Một hàm số f xác định trên một tập hợp là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số với một số thực y xác định duy nhất. D : tập xác định (TXĐ) của hàm số f.[r]
Trang 1LOG O
TOÁN CAO CẤP
C1
GV Phan Trung Hiếu
45 tiết
2
Kiểm tra, đánh giá kết quả:
-Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):
Dự lớp đầy đủ: 10 điểm
Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1 điểm
Chỉ được vắng 1 ngày có phép
-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
2
Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
3
-Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:
1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1
câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không
trừ điểm).
Chỉ được cộng tối đa 2 điểm.
Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
4
-Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:
Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm
bài: -0,5 điểm/lần
Khi không có SV xung phong lên làm thì GV
sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ trên xuống:
-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5 điểm/lần
Trang web môn học:
5
https://sites.google.com/site/sgupth
SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng
tuần, điểm quá trình trên trang web sau:
6
Nội dung:
Chương 1: Hàm số một biến số.
Chương 2: Hàm số liên tục.
Chương 3: Đạo hàm và vi phân hàm
một biến.
Chương 4: Tích phân.
Chương 5: Hàm nhiều biến.
Chương 6: Phương trình vi phân.
6
Trang 2Tài liệu học tập:
[1] Bài giảng trên lớp
[2] Lê Văn Hốt, Toán cao cấp (Phần 2: Giải
tích), Trường ĐH Kinh tế Tp HCM, NXB
Giáo dục
Dụng cụ hỗ trợ học tập:
Máy tính FX 500MS, FX 570MS,
FX 570ES, FX 570ES Plus.
8
LOG O
Chương 1:
Hàm số một biến số
GV Phan Trung Hiếu
§1 Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số
§2 Giới hạn của hàm số
§3 Phương pháp tính giới hạn của hàm số
10
về hàm số một biến số
I Biến số:
Biến số là một ký hiệu mà ta có thể gán cho nó một
số bất kì thuộc tập số cho trước
Tập hợp X được gọi là miền biến thiên (MBT) và
mỗi số thực được gọi là một giá trị của biến
số đó
Các biến số thường được ký hiệu bằng các chữ cái:
x, y, z, …
0
Các biến số kinh tế:
Ký hiệu
Ý nghĩa Tiếng Anh
Ký hiệu
Ý nghĩa Tiếng Anh
(pi)
Lợi nhuận Profit P Đơngiá Price
C Chi phí Cost Q Sảnlượng Quantity
D Cầu Demand Q D Lượngcầu Quantity Demanded
R Doanhthu Revenue Q S Lượngcung Quantity Supplied
Trang 3II Hàm số:
13
2.1 Định nghĩa:
Một hàm số f xác định trên một tập hợp là
một quy tắc đặt tương ứng mỗi số với một số
thực y xác định duy nhất
D: tập xác định (TXĐ) của hàm số f.
x: biến độc lập (biến số).
y: biến phụ thuộc (hàm).
f(x): giá trị của hàm số f tại x.
:
( )
f D
D
( ) { ( ), }:
f D y y f x x D Tập giá trị (TGT)
của hàm số f.
14
( , ( )) :
G x f x x D Đồ thị của hàm số f.
Chú ý:Hình chiếu của đồ thị lên trục hoành chính
là TXĐ, hình chiếu của đồ thị lên trục tung là TGT
15
Ví dụ 2.1: Đồ thị dưới đây cho thấy mức tiêu thụ điện
trong một ngày vào tháng 9 ở San Francisco (P được
tính bằng MW, t được tính bằng giờ, bắt đầu vào lúc nửa
đêm)
a) Mức tiêu thụ điện
vào lúc 6h sáng và
6h tối là bao nhiêu?
b) Hãy cho biết tập
xác định và tập giá
trị của hàm số P(t).
c) Mức tiêu thụ điện
khi nào là thấp nhất?
Cao nhất? Thời gian
đó có hợp lý không?
16
1.2 Các phương pháp biểu diễn hàm số:
Biểu diễn hàm số bằng biểu thức:
Ví dụ 2.2: Tổng chi phí sản xuất x đơn vị sản
phẩm được cho bởi Tìm chi phí sản xuất ra 100 đơn vị sản phẩm.
( ) 100 500
17
Sản lượng Q
Lợi nhuận
a) Tìm lợi nhuận khi sản lượng là 1100kg.
b) Tìm sản lượng sao cho lợi nhuận là 27 triệu đồng.
Biểu diễn hàm số dưới dạng bảng số liệu:
Ví dụ 2.3: Một doanh nghiệp muốn biết lợi
nhuận có quan hệ như thế nào với sản lượng
nên lập bảng theo dõi và có được kết quả sau
18
Hàm số xác định từng khúc:
Hàm số trong ví dụ sau được xác định bởi các công thức khác nhau trong từng khúc khác nhau của tập xác định của nó.
Trang 4Ví dụ 2.4: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá
3ngàn/km nếu quãng đường chạy xe không quá 100
km Nếu quãng đường chạy xe vượt quá 100 km thì
ngoài số tiền phải trả cho 100 km đầu còn phải trả
thêm 1,5 ngàn/km Gọi x là số km xe thuê đã chạy và
C(x) là chi phí thuê xe.
a) Viết hàm số C(x).
b) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạy
được 50km.
c) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạy
được 150km.
d) Vẽ đồ thị hàm số C(x).
III Các hàm số cơ bản:
20
Hàm lũy thừa: y x ( ).
Hàm mũ: y ax (0 a 1).
Hàm logarit: y logax (0 a 1).
Hàm lượng giác:
Hàm lượng giác ngược:
Hàm hằng: y C
3.1 Các hàm số sơ cấp cơ bản:
21
Chú ý:
sin(arcsin ) x x ( 1 x 1).
2 x 2
cos(arccos ) x x ( 1 x 1).
arccos(cos ) x x (0x)
tan(arctan ) x x ( x ).
2 x 2
cot(arc cot ) x x ( x ).
arc cot(cot ) x x (0x)
22
3.2 Các hàm số sơ cấp:là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các hàm số sơ cấp cơ bản
Ví dụ 3.1: Trong kinh tế học, ta thường gặp các
dạng hàm số sơ cấp sau
1
y a x a x a
Hàm đa thức (hàm nguyên):
Hàm phân thức (hàm hữu tỷ):
( ) ( )
P x y
Q x P(x) và Q(x) là các đa thức.
3.3 Hàm hợp: Giả sử y=f(u) là hàm số của
biến số u, đồng thời u=g(x) là hàm số của biến
số x Khi đó, y=f(u)=f(g(x)) là hàm số hợp của
biến số x thông qua biến số trung gian u Ký
hiệu
( f g x )( ) f g x ( )
Ví dụ 3.2: Cho hàm số
2
3.4 Hàm ngược:Cho hàm số y = f(x) có TXĐ là X
và TGT là Y Nếu với mỗi giá trị chỉ tồn tại duy
nhất một giá trị sao cho , nghĩa là
pt chỉ có 1 nghiệm trong tập X thì từ hệ thức y = f(x) ta có thể xác định được một hệ thức tính được x theo y, ký hiệu là
0
y Y
0
x X f x( )0 y0
0 ( )
f x y
1( )
x f y
ngược của hàm số
1( ),
x f y y Y
y f x xX
Ví dụ 3.3:
2
yx x y 2
2
yx
Trang 5Ví dụ 3.4: Lượng cầu D của một mặt hàng phụ thuộc
vào giá P trên một đơn vị sản phẩm được cho bởi
Nếu D = 10 thì P bằng bao nhiêu?
3
30
D P
26
3.5 Một số hàm số một biến số trong kinh tế:
Hàm sản xuất:Q f L ( ), Q: sản lượng, L: lao động
Hàm doanh thu:RR Q( )
Hàm chi phí:CC Q( )
Hàm lợi nhuận:( ).Q
Hàm cung:Q sS P( )
Hàm cầu:Q DD P( )
27
§2 Giới hạn của hàm số
I Định nghĩa về giới hạn của hàm số:
28
Ví dụ 1.1: Xét hàm số khi các giá trị
của x gần 2 Bảng dưới đây, cho thấy giá trị của hàm f(x) khi x tiến dần về 2 nhưng không bằng 2
2
29
Định nghĩa 2.1.Cho hàm số f(x) xác định trên tập
giới hạn là L khi ký hiệu là
Với điều kiện ta có thể làm cho các giá trị của f(x)
gần L, và giữ chúng nằm gần đó, bằng cách lấy x đủ
gần nhưng không được bằng
Ngoài ra, ta còn có thể ký hiệu
khi
đọc là f(x) tiến dần về L khi x tiến dần về
0
0
0
lim ( )
( )
f x L xx0
0
0
x
30
Ví dụ 1.2: Dự đoán giá trị của
2 1
1
1
x
x a x
8 4 4
x
Trang 6Định nghĩa 2.2 (Giới hạn một phía):
▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi và
thì ta nói f(x) có giới hạn bên phải tại x0 Ký
hiệu
▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi và
thì ta nói f(x) có giới hạn bên trái tại x0 Ký
hiệu
0
0
0
0
x x
Định lý 2.3: Giới hạn hàm số (nếu có) là duy nhất.
32
Chú ý:
x x x x x x0.
x x x x x x0.
0
1
2
x x
không tồn tại.
33
Định nghĩa 2.4 (Giới hạn vô cùng):
▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi
thì
▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi
thì
0
0
0
x x
0
Ví dụ 1.3:
2 0
1
34
Định nghĩa 2.5 (Giới hạn tại vô cùng):
▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x tăng không bị
chặn với các giá trị dương thì
▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x giảm không bị
chặn với các giá trị âm thì
lim ( ) 7
Ví dụ 1.4:
▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x tăng
không bị chặn với các giá trị dương thì
▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi x giảm
không bị chặn với các giá trị âm thì
Ví dụ 1.5:
n lẻ:
n x x
n
▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi x tăng
không bị chặn với các giá trị dương thì
▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x giảm
không bị chặn với các giá trị âm thì
Ví dụ 1.6:
n chẵn:
n x x
n
Trang 7II Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản:
37
2.1 Giới hạn tại một điểm thuộc TXĐ:
Giới hạn của hàm số sơ cấp tại một điểm thuộc
TXĐ của nó được tính theo công thức 0
x
0
0
Ví dụ 2.1: Tính các giới hạn sau
2 1
x
0
sin 3
cos
x
x b
x
2
) lim 2.
x
38
Ví dụ 2.2: Cho
2
( )
f x
x
Tìm
1
lim ( ), lim ( ), lim ( ).
x
Ví dụ 2.3: Tìm m để hàm số sau có giới hạn
khi x 2
2
2
f x
V Một số kết quả giới hạn cần nhớ:
39
Xem Bảng 1.
2.2 Một số kết quả giới hạn của các hàm sơ cấp
cơ bản: III Một số định lý về giới hạn hàm số:
40
0
ĐL 3.1:
ĐL 3.2: Giả sử
0
) lim ( ) ( )
0
) lim ( ) ( )
0
( ) ) lim ( 0)
( )
) lim ( ) lim ( ) ( )
0
( )
) lim ( )g x B (0 1)
41
Nếu
thì
) lim ( ) 0 lim ( ) 0.
)
ii
lim ( ) lim ( )
g x f x h x x x x
g x h x L
0
lim ( )
ĐL 3.3:
42
Ví dụ 3.3: Cho hàm số f(x) thỏa
2
4x 9 f x( )x 4x7,x0
Tìm 4
lim ( )
Ví dụ 3.2: Cho tìm
0
( )
x
f x
Ví dụ 3.4: Tính
1
1
x
Ví dụ 3.1: Cho tìm
4
( ) 5
2
x
f x