ëc lªp tuy¸n t½nh n¸u nâ khæng
xmαm θ k²o theo x1 x2 xm 0
Nhªn x²t: Mët h» v²c tì l phö thuëc tuy¸n t½nh khi v ch¿ khi mët v²c
tì biºu thà tuy¸n t½nh qua c¡c v²c tì cán l¤i
Cì sð v sè chi·u cõa khæng gian v²c tì H» v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh v phö thuëc tuy¸n t½nh
V½ dö
c¡ch h¼nh håc nh÷ sau:
Hai vectì còng ph÷ìng l phö thuëc tuy¸n t½nh
Hai vectì khæng còng ph÷ìng l ëc lªp tuy¸n t½nh
Ba vectì çng ph¯ng l phö thuëc tuy¸n t½nh
Ba vectì khæng çng ph¯ng l ëc lªp tuy¸n t½nh
Bèn vectì b§t ký l phö thuëc tuy¸n t½nh
Ghi chó
Ghi chó
Ghi chó
Trang 6Cì sð v sè chi·u cõa khæng gian v²c tì H» v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh v phö thuëc tuy¸n t½nh
V½ dö
X²t sü ëc lªp tuy¸n t½nh v phö thuëc tuy¸n t½nh cõa c¡c v²c tì sau v
rót ra nhªn x²t
a 1 p1, 0, 0q, 2 p0, 1, 0q, 3 p0, 0, 1q
b α1 p1, 2, 3q, α2 p2, 1, 1q, α3 p3, 1, 4q
Cì sð v sè chi·u cõa khæng gian v²c tì H» v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh v phö thuëc tuy¸n t½nh
ành l½ v· sü ltt v pttt
ành l½
Cho h» v²c tì α1, α2, , αm trong khæng gian v²c tì Rn Gåi A l ma
trªn câ c¡c dáng l α1, α2, , αm Khi â
Cì sð v sè chi·u cõa khæng gian v²c tì H» v²c tì ëc lªp tuy¸n t½nh v phö thuëc tuy¸n t½nh
T½nh ch§t cõa h» ltt v pttt
M»nh ·
h» phö thuëc tuy¸n t½nh
h» ëc lªp tuy¸n t½nh
Ghi chó
Ghi chó
Ghi chó
Trang 7Cì sð v sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Cì sð v sè chi·u cõa khæng gian v²c tì
ành ngh¾a cì sð cõa khæng gian v²c tì
ành ngh¾a
Cho V l mët khæng gian v²c tì H» vectì α1, α2, , αm ÷ñc gåi l mët h»
sinh cõa V n¸u måi vectì α P V ·u biºu thà tuy¸n t½nh qua α1, α2, , αm,
tùc l :
@α P V , Dx1,x2, ,xm P R : α x1α1 x2α2 xmαm
Cì sð v sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Cì sð v sè chi·u cõa khæng gian v²c tì
V½ dö
H¢y chùng tä 1 p1, 0, 0q, 2 p0, 1, 0q, 3 p0, 0, 1q l mët h» sinh cõa
R3
Cì sð v sè chi·u cõa khæng gian v²c tì Cì sð v sè chi·u cõa khæng gian v²c tì
ành ngh¾a cì sð cõa kgvt
ành ngh¾a
Cho V l mët khæng gian v²c tì H» vectì α1, α2, , αn ÷ñc gåi l mët
cì sð cõa V n¸u α1, α2, , αn l h» sinh v ëc lªp tuy¸n t½nh trong V
V½ dö:
H» v²c tì 1 p1, 0, 0q, 2 p0, 1, 0q, 3 p0, 0, 1q l mët cì sð cõa
R3
H» v²c tì 1 p1, 0, , 0q, 2 p0, 1, , 0q, , n p0, 0 , 1q l
Ghi chó
Ghi chó
Ghi chó