Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - ThS. Nguyễn Phương - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

tử (lấy một lần n phần tử hoặc lấy n lần không hoàn lại mỗi lần một phần tử). Gọi X là số phần tử có tính chất A có trong n phần tử chọn ra từ tập T.. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 4 quả[r]

Chương 3:

CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản

Trường Đại học Ngân hàng TPHCM

Blog: https://nguyenphuongblog@wordpress.com

Email: nguyenphuong0122@gmail.com

Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 17 tháng 2 năm 2014

1 Phân phối nhị thức

2 Phân phối siêu bội

3 Phân phối Poisson

4 Phân phối chuẩn

5 Phân phối chi bình phương

6 Phân phối Student

7 Phân phối Fisher

Dãy phép thử Bernoulli

Dãy n phép thử được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu:

- Các phép thử độc lập với nhau

- Xác suất biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử là như nhau, P(A) = p Công thức Bernoulli

Xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong n phép thử, được ký hiệu Pn(k)

và xác định bởi công thức

Pn(k) = Cknpkqn−k k = 0, , n

Định nghĩa

X có phân phối nhị thức với tham số n, p, kí hiệu làX ∼B(n, p), nếu tập giá trị của X làX(Ω) = {0, 1, , n}và

Ví dụ

Một phân xưởng có 10 máy hoạt động độc lập Xác suất để trong 1 ngày mỗi máy bị hỏng là 0,1

a) Tính xác suất trong 1 ngày có 2 máy bị hỏng

b) Tính xác suất trong 1 ngày có không quá 2 máy bị hỏng

Tính chất

NếuX ∼B(n, p)thì

i) E(X) = np; Var(X) = np(1 − p) = npq;

ii) np − q ≤ Mod(X) ≤ np + p;

iii) với x, h là 2 số nguyên dương thì

P(x ≤ X ≤ x + h) = P(X = x) + P(X = x + 1) + + P(X = x + h)

Ví dụ

Một phân xưởng có 100 máy hoạt động độc lập Xác suất trong một ca sản xuất mỗi máy bị hỏng là như nhau và bằng 2% Gọi X là số máy bị hư trong một ca sản xuất

a) Tính E(X), Var(X)

b) Nếu mỗi kỹ sư có thể sửa chữa tối đa được 2 máy bị hỏng trong 1 ca sản xuất thì nhà máy cần bố trí trực sửa chữa mỗi ca bao nhiêu kỹ sư là hợp

lý nhất

Ví dụ

Trong bình có 10 viên bi trong đó có 6 viên bi trắng và 4 viên bi đen Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi, nếu gọi X là số viên bi trắng có trong 3 bi lấy ra thì giá trị có thể của biến ngẫu nhiên X là 0, 1, 2, 3 Xác suất để lấy được 1 bi trắng là

P(X = 1) =

C1

6C2 4

C3 10

Xác suất lấy được k viên bi trắng

P(X = k) =

Ck

6C3−k 4

C3 10

trong đó k = 0, 1, 2, 3

Mô hình tổng quát

Tổng quát, một tập T gồm có N phần tử, trong đó có NAphần tử có tính chất

A và N − NAphần tử không có tính chất A Từ tập T ta lấy ngẫu nhiên n phần

tử (lấy một lần n phần tử hoặc lấy n lần không hoàn lại mỗi lần một phần tử) Gọi X là số phần tử có tính chất A có trong n phần tử chọn ra từ tập T Khi đó X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị k sao cho







0 ≤ k ≤ n

n − (N − NA) ≤ k ≤ NA

Nếu kí hiệu k1= max{0, n − (N − NA)} và k2= min(n, NA) thì miền giá trị của

X là

S = {k ∈ N : k1≤ k ≤ k2}

và

P(X = k) =

CkN

ACn−kN−N

A

Cn N

, k ∈ S

Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nguyên dương k ∈ S với xác suất tương ứng

P(X = k) =

Ck

NACn−k N−NA

Cn N

thì ta gọi X có phân phối siêu bội với tham số N, NA, n, kí hiệu

X ∼ H(N, NA, n)

Ví dụ

Có một cái hộp chứa 8 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 4 quả cầu Gọi X là số quả cầu trắng lấy được Tính xác suất

a) Lấy được ít nhất 1 quả cầu trắng

b) Lấy được 2 quả cầu trắng

Tính chất

Nếu biến ngẫu nhiênX ∼ H(N, NA, n)thì

i) E(X) = np với p =NA

N ;

ii) Var(X) = npqN − n

N − 1 với q = 1 − p.

Ví dụ

Có một cái hộp chứa 8 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 4 quả cầu Gọi X là số quả cầu trắng lấy được Tính E(X), Var(X)

Ví dụ

Một trò chơi có 3 quân bài đỏ và 5 quân bài đen, bốc ngẫu nhiên ra 3 quân bài Nếu bốc được quân bài đỏ thì được 7 USD, nếu bốc phải quân bài đen thì mất

5 USD Tính số tiền trung bình người chơi có thể thu được trong một lần chơi

Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức

Định lí: NếuX ∼ H(N, NA, n), n cố định, N → ∞ và NA

N → p (p , 0, p , 1) thì

X→F B(n, p)

Ý nghĩa trong thực hành

1 Nếu X ∼ H(N, NA, n), nếu N khá lớn; n rất nhỏ so với N thì

P(X = k) ≈ Cknpkqn−k p = NA

N .

Công thức xấp xỉ khá tốt khin< 0, 05N

2 Khi N khá lớn so với n Việc lấy ra n phần tử từ tổng thể N phân tử theo phương thức: có hoàn lại hay không hoàn lại, được coi là như nhau

Ví dụ

Một lô hàng có 1000 sản phẩm, có tỷ lệ sản phẩm loại A là 80% Lấy ngẫu