Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - ThS. Nguyễn Phương - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

hộp ra 2 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm lấy được. Biết rằng các lần ném độc lập với nhau và khả năng ném bóng vào rổ ở mỗi lần ném là 0,3. Gọi X là số lần người đó đã ném.. a[r]

Chương 2:

BIẾN NGẪU NHIÊN

Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản

Trường Đại học Ngân hàng TPHCM

Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com

Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504

Ngày 17 tháng 2 năm 2014

1 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa

Phân loại biến ngẫu nhiên

2 Phân phối xác suất

Phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục Hàm phân phối xác suất

3 Các giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode - Giá trị tin chắc nhất

Median - Trung vị

Expectation - Kỳ vọng

Variance - Phương sai

Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên là một phép tương ứng mỗi phần tửω của Ω với một số thực

X : Ω −→ R

ω 7−→ X(ω) Tập giá trị của X được kí hiệu là X(Ω)

Ví dụ:

1 Tung hai con xúc xắc, gọi X là tổng số chấm của hai con xúc xắc Ta có

X : ω = (ω1;ω2) −→ω1+ω2

2 Lấy ý kiến khách hàng về một loại sản phẩm ta được Ω={"Kém","Bình thường","Tốt"}

Khi đó, ta đặt X : Ω −→ R

Dựa vào tập giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia biến ngẫu nhiên làm 2 loại: Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên rời rạc)

Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập đếm được (hữu hạn hoặc vô hạn) được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc

X là bnn rời rạc

⇔ X(Ω) =

"

{x1, x2, , xn} , Ω có n phần tử

{x1, x2, , xn, } , Ω có vô hạn phần tử đếm được

Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên liên tục)

Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập không đếm được, được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục

Ví dụ:

1 Tung 3 con xúc xắc cân đối Gọi X là tổng số chấm của 3 con xúc xắc Ta

có X là bnnrr và X(Ω) = {3, , 18}

2 Một người ném bóng vào rổ từ vị trí cách rổ 5m đến khi nào vào rổ thì ghi nhận lại số lần ném bóng của mình (X) Ta có X là bnnrr và X(Ω) = N∗

3 Đo mực nước biển ở đảo Cát Bà cho thấy nó dao động từ 3,3m đến 3,9m Gọi X là mực nước biển ở đảo Cát Bà ở một thời điểm ngẫu nhiên Ta có

X là bnnlt và X(Ω) = [3, 3; 3, 9]

Định nghĩa

Phân phối xác suất của X còn được gọi là bảng phân phối xác suất của X, cho biết khả năng X nhận mỗi giá trị trong X(Ω) tương ứng

X x1 x2 xn

P p1 p2 pn với P(X = xi) = pi

Tính chất (1)

X

i

pi = p1+ · · · + pn+ · · · = 1

Tính chất (2)

P(a ≤ X< b) = X

a≤x i <b

pi, xi∈ X(Ω)

Ví dụ:

1 Một hộp sản phẩm có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm để kiểm tra Gọi X là số phế phẩm lấy được

a) Tìm phân phối xác suất của X

b) Tính P(X ≤ 1)

2 Một người ném bóng từ vị trí cách rổ 5m cho đến khi ném vào rổ thì dừng Biết rằng các lần ném độc lập với nhau và khả năng ném bóng vào

rổ ở mỗi lần ném là 0,3 Gọi X là số lần người đó đã ném

a) Tìm phân phối xác suất của X

b) Tính xác suất người đó phải ném ít nhất 3 lần

Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục:

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X được đặc trưng bởi hàm mật độ xác suất f(x) có các tính chất sau:

f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R

+∞

Z

−∞

f(x)dx = 1

P(a ≤ X ≤ b) =

b

Z

a

f(x)dx

Ví dụ:

Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất:

f(x) =







0 , x < 1 c

x2 , x ≥ 1 a) Xác định c

b) Tìm P(−1 ≤ X ≤3

2).

Định nghĩa (Hàm phân phối xác suất)

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là FX(x), là hàm được xác định bởi:

FX(x) = P(X< x), x ∈ R Hàm phân phối xác suất cho biết khả năng X nhận giá trị từ −∞ đến x Nếu X là bnnrr thì

FX(x) =X

xi<x

P(X = xi) =X

xi<x

pi

Nếu X là bnnlt thì FX(x) =

x

R

−∞

f(t)dt